# 商法则

> AP 微积分 BC · 第2单元：求导：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-quotient-rule/

本模块讲解AP微积分BC中的商法则：从乘积法则的推导、对常见函数类型的应用、常见错误的规避，以及在切线和变化率问题中的应用。

**先修:** 导数的极限定义; [求导的乘积法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-product-rule/); 有理函数的基本代数化简

## 学习目标

- 陈述可导函数之商的求导商法则公式
- 应用商法则求有理函数、三角函数和指数函数的导数
- 运用商法则解决切线问题和实际变化率问题
- 识别并避免应用商法则时的常见错误

## 商法则的定义与公式

商法则是核心求导法则，它允许你计算两个可导函数之商的导数，无需每次都回到极限定义。作为第2单元的内容，它占AP考试总分的10–12%，且几乎总是作为大型问题中的一个步骤出现，而非单独命题。

**商法则** — 对于两个可导函数$g(x)$（分子）和$h(x)$（分母），若在输入点$x$处$h(x) \neq 0$，则$f(x)$的导数为：

*记法:* f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

*例:* f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}

> **顺序记忆口诀**
>
> 低导高减去高导低，结果除以低的平方。“低”指分母，“导高”是分子的导数。

**例题:** 已知$f(x) = \frac{3x^2 + 2x}{e^x}$，写出$g(x)$、$h(x)$，以及未化简的导数$f'(x)$。

1. 识别分子（高）和分母（低）函数：
2. $$g(x) = 3x^2 + 2x, \quad h(x) = e^x$$
3. 计算每个函数的导数：
4. $$g'(x) = 6x + 2, \quad h'(x) = e^x$$
5. 代入商法则公式得到未化简的导数：
6. $$f'(x) = \frac{(6x + 2)(e^x) - (3x^2 + 2x)(e^x)}{(e^x)^2}$$

> **考试提示:** 如果AP题目要求未化简的导数，代入后就停止——不要浪费时间化简，也绝对不要颠倒项的顺序。

## 用商法则化简导数

正确代入商法则后，为了在FRQ和大多数MCQ题目中获得满分，你通常需要化简结果。关键步骤是对分子提取公因式来化简表达式。商法则还可用于推导所有倒数三角函数的导数，这些导数你会在整个课程中经常用到。

**例题:** 求$f(x) = \frac{2x - 4}{x^2 + 1}$的完全化简形式导数。

1. 识别$g(x)$、$h(x)$及其导数：
2. $$g(x) = 2x - 4, \, h(x) = x^2 + 1 \implies g'(x) = 2, \, h'(x) = 2x$$
3. 代入商法则公式：
4. $$f'(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) - (2x - 4)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$
5. 展开分子，将负号分配给第二个乘积的所有项：
6. $$2x^2 + 2 - 4x^2 + 8x = -2x^2 + 8x + 2$$
7. 提取公常数得到最终化简形式：
8. $$f'(x) = \frac{-2(x^2 - 4x - 1)}{(x^2 + 1)^2}$$

> **考试提示:** 一定要把负号分配给分子第二个乘积的每一项——这是AP考试中最常见的错误来源。

## AP常见应用：切线问题

AP考试中常见的应用是将商法则与导数作为切线斜率的几何意义结合起来。解决这类问题时，你先用商法则求出通式导数，再在给定点求值得到斜率，最后用点斜式写出切线方程。

**例题:** 求$y = \frac{\sin x}{x}$在$x = \pi$处的切线方程。

1. 识别函数及其导数：
2. $$g(x) = \sin x, \, h(x) = x \implies g'(x) = \cos x, \, h'(x) = 1$$
3. 应用商法则得到导数：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{(\cos x)(x) - (\sin x)(1)}{x^2}$$
5. 在$x = \pi$处对导数求值得到斜率$m$：
6. $$m = \frac{(-1)(\pi) - 0}{\pi^2} = -\frac{1}{\pi}$$
7. 求切点的$y$坐标：
8. $$y = \frac{\sin \pi}{\pi} = 0 \implies \text{Point: } (\pi, 0)$$
9. 代入点斜式并化简：
10. $$y = -\frac{1}{\pi}(x - \pi) = -\frac{1}{\pi}x + 1$$

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你对商法则的理解：

1. 下列哪一项是$f(x) = \frac{x^3}{\cos x}$的正确导数？

   - A) $\frac{3x^2 \cos x + x^3 \sin x}{\cos^2 x}$
   - B) $\frac{3x^2 \cos x - x^3 \sin x}{\cos x}$
   - C) $\frac{3x^2 \cos x + x^3 \sin x}{\cos x}$
   - D) $\frac{3x^2 \cos x - x^3 \sin x}{\cos^2 x}$

   *解析:* 记住$h'(x) = -\sin x$，因此分子中负负得正，且分母必须平方。

> **考试提示:** 求出通式导数后立刻在给定点求值，再化简整个表达式——这能节省时间，减少计算错误。

## 拓展AP风格例题

**例题:** 设$f(x) = \frac{2e^x}{x^2 - 9}$。(a) 求完全化简因式分解形式的$f'(x)$。(b) 找出所有$f(x)$不可导的$x$值，并证明你的结论。(c) 求$x=0$处切线的斜率。

1. (a)问：识别$g(x), h(x)$及其导数：
2. $$g(x) = 2e^x, g'(x) = 2e^x; h(x) = x^2 - 9, h'(x) = 2x$$
3. 代入商法则：
4. $$f'(x) = \frac{(2e^x)(x^2 - 9) - (2e^x)(2x)}{(x^2 - 9)^2}$$
5. 提取公因式$2e^x$得到化简形式：
6. $$f'(x) = \frac{2e^x(x^2 - 2x - 9)}{(x^2 - 9)^2}$$
7. (b)问：找出原分母等于零的位置：
8. $$x^2 - 9 = 0 \implies x = 3, x = -3$$
9. 证明：$f(x)$在这些点无定义，而商法则要求可导时$h(x) \neq 0$，因此$f(x)$在$x = \pm 3$处不可导。
10. (c)问：对$f'(0)$求值得到切线斜率：
11. $$f'(0) = \frac{2e^0(0 - 0 - 9)}{(0 - 9)^2} = \frac{-18}{81} = -\frac{2}{9}$$

**例题:** 注射后$t$小时，患者血液中的药物浓度可建模为$C(t) = \frac{0.12t}{t^2 + 2}$，其中$t \geq 0$，$C(t)$的单位是毫克每升。求注射后2小时浓度的变化率，并写出单位。

1. 我们需要$C'(2)$，即导数在$t=2$处的值。识别函数及其导数：
2. $$g(t) = 0.12t, g'(t) = 0.12; h(t) = t^2 + 2, h'(t) = 2t$$
3. 应用商法则并化简：
4. $$C'(t) = \frac{(0.12)(t^2 + 2) - (0.12t)(2t)}{(t^2 + 2)^2} = \frac{0.24 - 0.12t^2}{(t^2 + 2)^2}$$
5. 在$t=2$处求值：
6. $$C'(2) = \frac{0.24 - 0.12(4)}{(4 + 2)^2} = \frac{-0.24}{36} \approx -0.0067$$
7. 结合语境：注射后2小时，药物浓度以约0.0067毫克每升每小时的速率下降。

## 常见错误

- **错误做法:** 颠倒分子中项的顺序，写成$\frac{g(x)h'(x) - g'(x)h(x)}{[h(x)]^2}$
  - 原因: 受乘积法则干扰（加法中顺序不影响结果）或记错了口诀
  - 正确做法: 动笔前在脑中默念“低导高减高导低”，确认项的正确顺序
- **错误做法:** 忘记给分母平方，写成$\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)}$
  - 原因: 所有注意力都放在多项的分子上，因此忽略了分母
  - 正确做法: 识别出$g(x)$和$h(x)$后，在处理分子之前立刻写出分母$[h(x)]^2$
- **错误做法:** 不对复合函数$g(x)$或$h(x)$应用链式法则，例如对$g(x) = (2x + 1)^2$错误写出$g'(x) = 2x$
  - 原因: 注意力都放在记住商法则公式上，因此忘记$g'$和$h'$本身也需要应用求导法则
  - 正确做法: 识别出$g(x)$和$h(x)$后，一定要检查其中是否有复合函数，需要的话先应用链式法则再继续
- **错误做法:** 求导前对原分子分母的非恒定公因式进行约分
  - 原因: 混淆了原函数的代数化简和商的求导
  - 正确做法: 先用商法则求导，再只对得到的导数进行化简
- **错误做法:** 遗漏原分母为零处的不可导点
  - 原因: 错误认为导数公式处处有定义，因此原函数处处可导
  - 正确做法: 求出导数后一定要检查哪里$h(x) = 0$，因为商法则仅在$h(x) \neq 0$时适用

## 速查表

| 类别 | 公式 / 口诀 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 通用商法则 | $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \implies f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}$ | 要求$g$、$h$在$x$处可导，且$h(x) \neq 0$ |
| 口诀 | "低导高减去高导低，结果除以低的平方" | "低" = 分母$h(x)$，"导高" = 分子的导数$g'(x)$ |
| $\tan x$的导数 | $\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$ | 通过商法则推导：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ |
| $\cot x$的导数 | $\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$ | 通过商法则推导：$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ |
| $\sec x$的导数 | $\frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x$ | 通过商法则推导：$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ |
| $\csc x$的导数 | $\frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x$ | 通过商法则推导：$\csc x = \frac{1}{\sin x}$ |
| 用商法则求切线 | $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ | 先用商法则求出$f'(a)$，再代入点斜式 |

## 下一步

掌握商法则是学习第2单元后续内容必不可少的前提，包括所有三角函数的求导，以及对复杂函数组合多个求导法则。它也是第3单元隐函数求导的基础（隐函数求导中你会经常对隐式商求导），还是第6单元部分分式分解等积分技巧的基础。每次都保证项的顺序和分母平方正确，对于避免在AP考试的多步骤问题中丢掉送分题至关重要。

- [乘积法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-product-rule/)
- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-implicit-differentiation/)
- [tan、cot、sec、csc的导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-quotient-rule/