# 微分：定义与基本性质

> AP 微积分 BC · 微分的基础
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-overview/
> 占比: 占 AP 微积分 BC 考试的 10-12%

本单元介绍微分的核心定义与法则，微分是微积分中用于衡量变化率的基础工具。你将从第一性原理出发，逐步掌握整个课程都会用到的实用微分法则。

**先修:** [AP 微积分 BC 第一单元：极限与连续性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u1-overview/)

## 学习目标

- 从第一性原理出发将导数定义为平均变化率的极限，并正确使用标准导数符号
- 运用核心微分法则计算基本初等函数的导数
- 解释可导性与连续性的关系，并判断函数不可导的位置
- 根据图像、表格和数值数据估计某一点处的导数

## 单元概览

本单元遵循从第一性原理到实用微分的逻辑递进。我们首先将你熟悉的变化率概念与导数的正式定义联系起来，然后逐步推导核心法则，让你无需每次计算都依赖极限就能快速求出导数。

学完本单元后，你将能够对所有基本初等函数求导，为后续单元学习更高级的微分技巧和导数应用做好准备。

本单元包含以下子主题：
- [AP 微积分 BC 可导性与连续性的联系](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-connecting-differentiability-and-continuity/) — 探究可导性与连续性的关系，包括函数不可导的情形。
- [AP 微积分 BC 常数、和、差与常数倍法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-constant-sum-difference-and-constant/) — 学习最基础的微分法则：常数、和、差与常数倍法则。
- [AP 微积分 BC 某一点处平均变化率与瞬时变化率的定义](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-defining-average-and-instantaneous-rates/) — 区分平均变化率与瞬时变化率，并将它们与极限建立联系。
- [AP 微积分 BC 导数的定义与导数符号的使用](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-defining-the-derivative-and-using/) — 明确导数的正式定义，练习使用标准导数符号。
- [AP 微积分 BC cos、sin、e^x、ln(x) 的导数](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-derivatives-of-cos-sin-e/) — 记忆并运用正弦、余弦、$e^x$ 和 $\ln(x)$ 的求导法则。
- [AP 微积分 BC tan、cot、sec、csc 的导数](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/) — 学习其余三角函数的导数：正切、余切、正割与余割。
- [AP 微积分 BC 估计函数在某一点处的导数](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-estimating-derivatives-of-a-function/) — 根据表格、图像和数值数据估计某一点处的导数值。
- [AP 微积分 BC 幂法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-power-rule/) — 运用幂法则，这是多项式函数和幂函数求导最常用的法则。
- [AP 微积分 BC 乘积法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-product-rule/) — 学习如何使用乘积法则对函数乘积求导。
- [AP 微积分 BC 商法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u2-quotient-rule/) — 使用商法则求函数比值的导数。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为所有连续函数都可导
  - 原因: 连续性不能保证可导性。带有尖点、歧点或垂直切线的函数连续但不可导。
  - 正确做法: 确认可导性时，即使已知函数连续，也要始终检查是否存在尖锐点或垂直切线。
- **错误做法:** 错误运用乘积法则或商法则的公式
  - 原因: 许多学生错误地化简为 $(fg)' = f'g'$，或者在商法则中弄错项的顺序，导致结果错误。
  - 正确做法: 记住完整的正确形式：$(fg)' = f'g + fg'$ 和 $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$。
- **错误做法:** 对 $e^x$ 这类指数函数运用幂法则
  - 原因: 幂法则仅适用于指数为常数、底数为变量的函数，反之不适用。
  - 正确做法: 记住 $e^x$ 的导数就是它本身，仅对 $x^n$ 这类项使用幂法则即可。

## 速查表

| 法则/概念 | 公式 |
| --- | --- |
| $a$ 点处导数的定义 | $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ |
| 幂法则 | $\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$ |
| 乘积法则 | $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'g + fg'$ |
| 商法则 | $\frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ |
| $\sin x$ 的导数 | $\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$ |
| $\cos x$ 的导数 | $\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$ |
| $e^x$ 的导数 | $\frac{d}{dx} e^x = e^x$ |
| $\ln x$ 的导数 | $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \ (x>0)$ |
| 可导性蕴含连续性 | 若 $f$ 在 $a$ 点可导，则它在 $a$ 点连续 |

## 下一步

学习本单元可以从平均变化率和瞬时变化率如何构成导数的基础开始。掌握这里介绍的所有核心微分法则后，你就可以准备进入下一单元学习更高级的微分技巧了。

- [AP 微积分 BC 某一点处平均变化率与瞬时变化率的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-defining-average-and-instantaneous-rates/)
- [AP 微积分 BC 链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-chain-rule/)
- [导数的定义与导数记号](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-defining-the-derivative-and-using/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-overview/