高阶导数的计算

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions· 14 分钟阅读

1. 高阶导数基础★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

高阶导数

对函数求导两次或以上得到的导数（阶数 $n \geq 2$ ）。求出一阶导数后，每一次后续求导都会得到更高阶的导数。

例:

位置的二阶导数就是加速度，这是一个常见的应用高阶导数的例子。

高阶导数是AP微积分BC的核心内容，在选择题和自由问答题中都会出现，占第3单元对应的9-13%的考试分数。它是凹凸性分析、运动问题和后续泰勒级数的基础。

你需要识别三种常用的记法约定：

撇号记法: $f^{'} (x)$ (一阶), $f^{''} (x)$ (二阶), $f^{(n)} (x)$ (n阶，当 $n \geq 3$ 时使用，避免一长串撇号)
莱布尼茨记法: $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ (二阶), $\frac{d ^{n} y}{d x ^{n}}$ (n阶)
点记法: $\overset{y}{˙}$ (一阶), $\overset{y}{¨}$ (二阶), 常用于运动问题中表示速度和加速度

2. 显函数的高阶导数★★☆☆☆⏱ 4 min

显函数的形式为 $y = f (x)$ ，y已被分离出来。计算显函数的高阶导数很直接：从原函数开始逐次求导，对一阶导数再求导，重复直到得到目标阶数。

📐 例题

求 $f (x) = x^{2} e^{3 x}$ 的三阶导数 $f^{'''} (x)$ 。

1
使用乘积法则计算一阶导数：
2
$f'(x) = \frac{d}{dx}[x^2]e^{3x} + x^2\frac{d}{dx}[e^{3x}] = 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}$
3
提取公因式 $e^{3 x}$ 化简： $f^{'} (x) = e^{3 x} (3 x^{2} + 2 x)$
4
再次使用乘积法则计算二阶导数：
5
$f''(x) = 3e^{3x}(3x^2 + 2x) + e^{3x}(6x + 2) = e^{3x}(9x^2 + 12x + 2)$
6
计算三阶导数：
7
$f'''(x) = 3e^{3x}(9x^2 + 12x + 2) + e^{3x}(18x + 12) = 9e^{3x}(3x^2 + 6x + 2)$

✓ 快速检测

测试你对显函数高阶导数的理解：

若 $y = sin (2 x)$ ，四阶导数 $y^{(4)}$ 是？
- $16 sin (2 x)$
- $4 cos (2 x)$
- $- 16 sin (2 x)$
- $16 cos (2 x)$
显示答案
A —
逐次求导： $y^{'} = 2 cos (2 x)$ ， $y^{''} = - 4 sin (2 x)$ ， $y^{'''} = - 8 cos (2 x)$ ， $y^{(4)} = 16 sin (2 x)$

Exam tip:

每次求导后都要化简。低阶导数不化简会让下一步求导更复杂，增加出错概率。

3. 隐函数的高阶导数★★★☆☆⏱ 4 min

对于隐式定义的关系式，y没有被分离为x的函数，我们已经知道如何求一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 。要求二阶导数 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ，只需对 $\frac{d y}{d x}$ 的表达式关于x求导，然后代入已知的 $\frac{d y}{d x}$ 表达式再化简即可。

📐 例题

求椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 9$ 的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
两边对x求导得到一阶导数：
2
$2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0$
3
整理得到 $\frac{d y}{d x}$ ：
4
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$
5
使用商法则对 $\frac{d y}{d x}$ 关于x求导，得到 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ：
6
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(-1)(4y) - (-x)(4 \frac{dy}{dx})}{(4y)^2} = \frac{-4y + 4x \frac{dy}{dx}}{16y^2}$
7
代入 $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$ ，并利用原方程化简：
8
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{x^2 + 4y^2}{16y^3} = -\frac{9}{16y^3}$

Exam tip:

求出隐函数高阶导数后，如果可能一定要代入原方程化简。AP考试题目几乎都要求这种用x和y表示的完全化简形式。

4. 参数函数的高阶导数★★★★☆BC 专属⏱ 3 min

对于形式为 $x = x (t)$ ， $y = y (t)$ 的参数函数，一阶导数为 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ 。一个常见的错误认知是认为二阶导数等于 $\frac{d ^{2} y / d t ^{2}}{d ^{2} x / d t ^{2}}$ ，这是不对的。

📘 定义

参数函数的二阶导数

\frac{d^2y}{dx^2}

由于 $\frac{d y}{d x}$ 是t的函数，对x求导需要通过链式法则计算： $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{1}{d x / d t} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})$ 。对于任意n阶高阶导数，重复这个过程即可： $\frac{d ^{n} y}{d x ^{n}} = \frac{1}{d x / d t} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{d ^{n - 1} y}{d x ^{n - 1}})$ 。

📐 例题

求参数函数 $x (t) = t^{2} + 1$ ， $y (t) = e^{2 t}$ 的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
计算对t的一阶导数：
2
$\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 2e^{2t}$
3
计算一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ ：
4
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2t}}{2t} = \frac{e^{2t}}{t}$
5
使用商法则对 $\frac{d y}{d x}$ 关于t求导：
6
$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{2e^{2t} \cdot t - e^{2t} \cdot 1}{t^2} = \frac{e^{2t}(2t - 1)}{t^2}$
7
除以 $\frac{d x}{d t} = 2 t$ 得到最终结果：
8
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{e^{2t}(2t - 1)}{2t^3}$

Exam tip:

计算参数二阶导数时，一定不要漏掉最后除以dx/dt这一步。这是AP考试中本知识点最常见的错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

将参数函数的二阶导数计算为 $\frac{d ^{2} y / d t ^{2}}{d ^{2} x / d t ^{2}}$ ，而非 $\frac{( d / d t ( d y / d x ))}{d x / d t}$

原因:

学生错误地将一阶导数公式推广到二阶导数，只是对分子分母再次求导。

正确做法:

代入数值前一定要先写出二阶导数公式 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{1}{d x / d t} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})$ ，先算出dy/dx再求导。

错误做法:

求隐函数二阶导数时，将 $y \frac{d y}{d x}$ 求导只得到 $(\frac{d y}{d x})^{2}$ ，漏掉了 $y \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 项

原因:

学生在第二次求导时，把 $\frac{d y}{d x}$ 当成常数而非x的函数。

正确做法:

只要对两个x的函数的乘积求导，都要应用乘积法则，包括y和 $\frac{d y}{d x}$ 的乘积。

错误做法:

误解记法，将 $f^{(n)} (x)$ 当成 $[f (x)]^{n}$ （f的n次幂）而非n阶导数

原因:

高阶导数的带括号记法很容易和函数幂次的指数记法混淆。

正确做法:

一定要看数字是否在f后的括号内： $f^{(2)} (x)$ 是二阶导数， $f^{2} (x)$ 是f(x)的平方。

错误做法:

隐函数高阶求导中，对含y的项求导时忘记应用链式法则，导致漏掉 $\frac{d y}{d x}$ 或 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 因子

原因:

学生在完成第一次求导后放松，高阶求导时跳过了链式法则步骤。

正确做法:

逐项求导，每次对y的函数求导时，都要乘以y对x的导数。

错误做法:

隐函数二阶导数结果中仍然保留 $\frac{d y}{d x}$ ，没有代入已知的 $\frac{d y}{d x}$ 表达式

原因:

学生求导后提前停止，忘记替换得到仅含x和y的结果。

正确做法:

求导得到 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 的表达式后，一定要代入一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 再化简。

6. 速查表

类别	公式	说明
n阶导数撇号记法	$f^{(n)} (x)$	n带括号用来区分f(x)的n次幂；用于 $n \geq 4$
n阶导数莱布尼茨记法	$\frac{d ^{n} y}{d x ^{n}}$	指数在分子的d上，分母的x上；不等于 $(\frac{d y}{d x})^{n}$
显函数高阶导数法则	$f^{(n)} (x) = \frac{d}{d x} f^{(n - 1)} (x)$	逐次求导，每次求导后化简
隐函数二阶导数步骤	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})$	求导后代入 $\frac{d y}{d x}$ ，得到用x和y表示的结果
参数函数一阶导数	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$	适用于参数函数 $x = x (t), y = y (t)$
参数函数二阶导数	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{1}{d x / d t} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})$	仅BC要求的知识点；不要使用 $\frac{d ^{2} y / d t ^{2}}{d ^{2} x / d t ^{2}}$
参数函数n阶导数	$\frac{d ^{n} y}{d x ^{n}} = \frac{1}{d x / d t} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{d ^{n - 1} y}{d x ^{n - 1}})$	对所有高阶导数重复这个过程
运动中的二阶导数	$a (t) = s^{''} (t)$	直线运动中位置的二阶导数等于加速度

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
参数函数的二阶导数
2022 · FRQ
隐函数二阶导数计算

下一步

掌握高阶导数是AP微积分BC几乎所有剩余核心知识点的前提。你首先会在微分的应用单元中，将这个技巧用于分析函数的凹凸性和拐点，并且在直线运动问题中一直用到二阶导数，二阶导数在这类问题中表示加速度，是AP自由问答题的常见考点。最重要的是，高阶导数是泰勒多项式和泰勒级数的全部基础，泰勒级数占AP微积分BC考试分数的高达10%。如果不能可靠计算n阶导数，你就无法构造泰勒级数或计算近似误差界。接下来，你会将高阶导数用于解释函数的实际意义和图像行为。