# 乘积法则

> AP 微积分 BC · 求导：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-product-rule/

本指南讲解了用于对两个及以上可导函数乘积求导的乘积法则、其向多个函数的推广、切线相关应用，以及AP考试中需要避免的常见陷阱。

**先修:** [导数的极限定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-derivative-definition/); [多项式的基本幂法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-power-rule/); [三角函数、指数函数和对数函数的求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-derivatives-common-functions/)

## 学习目标

- 运用乘积法则求两个可导函数乘积的导数
- 将乘积法则推广到三个及以上可导函数的乘积
- 运用乘积法则求乘积函数定义曲线的切线
- 识别并避免AP考试中运用乘积法则时的常见陷阱

## 核心定义：两个函数的乘积法则

乘积法则是一项基础求导技巧，它允许你无需展开乘积就能计算两个可导函数乘积的导数，而对于$x\sin x$或$e^x \ln x$这类非多项式乘积，展开是不可能的。它占AP考试第二单元分数的10–12%，是几乎所有高阶求导内容的基础。

**两个函数的乘积法则** — 对于两个可导函数$f(x)$和$g(x)$，它们乘积的导数等于第一个函数乘第二个函数的导数，加上第二个函数乘第一个函数的导数。

*记法:* \frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

> **记忆口诀**
>
> 第一个乘第二个的导数，加上第二个乘第一个的导数。这样能保证你永远不会搞错项的顺序。

**推导:** 从导数的极限定义推导乘积法则

*起点:* Let $h(x) = f(x)g(x)$. By definition: $h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}$

1. 加减$f(x+\Delta x)g(x)$以拆分极限：
2. $$\lim_{\Delta x \to 0} \left[ f(x+\Delta x) \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} + g(x) \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right]$$
3. 利用可导函数的连续性取极限，得到$\lim_{\Delta x \to 0} f(x+\Delta x) = f(x)$

*结论:* 化简后得到标准的乘积法则公式 $h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

**例题:** 求$h(x) = (3x^2 - 2x)(e^x + \sin x)$的导数

1. 识别两个函数：$f(x) = 3x^2 - 2x$，$g(x) = e^x + \sin x$
2. 计算每个函数的导数：
3. $$f'(x) = 6x - 2 \\ g'(x) = e^x + \cos x$$
4. 代入乘积法则公式：
5. $$h'(x) = (3x^2 - 2x)(e^x + \cos x) + (e^x + \sin x)(6x - 2)$$
6. 如果题目要求展开形式，化简得到：
7. $$h'(x) = 3x^2e^x + 4xe^x - 2e^x + 3x^2\cos x - 2x\cos x + 6x\sin x - 2\sin x$$

> **考试提示:** 在AP考试中，除非题目明确要求，否则你无需展开最终导数；因式分解形式几乎总是可以获得满分。

## 三个及以上函数的乘积法则

通过反复运用两个函数的乘积法则，乘积法则可以自然推广到任意数量的可导函数，并且呈现出清晰的规律：对于$n$个函数，导数是$n$项的和，每一项恰好对一个函数求导，其余所有函数保持不变。AP考试最常选择题中考察三个函数的乘积。

**推导:** 推导三个函数的乘积法则

*起点:* Group the product $f(x)g(x)h(x)$ as $f \cdot (gh)$ to apply the two-function rule

1. 先运用两个函数的乘积法则：
2. $$\frac{d}{dx}[f (gh)] = f' (gh) + f \frac{d}{dx}(gh)$$
3. 再对$\frac{d}{dx}(gh)$运用两个函数的法则：
4. $$= f' g h + f (g' h + g h') = f' g h + f g' h + f g h'$$

*结论:* 规律成立：$n$个函数的导数恰好有$n$项，每个求导的函数对应一项。

**例题:** 求$y = x \cos x \ln x$的导数

1. 标记三个函数：$f_1(x) = x$，$f_2(x) = \cos x$，$f_3(x) = \ln x$
2. 计算每个函数的导数：
3. $$f_1'(x) = 1 \\ f_2'(x) = -\sin x \\ f_3'(x) = \frac{1}{x}$$
4. 运用三个函数的乘积法则：$\frac{dy}{dx} = f_1' f_2 f_3 + f_1 f_2' f_3 + f_1 f_2 f_3'$
5. 代入并化简，约去最后一项中的$x$：
6. $$\frac{dy}{dx} = \cos x \ln x - x \sin x \ln x + \cos x$$

> **考试提示:** 对于三个函数的乘积，一定要确认你恰好得到三项；漏一项是这类题最常见的错误。

## 切线应用

AP考试中乘积法则一个常见的应用是求由函数乘积定义的曲线的切线方程。这类题结合了乘积法则和直线的点斜式，在选择题和前几道简答题中都经常考察。解题需要两个值：切点$(x_0, y_0)$，其中$y_0 = h(x_0)$，以及通过乘积法则得到的斜率$m = h'(x_0)$。

**例题:** 求$h(x) = (x^2 - 4)(2^x)$在$x = 2$处的切线方程

1. 求切点的$y$坐标：
2. $$h(2) = (2^2 - 4)(2^2) = 0 \cdot 4 = 0$$
3. 切点为$(2, 0)$
4. 识别函数并计算它们的导数：
5. $$f(x) = x^2 - 4, \quad f'(x) = 2x \\ g(x) = 2^x, \quad g'(x) = 2^x \ln 2$$
6. 运用乘积法则得到$h'(x)$：
7. $$h'(x) = (x^2 - 4)(2^x \ln 2) + 2^x (2x)$$
8. 计算$h'(2)$得到斜率：
9. $$h'(2) = (4 - 4)(4 \ln 2) + 4(4) = 0 + 16 = 16$$
10. 写出并化简切线方程：
11. $$y - 0 = 16(x - 2) \\ y = 16x - 32$$

> **考试提示:** 一定要先算$y$坐标再算斜率；考生很容易不小心把$x_0$代入导数得到$y_0$，白白丢掉送分题的分数。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 以下哪一项等于$\frac{d}{dx}\left[ (x^3 - 5x^2)(\cos x) \right]$？

   - A) $(3x^2 - 10x)(-\sin x)$
   - B) $-(3x^2 - 10x)\sin x + (x^3 - 5x^2)\cos x$
   - C) $(x^3 - 5x^2)\sin x + (3x^2 - 10x)\cos x$
   - D) $-(x^3 - 5x^2)\sin x + (3x^2 - 10x)\cos x$

   *解析:* 运用乘积法则：$f(x) = x^3 - 5x^2$，$g(x) = \cos x$。$f'(x) = 3x^2 - 10x$，$g'(x) = -\sin x$。代入$f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$即可得到正确结果。

## 常见错误

- **错误做法:** 将导数写为$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g'(x)$，而非$f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$
  - 原因: 学生混淆了乘积的导数和导数的乘积，错误地认为导数像对加法分配一样对乘法也满足分配律
  - 正确做法: 开始解题前回忆口诀‘第一个乘第二个的导数加第二个乘第一个的导数’，并确认两个函数的乘积得到两项
- **错误做法:** 在乘积法则步骤中对余弦或其他带有负号导数的三角函数求导时忘记负号
  - 原因: 学生把注意力都放在记住乘积法则结构上，忽略了单个函数的基本求导法则
  - 正确做法: 写完乘积法则的所有项后，化简前要再次检查每个单个函数导数的符号错误
- **错误做法:** 对三个函数的乘积求导时漏项（例如，写为$\frac{d}{dx}[fgh] = f'gh + fgh'$，省略了$fg'h$项）
  - 原因: 学生尝试直接把两个函数的直觉用到三个函数上，数错了项数
  - 正确做法: 对于任意$n$个函数的乘积，继续下一步之前确认你的导数恰好有$n$项，每个求导的函数对应一项
- **错误做法:** 求导前展开整个乘积，导致高次多项式乘积出现代数错误
  - 原因: 学生认为展开比运用乘积法则更简单，但这会引入不必要的额外乘法步骤
  - 正确做法: 对于任意函数的乘积，即使是多项式，也始终使用乘积法则，避免额外的代数运算，减少错误
- **错误做法:** 运用乘积法则前就在$x_0$处计算每个函数的导数，当题目要求一般导函数时会得到错误的常数
  - 原因: 当要求斜率时学生急于代入给定的$x$值，但有时题目会先要求一般导函数
  - 正确做法: 仔细读题：如果题目要求一般导数，在得到完整导函数之前不要代入数值

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 两个函数的乘积法则 | $\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$ | 适用于$f$和$g$均可导的情况；口诀：一导二加二导一 |
| 三个函数的乘积法则 | $\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)h(x)\right] = f'gh + fg'h + fgh'$ | 每个求导的函数对应一项；$n$个函数总共有$n$项 |
| 乘积函数的切线 | $y - y_0 = h'(x_0)(x - x_0)$ | $y_0 = h(x_0)$，$h'(x_0)$是通过乘积法则得到的斜率 |
| n个函数的乘积法则 | $\frac{d}{dx}\left[\prod_{i=1}^n f_i(x)\right] = \sum_{i=1}^n \left(f_i'(x) \prod_{j \neq i} f_j(x)\right)$ | 适用于任意数量的可导函数；$n>3$的情况很少考察 |
| 常数倍法则（特殊情况） | $\frac{d}{dx}\left[c f(x)\right] = c f'(x)$ | 乘积法则的特殊情况，其中一个函数是常数；用这个法则代替完整乘积法则 |
| 因式分解多项式导数 | $\frac{d}{dx}\left[(a_nx^n + ...)(b_mx^m + ...)\right] = f g' + g f'$ | 比展开更快，减少高次多项式的代数错误 |

## 下一步

掌握乘积法则是第二单元下一个核心内容——商法则的必要前提，商法则直接由乘积法则和幂法则推导而来。如果没有扎实掌握乘积法则，你很难正确运用商法则，也无法避免常见的符号和项错误。除了第二单元外，乘积法则是后续课程中链式法则、隐函数求导、对数求导和分部积分的基础。你在AP考试中遇到的几乎每一道复杂求导题都会在某一步用到乘积法则，因此养成正确运用它的习惯对整个课程都大有裨益。

- [商法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-quotient-rule/)
- [链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-chain-rule/)
- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-implicit-differentiation/)
- [分部积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-integration-by-parts/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-product-rule/