反函数求导

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 复合函数、隐函数与反函数的求导· 14 分钟阅读

1. 通用反函数求导公式★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

反函数的导数

(f^{-1})'(a)

若 $f$ 是区间上可导的单射函数，则对任意满足 $f^{'} (f^{- 1} (a)) \neq = 0$ 的点 $a$ ， $f^{- 1}$ 在 $a$ 处的导数由上述公式给出。

例:

可用于无需求出通用反函数表达式，直接计算反函数在某点的导数。

🔬 推导

目标:

推导通用反函数求导公式

起点:

反函数定义：对 $f^{- 1}$ 定义域内所有 $x$ ，满足 $f (f^{- 1} (x)) = x$

1
对等式两边关于 $x$ 求导，对左侧应用链式法则：
2
$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$
3
整理分离出 $(f^{- 1})^{'} (x)$ ，得到最终公式。

结果:

反函数在 $a$ 处的导数，等于原函数在 $f^{- 1} (a)$ 处导数的倒数

📐 例题

已知 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x + 1$ 对所有实数 $x$ 严格递增（因此是单射），求 $(f^{- 1})^{'} (6)$ 。

1
首先求 $f^{- 1} (6)$ ，即满足 $f (x) = 6$ 的 $x$ 值：
2
$2x^3 + 3x + 1 = 6 \implies 2x^3 + 3x - 5 = 0$
3
试代入小整数可得 $x = 1$ 是解，因此 $f^{- 1} (6) = 1$ 。
4
计算原函数的导数：
5
$f'(x) = 6x^2 + 3$
6
计算 $f^{'}$ 在 $f^{- 1} (6) = 1$ 处的值：
7
$f'(1) = 6(1)^2 + 3 = 9$
8
应用反函数求导公式得到结果：
9
$(f^{-1})'(6) = \frac{1}{f'(f^{-1}(6))} = \frac{1}{9}$

Exam tip:

在AP考试中求多项式的 $f^{- 1} (a)$ 时，永远先试小整数 $x = - 2, - 1, 0, 1, 2$ ：考试题目设计时都会让这个值是小整数，你永远不需要解复杂的高次方程。

2. 通过隐函数求导法对反函数求导★★☆☆☆⏱ 3 min

当你需要反函数的通用导数（不只是单点处的导数）时，隐函数求导是最直接的方法。即使你无法将反函数显式写成关于 $x$ 的表达式，该方法仍然适用。该方法直接来自反函数定义：若 $y = f^{- 1} (x)$ ，则 $x = f (y)$ ，其中 $y$ 是关于 $x$ 的函数。

📐 例题

使用隐函数求导推导 $f^{- 1} (x) = ln x$ 的导数， $ln x$ 是 $f (y) = e^{y}$ 的反函数。

1
令 $y = ln x$ ，根据反函数定义，对 $x > 0$ 有 $x = e^{y}$ 。
2
对等式两边关于 $x$ 求导：左侧导数为 $1$ ，右侧使用链式法则：
3
$\frac{d}{dx}[x] = 1 = \frac{d}{dx}[e^y] = e^y \cdot \frac{dy}{dx}$
4
整理求解 $\frac{d y}{d x}$ ：
5
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$
6
代回 $x = e^{y}$ ，得到关于 $x$ 的导数：
7
$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x>0$

Exam tip:

如果你考试当天忘记了某个特定反函数（比如 $arcsin x$ ）的导数，你总是可以用这个隐函数法快速重新推导，避免记忆错误。

3. 反三角函数的导数★★★☆☆⏱ 3 min

反三角函数是限制定义域使其成为单射的三角函数的反函数。所有反三角函数的导数都是代数函数，这使得它们在本课程后续的积分中非常有用。当反三角函数的自变量是关于 $x$ 的函数时，你必须像对其他任何复合函数一样应用链式法则。

📐 例题

求 $\frac{d}{d x} [arctan (x^{2} + 1)]$ 。

1
回忆 $arctan (u)$ 的标准链式法则公式：
2
$\frac{d}{dx}\arctan(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$
3
识别内层函数 $u = x^{2} + 1$ ，因此：
4
$\frac{du}{dx} = 2x$
5
代入公式并化简分母：
6
$\frac{d}{dx}\arctan(x^2 + 1) = \frac{1}{1 + (x^2 + 1)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^4 + 2x^2 + 2}$

4. AP风格练习例题★★★☆☆⏱ 5 min

📐 例题

设 $f (x) = x^{5} + 2 x^{3} + 4 x - 7$ 对所有实数 $x$ 严格递增且为单射， $(f^{- 1})^{'} (0)$ 的值是多少？

A) $\frac{1}{15}$ B) $\frac{1}{9}$ C) $9$ D) $15$

1
对 $a = 0$ 应用反函数求导公式 $(f^{- 1})^{'} (a) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( a ))}$ 。
2
首先通过解方程 $f (x) = 0$ 求 $f^{- 1} (0)$ ，试代入小整数得 $f (1) = 1 + 2 + 4 - 7 = 0$ ，因此 $f^{- 1} (0) = 1$ 。
3
计算 $f$ 的导数：
4
$f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 4$
5
计算 $f^{'}$ 在 $x = 1$ 处的值：
6
$f'(1) = 5(1) + 6(1) + 4 = 15$
7
应用公式得到结果：
8
$(f^{-1})'(0) = \frac{1}{15}, \text{ so the correct answer is A}$

📐 例题

设 $f (x) = cos x$ ，限制定义域为 $[0, π]$ 使其成为单射，其反函数为 $f^{- 1} (x) = arccos x$ 。

(a) 使用隐函数求导推导 $\frac{d}{d x} arccos x$ 的通用公式。 (b) 计算 $\frac{d}{d x} arccos x$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处的值。 (c) 求 $y = arccos (3 x)$ 在 $x = \frac{1}{6}$ 处切线的斜率。

1
(a)问：令 $y = arccos x$ ，根据定义得 $x = cos y$ ，其中 $0 \leq y \leq π$ ， $- 1 \leq x \leq 1$ 。
2
对等式两边关于 $x$ 求导：
3
$1 = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}$
4
求解 $\frac{d y}{d x}$ ：
5
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$
6
使用勾股恒等式： $sin y = 1 - cos^{2} y = 1 - x^{2}$ （因为 $0 \leq y \leq π$ 时 $sin y \geq 0$ ，所以取正根），因此得：
7
$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad -1 < x < 1$
8
(b)问：将 $x = \frac{1}{2}$ 代入公式：
9
$\frac{d}{dx}\arccos x \bigg|_{x=1/2} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (1/2)^2}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$
10
(c)问：应用链式法则，然后代入 $x = \frac{1}{6}$ 求值：
11
$\frac{d}{dx}\arccos(3x) = -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$
12
$9\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{4} \implies \text{slope} = -\frac{3}{\sqrt{3/4}} = -2\sqrt{3}$

📐 例题

在光学中，光从空气射入水中时，折射角 $θ_{2}$ （弧度）与入射角 $θ_{1}$ （弧度）满足斯涅尔定律： $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ ，其中 $n_{1} = 1.00$ （空气）， $n_{2} = 1.33$ （水）。在 $0 \leq θ_{1}, θ_{2} \leq \frac{π}{2}$ 范围内，我们可以写成 $θ_{1} = arcsin (1.33 sin θ_{2})$ 。求 $θ_{2} = \frac{π}{6}$ 时 $\frac{d θ _{1}}{d θ _{2}}$ 的值，并解释结果。

1
应用链式法则得到通用导数：
2
$\frac{d\theta_1}{d\theta_2} = \frac{1.33 \cos \theta_2}{\sqrt{1 - (1.33 \sin \theta_2)^2}}$
3
代入 $θ_{2} = \frac{π}{6}$ ： $sin (\frac{π}{6}) = 0.5$ ， $cos (\frac{π}{6}) \approx 0.8660$
4
计算中间值：
5
$1.33 \sin \theta_2 = 0.665, \quad 1 - (0.665)^2 \approx 0.5578, \quad 1.33 \cos \theta_2 \approx 1.1518$
6
计算最终结果：
7
$\frac{d\theta_1}{d\theta_2} \approx 1.54$
8
解释：当折射角为30°（ $\frac{π}{6}$ 弧度）时， $θ_{2}$ 每增加1弧度，入射角 $θ_{1}$ 约增加1.54弧度。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算 $(f^{- 1})^{'} (a)$ 时代入 $f^{'} (a)$ 而非 $f^{'} (f^{- 1} (a))$

原因:

学生混淆了需要代入原函数导数的点，将反函数的输入 $a$ 错误当作 $f^{'}$ 的输入。

正确做法:

先求 $f^{- 1} (a)$ （即原函数中输出为 $a$ 的 $x$ 值），然后将该 $x$ 值而非 $a$ 代入 $f^{'}$ 。

错误做法:

对复合反三角函数求导时忘记链式法则，例如错误写为 $\frac{d}{d x} arcsin (2 x) = \frac{1}{1 - ( 2 x ) ^{2}}$

原因:

学生记住了基本反函数的标准导数，但忽略了自变量是关于 $x$ 的函数，不只是 $x$ 本身。

正确做法:

对任何复合函数（包括复合反函数）求导时，永远要乘以内层函数的导数。

错误做法:

写出反三角函数的导数时忽略定义域限制，例如对所有 $x \neq = \pm 1$ 写为 $\frac{d}{d x} arcsec (x) = \frac{1}{x x ^{2} - 1}$

原因:

学生只关注导数公式，忘记了原反函数仅在限制定义域上有定义，因此导数也仅在同一定义域上存在。

正确做法:

写出导数前永远要检查原反函数的定义域，如果题目要求则明确写出定义域。

错误做法:

因为 $f^{'} (f^{- 1} (a)) = 0$ 就断言 $(f^{- 1})^{'} (a) = 0$

原因:

学生忘记了反函数求导公式要求分母非零。

正确做法:

若 $f^{'} (f^{- 1} (a)) = 0$ ，则说明反函数在 $a$ 处的导数不存在（反函数在该点有垂直切线）。

错误做法:

忘记取倒数，错误写为 $(f^{- 1})^{'} (a) = f^{'} (f^{- 1} (a))$

原因:

函数的反关系导致学生错误地省略了斜率的倒数步骤。

正确做法:

记住，函数关于 $y = x$ 对称时切线斜率会取倒数，因此反函数的导数一定是 $f^{'} (f^{- 1} (a))$ 的倒数。

6. 速查表

类别	公式	注释
单点处通用反函数导数	$(f^{- 1})^{'} (a) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( a ))}$	适用于 $f$ 为可导单射，且 $f^{'} (f^{- 1} (a)) \neq = 0$
反函数隐函数求导法	If $x = f (y)$ , then $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{f ^{'} ( y )}$	用于推导通用导数公式
自然对数的导数	$\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}$	仅在 $x > 0$ 时有定义
$arcsin x$ 的导数	$\frac{d}{d x} arcsin x = \frac{1}{1 - x ^{2}}$	定义区间为 $- 1 < x < 1$
$arccos x$ 的导数	$\frac{d}{d x} arccos x = - \frac{1}{1 - x ^{2}}$	定义区间为 $- 1 < x < 1$
$arctan x$ 的导数	$\frac{d}{d x} arctan x = \frac{1}{1 + x ^{2}}$	对所有实数 $x$ 有定义
$arcsec x$ 的导数	$\frac{d}{d x} arcsec x = \frac{1}{∣ x ∣ x ^{2} - 1}$	定义区间为 $∣ x ∣ > 1$
复合反函数的链式法则	$\frac{d}{d x} arcsin (u (x)) = \frac{u ^{'} ( x )}{1 - u ( x ) ^{2}}$	该规律适用于所有反函数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
反函数在某点的导数
2022 · FRQ
推导反余弦函数的导数

下一步

反函数求导是AP 微积分 BC后续几乎所有积分主题的关键先修内容。你在这里学到的反三角函数导数是反三角积分的基础，反三角积分是有理函数积分的核心方法，在AP考试的选择题和自由作答题中都占有很高比重。你在本课程后续学习参数函数和极坐标函数时也会用到反函数导数关系，这类问题中经常需要交换输入输出的角色。掌握本主题对AP考试中正确建立和计算积分至关重要。