# 反三角函数的求导

> AP 微积分 BC · 第3单元：复合函数、隐函数和反函数的求导
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-differentiating-inverse-trigonometric-functions/

本模块面向AP微积分BC备考，内容包括推导全部六种反三角函数的导数，对复合反三角函数应用链式法则，以及结合乘积/商法则对反三角函数求导。

**先修:** [反函数的隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-implicit-differentiation/); [复合函数的链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-chain-rule-composite-functions/); 反三角函数主值分支的定义域和值域

## 学习目标

- 使用隐函数求导推导反三角函数的导数公式
- 使用链式法则对复合反三角函数求导
- 使用乘积/商法则对反三角函数的组合求导
- 识别并避免求解反三角函数导数时的常见错误

## 推导基本反三角函数的导数

所有反三角函数的导数公式都可以通过反函数定义和隐函数求导推导得出。六种反三角函数的推导步骤一致：将反三角方程改写为普通三角方程，隐式求导，求解$\frac{dy}{dx}$，使用勾股恒等式改写为关于$x$的表达式，最后调整符号以匹配反函数的主值范围。

**例题:** 使用隐函数求导推导$y = \arctan x$的导数。

1. 根据定义，$y = \arctan x$等价于$\tan y = x$，主值范围为$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$。
2. 对等式两边关于$x$隐式求导：
3. $$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}(x) \implies \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$
4. 求解$\frac{dy}{dx}$：
5. $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$$
6. 使用勾股恒等式$1 + \tan^2 y = \sec^2 y$，代入$\tan y = x$：
7. $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$$
8. 确认符号：在主值范围内所有$y$对应的$\sec^2 y$始终为正，因此不需要调整符号。最终导数为：
9. $$\frac{d}{dx}[\arctan x] = \frac{1}{1 + x^2}$$

> **tip**
>
> 如果你在考场上忘记了导数公式，可以用这种隐函数求导方法在1-2分钟内重新推导，这在自由回答题（FRQ）中总是可以获得满分。

## 复合反三角函数的求导

几乎所有AP考试中涉及本知识点的题目都是复合反三角函数，即反三角函数的自变量是另一个关于$x$的函数。要对这类函数求导，你需要将反三角函数导数法则和链式法则结合：若$y = f(u(x))$，其中$f$是反三角函数，则$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

> **note**
>
> 在乘以$u'(x)$之前，一定要先将整个内层函数$u(x)$代入反三角函数导数公式。

**例题:** 求$y = \arccos(2x - 1)$的$\frac{dy}{dx}$。

1. 识别外层和内层函数：$y = \arccos(u)$，$u(x) = 2x - 1$，因此$u'(x) = 2$。
2. 回忆$\arccos(u)$的导数法则：$\frac{d}{dx}[\arccos(u)] = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$。
3. 代入$u = 2x - 1$并化简分母：
4. $$1 - u^2 = 1 - (2x - 1)^2 = 1 - (4x^2 - 4x + 1) = 4x - 4x^2 = 4x(1 - x)$$
5. 回代并化简根号。该结果在原函数的定义域$0 < x < 1$内有效：
6. $$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{4x(1 - x)}} = -\frac{2}{2\sqrt{x(1 - x)}} = -\frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}}$$

> **tip**
>
> 一定要检查最终导数的定义域和原函数一致，并且化简根号中的完全平方因子——AP阅卷老师要求完全化简的表达式才能给满分。

## 反三角函数组合的求导

AP题目经常要求使用乘积法则或商法则对反三角函数与其他类型函数（多项式、指数函数、对数函数）的组合求导。求解过程和对其他任意组合求导一致：先应用乘积或商法则，再使用反三角函数法则和链式法则计算每个反三角项的导数。

**例题:** 求$f(x) = e^x \arcsin(x)$在$x = 0$处切线的斜率。

1. $f(x)$是$e^x$和$\arcsin(x)$的乘积，因此应用乘积法则：
2. $$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \arcsin(x) + e^x \cdot \frac{d}{dx}(\arcsin(x))$$
3. 代入每个项的导数：
4. $$f'(x) = e^x \arcsin(x) + \frac{e^x}{\sqrt{1 - x^2}}$$
5. 在$x = 0$处计算$f'(x)$：$\arcsin(0) = 0$，$e^0 = 1$，$\sqrt{1 - 0^2} = 1$。
6. 化简得到斜率：
7. $$f'(0) = (1 \cdot 0) + \frac{1}{1} = 1$$

> **tip**
>
> 当题目要求求某点的导数时，一定要先得到通式导数，再代入该点。过早代入点几乎总会导致不必要的错误。

## AP风格练习

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 下列哪个选项等于$\frac{d}{dx}\left[\text{arcsec}(e^{2x})\right]$？

   - A) $\frac{1}{e^{2x}\sqrt{e^{4x} - 1}}$
   - B) $\frac{2}{\sqrt{e^{4x} - 1}}$
   - C) $\frac{2e^{2x}}{\sqrt{e^{4x} - 1}}$
   - D) $\frac{2}{e^{2x}\sqrt{e^{4x} - 1}}$

   *解析:* 我们使用链式法则：$u = e^{2x}$，$u' = 2e^{2x}$，$|u| = e^{2x}$（始终为正）。代入公式约分后得到$\frac{2e^{2x}}{e^{2x}\sqrt{e^{4x} - 1}} = \frac{2}{\sqrt{e^{4x} - 1}}$。

**例题:** 一台摄像机距离火箭发射台水平距离100米。火箭以50m/s的恒定速度垂直上升。设$\theta$为摄像机视线与水平线的夹角。求火箭高度为100米时$\theta$的变化率。

1. 设$h$为火箭高度，则$\frac{dh}{dt} = 50$ m/s，水平距离恒定为100米。由三角关系得：$\tan\theta = \frac{h}{100}$，因此$\theta = \arctan\left(\frac{h}{100}\right)$。
2. 对等式两边关于时间$t$用链式法则求导：
3. $$\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{1 + \left(\frac{h}{100}\right)^2} \cdot \frac{1}{100} \cdot \frac{dh}{dt}$$
4. 代入$h = 100$ m和$\frac{dh}{dt} = 50$ m/s：
5. $$\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{1 + (1)^2} \cdot \frac{1}{100} \cdot 50 = 0.25$$
6. 角度正以0.25弧度每秒的速率增加。

## 常见错误

- **错误做法:** 对$y = \arcsin(5x)$求导时，写出$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (5x)^2}}$，遗漏了链式法则项。
  - 原因: 学生记住了$\arcsin x$的基本导数，但忘记内层函数$5x$的导数非零，错误地认为$u' = 1$。
  - 正确做法: 应用反三角函数导数法则前，一定要先明确标记内层函数$u(x)$并写出$u'$，这样就不会忘记将它作为因子包含进去。
- **错误做法:** 将$\arccos(x)$的导数写为$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，遗漏了负号。
  - 原因: 学生混淆了仅符号不同的$\arcsin x$和$\arccos x$的导数。
  - 正确做法: 记住$\arccos x$在整个定义域上都是减函数，因此它的导数必须始终为负——如果你得到$\arccos$的导数是正的，就说明你符号错了。
- **错误做法:** 对$y = \text{arcsec}(3x)$求导时，写出$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x\sqrt{9x^2 - 1}}$，遗漏了$3x$周围的绝对值符号。
  - 原因: 学生忘记由于定义域限制，反正割的导数要求加绝对值。
  - 正确做法: 根据标准公式，写$\text{arcsec}$或$\text{arccsc}$的导数时，一定要给$u$项加上绝对值。
- **错误做法:** 对$y = \arctan(x^2)$求导时，写出$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{1 + x^2}$，将$x$而不是$x^2$代入了分母。
  - 原因: 学生因为赶时间，只把内层函数代入了链式法则项，而没有代入反三角函数导数公式。
  - 正确做法: 识别$u(x)$后，先将$u$代入反三角函数导数公式，再乘以$u'$。
- **错误做法:** 声称对所有实数$x$都有$\frac{d}{dx}[\arcsin(\sin 2x)] = 2$。
  - 原因: 学生假设对所有$x$都有$\arcsin(\sin f(x)) = f(x)$，但这个等式仅当$f(x)$落在$\arcsin$的主值范围内才成立。
  - 正确做法: 求导前先检查等式成立的定义域，只有题目指定了关注区间后再化简。

## 速查表

| 反三角函数 | 导数公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| $\arcsin(u)$ | $\displaystyle \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ | 在$-1 < u < 1$上有效，导数始终为正 |
| $\arccos(u)$ | $\displaystyle -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ | 在$-1 < u < 1$上有效，导数始终为负 |
| $\arctan(u)$ | $\displaystyle \frac{u'}{1 + u^2}$ | 对所有实数$u$有效，导数始终为正 |
| $\text{arccot}(u)$ | $\displaystyle -\frac{u'}{1 + u^2}$ | 对所有实数$u$有效，导数始终为负 |
| $\text{arcsec}(u)$ | $\displaystyle \frac{u'}{\|u\|\sqrt{u^2 - 1}}$ | 在$\|u\| > 1$上有效，导数始终为正 |
| $\text{arccsc}(u)$ | $\displaystyle -\frac{u'}{\|u\|\sqrt{u^2 - 1}}$ | 在$\|u\| > 1$上有效，导数始终为负 |
| 链式法则 | 若$y = f(g(x))$，$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | 永远不要忘记$g'(x)$项 |
| 乘积/商法则 | 先应用法则，再代入导数 | 计算反三角函数导数前先写出法则框架 |

## 下一步

反三角函数求导是你将在第6单元学习的积分技巧的重要前置知识，在那一单元中，反三角函数导数会用于对形如$\frac{1}{a^2 + x^2}$、$\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$和$\frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}}$的函数积分。认识到被积函数匹配反三角函数的导数是这类积分题的核心能力，这类题在选择题和自由回答题中都经常考。本知识点也经常出现在相关变化率问题中，这类问题通常需要对反三角函数表示的角度关于时间求导。不掌握反三角函数的导数公式和链式法则应用，你就无法正确求解这些AP考试中的常见题目。

- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-implicit-differentiation/)
- [选择求导的计算方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-selecting-procedures-for-calculating-derivatives/)
- [高阶导数的计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-calculating-higher-order-derivatives/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-differentiating-inverse-trigonometric-functions/