隐函数求导

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions· 14 分钟阅读

1. 什么是隐函数求导？★☆☆☆☆⏱ 3 min

显函数的形式为 $y = f (x)$ ， $y$ 单独在等式一侧，完全用 $x$ 表示。隐式关系是指没有将 $y$ 分离出来，直接关联 $x$ 和 $y$ 的方程，且很多这类关系根本无法轻易解出 $y$ （例如 $x^{3} y^{2} - 2 x y + ln (y) = 5$ ）。

隐函数求导是一种不需要先解出 $y$ ，直接从隐式关系中求 $\frac{d y}{d x}$ 的方法。该方法完全依赖链式法则：即使无法显式写出 $y$ ， $y$ 仍然是 $x$ 的函数，因此任何含 $y$ 的项都是复合函数，求导时需要额外乘以因子 $\frac{d y}{d x}$ 。

2. 核心方法：求隐式关系的$\frac{dy}{dx}$★★☆☆☆⏱ 4 min

隐函数求导的核心逻辑很简单：如果两个表达式对所有合法的 $x$ 都相等，那么它们对 $x$ 的导数也相等。我们对方程两边每一项都关于 $x$ 求导，对所有含 $y$ 的项应用链式法则。由于 $y = y (x)$ ， $f (y)$ 对 $x$ 的导数就是 $f^{'} (y) \cdot \frac{d y}{d x}$ 。

对方程两边所有项关于 $x$ 求导
对任意含 $y$ 的项，乘以 $\frac{d y}{d x}$ （链式法则步骤）
将所有含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式一侧，其余项移到另一侧
提出公因子 $\frac{d y}{d x}$ ，然后两边除以剩余系数，解出 $\frac{d y}{d x}$

📐 例题

求隐式关系 $x^{2} + 3 x y + y^{2} = 5$ 的 $\frac{d y}{d x}$ 。

1
对每一项关于 $x$ 求导：
$\frac{d}{dx}\left[x^2\right] + \frac{d}{dx}\left[3xy\right] + \frac{d}{dx}\left[y^2\right] = \frac{d}{dx}\left[5\right]$
2
计算导数，对 $3 x y$ 用乘积法则，对 $y^{2}$ 用链式法则：
$2x + 3\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + 2y\frac{dy}{dx} = 0$
3
展开并将含 $\frac{d y}{d x}$ 的项整理到左侧：
$2x + 3y + \frac{dy}{dx}\left(3x + 2y\right) = 0 \implies \frac{dy}{dx}\left(3x + 2y\right) = -2x - 3y$
4
解出 $\frac{d y}{d x}$ ：
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 3y}{3x + 2y}$

Exam tip:

作答前一定要提取公因子或负号化简最终表达式；大多数选择题的选项都使用化简后的形式，未提取公因子会导致失分。

3. 隐函数的高阶导数★★★☆☆⏱ 4 min

得到用 $x$ 和 $y$ 表示的 $\frac{d y}{d x}$ 后，你可以对 $\frac{d y}{d x}$ 再次关于 $x$ 求导，得到高阶导数（最常见的是二阶导数 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ）。这里的核心规则是：只要对含 $y$ 的项求导，就仍然需要应用链式法则，乘以 $\frac{d y}{d x}$ 。

求导后，你必须将已经得到的 $\frac{d y}{d x}$ 表达式代入结果，让最终的二阶导数只含 $x$ 和 $y$ ，不保留 $\frac{d y}{d x}$ 项。通常可以用原隐式关系大幅化简最终结果，这是AP考试中常见的出题技巧。

📐 例题

已知 $x^{2} + 3 x y + y^{2} = 5$ 且 $\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 3 y}{3 x + 2 y}$ ，求 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
对 $\frac{d y}{d x}$ 用商法则求导：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\left(-2 - 3\frac{dy}{dx}\right)(3x + 2y) - (-2x - 3y)\left(3 + 2\frac{dy}{dx}\right)}{(3x + 2y)^2}$
2
展开并化简分子：
$-6x -4y -9x\frac{dy}{dx} -6y\frac{dy}{dx} + 6x +4x\frac{dy}{dx} +9y +6y\frac{dy}{dx} = 5y - 5x\frac{dy}{dx}$
3
将 $\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 3 y}{3 x + 2 y}$ 代入分子：
$5y - 5x\left(\frac{-2x - 3y}{3x + 2y}\right) = \frac{5y(3x + 2y) + 5x(2x + 3y)}{3x + 2y} = \frac{10(x^2 + 3xy + y^2)}{3x + 2y}$
4
利用原关系 $x^{2} + 3 x y + y^{2} = 5$ 化简：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{10(5)}{(3x + 2y)^3} = \frac{50}{(3x + 2y)^3}$

Exam tip:

一定要检查是否可以代入原隐式关系化简二阶导数的分子；这能让你的计算量减半，避免不必要的代数错误。

4. 隐函数曲线的切线与法线★★☆☆☆⏱ 3 min

隐函数求导在AP考试中最常见的应用之一，就是求给定点处隐函数曲线的切线或法线方程。根据定义，曲线上点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的 $\frac{d y}{d x}$ 就是该点切线的斜率。法线与切线垂直，因此只要切线斜率存在且不为零，法线斜率就是切线斜率的负倒数。

如果该点处 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，则切线是水平线，法线是竖直线。如果该点处 $\frac{d y}{d x}$ 不存在，则切线是竖直线，法线是水平线。

📐 例题

求曲线 $x^{2} + 3 x y + y^{2} = 5$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程。

1
首先确认 $(1, 1)$ 在曲线上： $1^{2} + 3 (1) (1) + 1^{2} = 5$ ，与等式右侧相等。
2
我们已经得到 $\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 3 y}{3 x + 2 y}$ ，代入 $(1, 1)$ 计算：
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(1,1)} = \frac{-2(1) - 3(1)}{3(1) + 2(1)} = \frac{-5}{5} = -1$
3
用点斜式写出切线方程：
$y - 1 = -1(x - 1)$
4
化简为斜截式：
$y = -x + 2$

Exam tip:

计算斜率前一定要确认给定点在曲线上；AP题目有时会隐含这一步检查，点不在曲线上会得到错误的切线方程。

5. 用隐函数求导推导反函数的导数★★★☆☆⏱ 4 min

隐函数求导是推导任意反函数（包括反三角函数）导数最简单的方法。根据定义，如果 $y = f^{- 1} (x)$ ，那么 $f (y) = x$ ，这就是一个隐式关系。我们可以对两边关于 $x$ 求导，直接解出 $\frac{d y}{d x}$ ，不需要死记硬背就能得到反函数导数公式。

📐 例题

用隐函数求导求 $y = arctan (x)$ 的导数。

1
根据反正切反函数的定义， $tan (y) = x$ ，其中 $- \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}$ 。
2
对两边关于 $x$ 求导，对 $tan (y)$ 应用链式法则：
$\sec^2(y) \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
3
解出 $\frac{d y}{d x}$ ：
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)}$
4
利用勾股恒等式 $sec^{2} (y) = 1 + tan^{2} (y)$ ，代入 $tan (y) = x$ ：
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2(y)} = \frac{1}{1 + x^2}$

✓ 快速检测

对于隐式关系 $2 x^{3} y + ln (y) = 4$ ，以下哪个选项等于 $\frac{d y}{d x}$ ？

- $\frac{- 6 x ^{2} y ^{2}}{2 x ^{3} y + 1}$
- $\frac{- 6 x ^{2} y}{2 x ^{3} + \frac{1}{y}}$
- $\frac{6 x ^{2} y}{2 x ^{3} + \frac{1}{y}}$
- $\frac{- 2 x ^{3} y}{6 x ^{2} y + 1}$
显示答案
1 —
对两边求导得： $6 x^{2} y + 2 x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 0$ ，然后整理项求解即可得到正确结果。

Exam tip:

化简时一定要记住反函数的主值区间；主值区间决定了你开根号的符号，符号错误就会得到错误的导数。

6. 常见陷阱

错误做法:

忘记给 $y$ 项的导数乘以 $\frac{d y}{d x}$ ，例如写成 $\frac{d}{d x} [y^{2}] = 2 y$ ，而非 $2 y \frac{d y}{d x}$

原因:

学生习惯了对 $x$ 的函数求导，忘记 $y$ 依赖于 $x$ ，因此链式法则要求这个额外因子。

正确做法:

每次对含 $y$ 的项求导后，立刻在后面写上 $\frac{d y}{d x}$ ，再继续处理下一项。

错误做法:

最终的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 表达式中还保留 $\frac{d y}{d x}$ ，没有代入替换。

原因:

学生忘记二阶导数必须用 $x$ 和 $y$ 表示，不能保留 $\frac{d y}{d x}$ 。

正确做法:

对 $\frac{d y}{d x}$ 求导后，化简前立刻代入已经得到的 $\frac{d y}{d x}$ 表达式。

错误做法:

对 $x y$ 应用乘积法则时，写成 $\frac{d}{d x} [x y] = x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x}$ 。

原因:

学生错误地给两个因子都乘了 $\frac{d y}{d x}$ ，混淆了哪个因子含 $y$ 。

正确做法:

先应用乘积法则，只有对含 $y$ 的因子求导时才乘以 $\frac{d y}{d x}$ 。

错误做法:

用 $\frac{d y}{d x}$ 的一般形式，而非代入点得到的斜率来计算切线方程。

原因:

学生急于写出直线方程，没有先算出给定点处的数值斜率。

正确做法:

写直线方程前，先在给定点处计算 $\frac{d y}{d x}$ ，得到数值斜率。

错误做法:

当隐式关系可以拆分为两个显式分支时，先解出 $y$ ，导致只得到一个有效的导数。

原因:

学生默认使用显式求导，哪怕拆分过程会丢失信息。

正确做法:

对隐式关系始终使用隐函数求导，它对所有分支都自动成立。

7. 速查表

类别	公式 / 步骤	注释
对 $y$ 项求导（ $y = y (x)$	$\frac{d}{d x} [f (y)] = f^{'} (y) \cdot \frac{d y}{d x}$	链式法则要求；隐函数求导的核心步骤
求 $\frac{d y}{d x}$ 的一般步骤	所有项对 $x$ 求导 2. 整理含 $\frac{d y}{d x}$ 的项 3. 提出 $\frac{d y}{d x}$ 4. 解出 $\frac{d y}{d x}$	适用于所有隐式关系，不需要拆分为分支
隐函数的二阶导数	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} [\frac{d y}{d x}]$ ，求导后代入 $\frac{d y}{d x}$	必须代入 $\frac{d y}{d x}$ ，让最终结果只用 $x, y$ 表示
$(x_{0}, y_{0})$ 处的切线	$y - y_{0} = m (x - x_{0})$ ， $m = \frac{d y}{d x}_{(x_{0}, y_{0})}$	计算斜率前一定要确认 $(x_{0}, y_{0})$ 在曲线上
$(x_{0}, y_{0})$ 处的法线	斜率 $= - \frac{1}{m}$ （ $m \neq = 0$ 且 $m$ 存在时）	如果 $m = 0$ ，法线是竖直线（ $x = x_{0}$ ）；如果 $m$ 不存在，法线是水平线（ $y = y_{0}$ ）
反函数导数（ $y = f^{- 1} (x)$	$f (y) = x ⟹ f^{'} (y) \frac{d y}{d x} = 1 ⟹ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{f ^{'} ( y )}$	通过隐函数求导直接推导，不需要记忆
$arcsin (x)$ 的导数	$\frac{d}{d x} arcsin (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$	$cos (y)$ 在 $(- π /2, π /2)$ 上为正，因此取正根
$arctan (x)$ 的导数	$\frac{d}{d x} arctan (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$	由 $tan (y) = x$ 和 $sec^{2} (y) = 1 + tan^{2} (y)$ 推导得到

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求隐函数关系的 $\frac{d y}{d x}$
2022 · FRQ
隐函数曲线的切线

下一步

隐函数求导是本单元剩余所有内容的基础方法，也是AP微积分BC课程其余部分所有核心应用的基础。接下来你会把隐函数求导应用到对数求导中，对数求导可以化简无法用基本法则求导的复杂乘积、商和变指数的求导过程。如果不掌握隐函数求导，你就无法正确推导反函数导数、求解相关变化率问题，也无法在后续课程中求参数曲线和极坐标曲线的切线。除了本单元，隐函数求导也是所有隐式优化问题，以及BC专属内容（如隐式关系的斜率场）所必需的。