链式法则

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 求导：复合函数、隐函数和反函数· 14 分钟阅读

1. 什么是链式法则？★★☆☆☆⏱ 3 min

链式法则是形式为 $y = f (g (x))$ 的复合函数的核心求导法则，其中 $y$ 依赖于中间函数 $u = g (x)$ ，而 $u$ 本身依赖于 $x$ 。根据AP微积分BC的课程与考试说明（CED），链式法则相关内容占考试总分的4-6%，占第三单元内容的9-13%，在选择题（MCQ）和自由问答题（FRQ）部分都会考查。

不同于仅适用于初等函数的基本求导法则，链式法则可以让你把复杂的组合函数拆分为你已经知道导数的简单部分，再将这些导数相乘得到完整导数。它是第三单元所有其余求导技巧的基础，也是本课程后续学习相关变化率、优化问题和换元积分法所必需的基础。

2. 基础内外层链式法则★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

基础链式法则

For $y = f (g (x))$ , inner $u = g (x)$ , outer $y = f (u)$

若 $f$ 在 $u = g (x)$ 处可导，且 $g$ 在 $x$ 处可导，则导数为： $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ ，等价于 $\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

例:

对于 $y = (3 x)^{2}$ , $f (g (x)) = (g (x))^{2}$ , $g (x) = 3 x$ , 导数为 $2 (3 x) (3) = 18 x$

该法则的乘积形式符合变化率的规律：如果 $y$ 的变化速度是 $u$ 的3倍， $u$ 的变化速度是 $x$ 的2倍，那么 $y$ 的变化速度就是 $x$ 的 $3 \cdot 2 = 6$ 倍，和链式法则得到的结果一致。

📐 例题

求 $y = (2 x^{3} - 4 x + 1)^{4}$ 的 $\frac{d y}{d x}$ 。

1
1. 识别内层和外层函数：外层函数 $y = u^{4}$ ，内层函数 $u = 2 x^{3} - 4 x + 1$ 。
2
1. 对外层函数求导，保持内层函数不变：
3
$dy/du = 4u^3 = 4(2x^3 - 4x + 1)^3$
4
1. 对 $x$ 求内层函数的导数：
5
$du/dx = 6x^2 - 4$
6
1. 根据链式法则将两个导数相乘：
7
$dy/dx = 4(2x^3 - 4x + 1)^3 (6x^2 - 4)$
8
1. 化简为标准形式：
9
$dy/dx = 8(3x^2 - 2)(2x^3 - 4x + 1)^3$

Exam tip:

开始解题时一定要明确标出内层和外层函数，即使你可以心算也这么做——这可以避免考试中忘记乘内层导数 $g^{'} (x)$ 。

3. 嵌套复合函数的广义链式法则★★★☆☆⏱ 4 min

很多AP考试题目会包含两层以上的复合（称为嵌套函数），例如三层复合的 $y = f (g (h (x)))$ 。对于这类函数，你可以反复应用链式法则，从最外层向内层逐层求导，对基础法则进行扩展。

dy/dx = dy/du \cdot du/dv \cdot dv/dx

对应三层复合 $y = f (u), u = g (v), v = h (x)$ 。这个规律可以推广到任意层数的嵌套：最终结果为每一层对应一个导数项，所有项相乘。考试中常见的三层复合例子是：多项式的指数函数的三角函数。

📐 例题

求 $\frac{d}{d x} [cos (e^{3 x^{2}})]$ 。

1
1. 从外到内识别各层：外层 $y = cos (u)$ ，其中 $u = e^{3 x^{2}}$ ；中层 $u = e^{v}$ ，其中 $v = 3 x^{2}$ ；内层 $v = 3 x^{2}$ 。
2
1. 对外层求导：
3
$dy/du = -\sin(u) = -\sin\left(e^{3x^2}\right)$
4
1. 对中层求导：
5
$du/dv = e^v = e^{3x^2}$
6
1. 对内层求导：
7
$dv/dx = 6x$
8
1. 将所有导数项相乘得到最终结果：
9
$dy/dx = -\sin\left(e^{3x^2}\right) \cdot e^{3x^2} \cdot 6x = -6x e^{3x^2} \sin\left(e^{3x^2}\right)$

Exam tip:

处理嵌套函数时，开始前先数清楚层数——如果有 $n$ 层，最终导数中应该有 $n$ 个导数项相乘。如果项数更少，说明你漏了一次求导步骤。

4. 参数曲线的链式法则★★★★☆BC 专属⏱ 5 min

✓ 计算器

AP微积分BC要求计算由 $x = x (t)$ 和 $y = y (t)$ 定义的参数曲线的导数，两个坐标都是参数 $t$ 的函数。要求曲线切线的斜率 $\frac{d y}{d x}$ ，我们利用链式法则整理导数恒等式：

dy/dt = dy/dx \cdot dx/dt

整理后得到一阶导数公式，再次应用链式法则得到二阶导数公式：

dy/dx = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \quad dx/dt \neq 0

d^2 y / dx^2 = \frac{\frac{d}{dt}\left(dy/dx\right)}{dx/dt}, \quad dx/dt \neq 0

📐 例题

已知参数曲线 $x (t) = t^{2} + 3 t$ ， $y (t) = cos (4 t)$ ，求 $t = 0$ 处的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
1. 计算对 $t$ 的一阶导数：
2
$dx/dt = 2t + 3, \quad dy/dt = -4\sin(4t)$
3
1. 求一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ ：
4
$dy/dx = \frac{-4\sin(4t)}{2t + 3}$
5
1. 用商的求导法则对 $t$ 求 $\frac{d y}{d x}$ 的导数：
6
$\frac{d}{dt}\left(dy/dx\right) = \frac{-16(2t+3)\cos(4t) + 8\sin(4t)}{(2t+3)^2}$
7
1. 应用链式法则求二阶导数，将结果除以 $\frac{d x}{d t} = 2 t + 3$ ：
8
$d^2 y / dx^2 = \frac{-16(2t+3)\cos(4t) + 8\sin(4t)}{(2t+3)^3}$
9
1. 代入 $t = 0$ 计算，利用 $sin (0) = 0$ 和 $cos (0) = 1$ ：
10
$d^2 y / dx^2 = \frac{-16(3)(1) + 0}{3^3} = \frac{-48}{27} = -\frac{16}{9}$

Exam tip:

计算参数曲线的二阶导数时，千万不要忘记除以 $\frac{d x}{d t}$ ——这是BC选择题中最常考的链式法则错误之一。

5. 反函数导数的链式法则★★★☆☆⏱ 4 min

链式法则可以用来推导反函数的导数公式。对于一一对应的可导函数 $y = f (x)$ ，其反函数为 $f^{- 1} (y)$ ，我们从反函数恒等式出发：

f\left(f^{-1}(y)\right) = y

对 $y$ 两边求导，对左侧应用链式法则，整理后得到反函数导数公式：

(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}

这个公式让你不需要求出完整的反函数，就可以计算反函数在某一点的导数，这对于三次函数这类反函数复杂的函数尤其有用。

📐 例题

设 $f (x) = x^{3} + 3 x - 2$ ，它在全体实数上是一一对应的。求 $(f^{- 1})^{'} (2)$ 。

1
1. 首先求 $f^{- 1} (2)$ ，即满足 $f (x) = 2$ 的 $x$ 值。试整数可得 $f (1) = 1^{3} + 3 (1) - 2 = 2$ ，因此 $f^{- 1} (2) = 1$ 。
2
1. 求 $f (x)$ 的导数：
3
$f'(x) = 3x^2 + 3$
4
1. 在 $x = f^{- 1} (2) = 1$ 处计算 $f^{'}$ 的值：
5
$f'(1) = 3(1)^2 + 3 = 6$
6
1. 应用反函数导数公式：
7
$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{6}$

Exam tip:

当题目要求反函数在某一点的导数时，一定要先解出反函数在该点的输入（即得到目标 $y$ 的 $x$ ），再计算导数——不要浪费时间求完整的反函数。

6. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

$y = tan (x^{2} - 9)$ 的导数是？
- A) $sec^{2} (\frac{x}{x ^{2} - 9})$
- B) $\frac{x s e c ^{2} ( x ^{2} - 9 )}{x ^{2} - 9}$
- C) $\frac{s e c ^{2} ( x ^{2} - 9 )}{x ^{2} - 9}$
- D) $2 x sec^{2} (x^{2} - 9)$
显示答案
1 —
回答正确！你正确识别了三层复合，将所有导数相乘，并约去了公因子2。错误选项要么漏了一层求导，要么对平方根错误应用了幂函数求导法则。

7. 常见陷阱

错误做法:

对于 $y = (x^{2} + 3)^{4}$ ，只算出 $y^{'} = 4 (x^{2} + 3)^{3}$ 就停止，漏掉了内层导数因子 $2 x$ 。

原因:

学生熟练后对外层求导后，就忘记乘以内层导数，在做简单题心算时尤其容易犯这个错。

正确做法:

外层求导完成后，一定要问自己'内层函数的导数是什么？'，并写下这个因子再继续下一步。

错误做法:

计算参数曲线的二阶导数时，只算出 $\frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})$ 就停止，没有除以 $\frac{d x}{d t}$ 。

原因:

学生混淆了对 $t$ 求导和对 $x$ 求导，忘记了链式法则要求的额外除法步骤。

正确做法:

每次对 $t$ 的函数关于 $x$ 求导时，都要先把对 $t$ 的导数除以 $\frac{d x}{d t}$ 再继续。

错误做法:

对于 $y = x^{2} e^{x^{3}}$ ，应用乘积法则得到 $y^{'} = 2 x e^{x^{3}} + x^{2} e^{x^{3}}$ 后，漏掉了指数项的内层导数 $3 x^{2}$ 。

原因:

学生记得乘积/商的求导法则，但忘记每个项本身通常也是需要用链式法则的复合函数。

正确做法:

应用乘积/商的求导法则后，逐个检查每个项，看是否有因子需要用链式法则。

错误做法:

对于 $y = sin^{2} (4 x)$ ，把导数写成 $y^{'} = 2 cos (4 x) \cdot 4 = 8 cos (4 x)$ 。

原因:

学生错误识别层数，跳过了外层的幂次层。

正确做法:

求导前把 $sin^{n} (u)$ 改写为 $(sin (u))^{n}$ ，让所有层都清晰可见。

错误做法:

求 $(f^{- 1})^{'} (a)$ 时，计算 $\frac{1}{f ^{'} ( a )}$ 而不是 $\frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( a ))}$ 。

原因:

学生混淆了原函数导数的输入值。

正确做法:

一定要先解方程 $f (x) = a$ 得到 $x = f^{- 1} (a)$ ，再把这个 $x$ 代入 $f^{'}$ ，而不是代入 $a$ 。

8. 速查表

类别	公式	说明
基础链式法则（单重复合）	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$	适用条件： $f$ 在 $g (x)$ 处可导， $g$ 在 $x$ 处可导
广义链式法则（多重嵌套）	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u _{1}} \frac{d u _{1}}{d u _{2}} ... \frac{d u _{n}}{d x}$	从外到内求导；每一层对应一个导数项
幂函数链式法则	$\frac{d}{d x} [u^{n}] = n u^{n - 1} u^{'}$	多项式复合最常用的形式；千万不要忘记 $u^{'}$
指数函数链式法则	$\frac{d}{d x} [e^{u}] = e^{u} u^{'}$	适用于任意可导 $u$ ； $e^{u}$ 的导数等于自身乘以 $u^{'}$
参数曲线一阶导数	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}, \frac{d x}{d t} \neq = 0$	给出参数曲线切线的斜率
参数曲线二阶导数	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{d y}{d x} )}{d x / d t}, \frac{d x}{d t} \neq = 0$	一定要除以 $d x / d t$ ；不能只对 $d y / d x$ 关于 $t$ 求导
反函数导数	$(f^{- 1})^{'} (a) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( a ))}$	先解方程 $f (x) = a$ 得到 $f^{- 1} (a)$ ，不需要求完整反函数
三角函数复合	$\frac{d}{d x} [sin (u)] = cos (u) u^{'}$ , $\frac{d}{d x} [tan (u)] = sec^{2} (u) u^{'}$	和基础三角函数导数规律相同，仅多乘一个 $u^{'}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
嵌套复合函数求导
2022 · FRQ
参数曲线二阶导数
2021 · MCQ
反函数导数

下一步

掌握链式法则是学习AP微积分BC所有后续内容的必备基础，它是接下来所有高阶求导和积分技巧的基础。学完本主题后，你接下来就会将链式法则应用到隐函数求导中，隐函数求导可以对没有写成 $y = f (x)$ 显式形式的函数求导。如果没有扎实掌握链式法则，你就无法正确对隐函数关系求导，而隐函数关系经常在FRQ部分考查。链式法则也是所有相关变化率问题的必备基础，相关变化率是解决实际世界变化率问题的核心技巧，同时它也是你将学到的第一个主要积分技巧——换元积分法的核心思想。它也是本单元后续内容对数求导法和反三角函数导数的基础。