tan、cot、sec、csc的导数

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 求导：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 推导四个三角函数导数公式★★☆☆☆⏱ 4 min

这四个导数都可以直接推导：先把目标三角函数改写成正弦和余弦的形式，再应用商法则。如果你在考场上忘记了符号或形式，这是一个很实用的验证公式的技巧。

回顾 $f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )}$ 的商法则：

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

我们从 $tan x = \frac{s i n x}{c o s x}$ 开始。令 $g (x) = sin x$ （ $g^{'} (x) = cos x$ ）， $h (x) = cos x$ （ $h^{'} (x) = - sin x$ ），代入商法则得：

\frac{d}{dx}\tan x = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}

利用勾股恒等式 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ，该式化简为 $\frac{1}{c o s ^{2} x} = sec^{2} x$ 。对另外三个函数重复这个过程，就能得到完整的标准公式组：

$\frac{d}{d x} cot x = - csc^{2} x$
$\frac{d}{d x} sec x = sec x tan x$
$\frac{d}{d x} csc x = - csc x cot x$

📐 例题

用商法则推导 $\frac{d}{d x} csc x$ ，验证标准导数公式。

1
将 $csc x$ 改写为正弦形式： $csc x = \frac{1}{s i n x}$ ，因此 $f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )}$ ，其中 $g (x) = 1$ ， $h (x) = sin x$ 。
2
确定分子和分母的导数： $g^{'} (x) = 0$ ， $h^{'} (x) = cos x$ 。
3
应用商法则：
$f'(x) = \frac{(0)(\sin x) - (1)(\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{-\cos x}{\sin^2 x}$
4
改写为余割和余切的形式：
$\frac{-\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x, which matches the standard formula.$

Exam tip:

如果你在考场上忘记了导数的符号或形式，可以快速在页边用商法则重新推导——这只需要30秒，还能消除猜测。

2. 组合函数的常规求导★★☆☆☆⏱ 3 min

记住这四个导数公式后，你可以将它们和其他基本求导法则（和法则、差法则、常数倍法则、乘积法则、商法则）结合，对包含这些三角项的函数求导。这是AP微积分BC选择题部分最常考的直接应用。

三角学中的定义域规则仍然适用：函数只有在有定义的点才可导，因此这些函数的导数在原函数存在垂直渐近线的位置同样无定义。例如，对任意整数 $k$ ， $tan x$ 在 $x = \frac{π}{2} + k π$ 处无定义，因此它的导数 $sec^{2} x$ 在这些点也无定义。

📐 例题

求 $f (x) = 4 sec x - 2 cot x + x^{2}$ 的导数，并计算 $f^{'} (\frac{π}{4})$ 的值。

1
利用和/差法则和常数倍法则逐项求导：
- $\frac{d}{d x} [4 sec x] = 4 \cdot \frac{d}{d x} sec x = 4 sec x tan x$
- $\frac{d}{d x} [- 2 cot x] = - 2 \cdot \frac{d}{d x} cot x = - 2 (- csc^{2} x) = 2 csc^{2} x$
- $\frac{d}{d x} [x^{2}] = 2 x$
2
合并各项得到通式导数：
$f'(x) = 4\sec x \tan x + 2\csc^2 x + 2x$
3
代入 $x = \frac{π}{4}$ ，使用单位圆数值（ $sec (\frac{π}{4}) = 2$ ， $tan (\frac{π}{4}) = 1$ ， $csc (\frac{π}{4}) = 2$ ）：
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4(\sqrt{2})(1) + 2(\sqrt{2})^2 + 2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4\sqrt{2} + 4 + \frac{\pi}{2}$

Exam tip:

在计算特殊角的导数值时，请仔细检查你的单位圆数值——AP考试的干扰项经常会在 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{π}{6}$ 这类角度使用错误的三角值。

3. 用链式法则对复合函数求导★★★☆☆⏱ 4 min

大多数涉及这些导数的AP考试题目都是复合函数，其中三角项是一个非平凡内层函数的函数（例如 $tan (2 x^{3})$ 、 $csc (5 x + 1)$ ）。对于这类题目，你必须始终应用链式法则。

求解步骤是：(1) 识别外层三角函数和内层函数；(2) 使用标准三角函数导数公式计算外层函数在内层函数处的导数；(3)乘以内层函数的导数；(4) 将内层函数代回最终结果。这个技巧是隐函数求导、相关变化率、换元积分法等高级主题的基础。

📐 例题

求 $y = csc (3 x^{2} + 5 x)$ 的导数。

1
识别外层和内层函数：令 $u = 3 x^{2} + 5 x$ （内层），则 $y = csc u$ （外层）。
2
计算外层和内层的导数：根据标准导数公式， $\frac{d y}{d u} = - csc u cot u$ ， $\frac{d u}{d x} = 6 x + 5$ 。
3
应用链式法则 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ ：
$\frac{dy}{dx} = -\csc u \cot u \cdot (6x + 5)$
4
代回 $u = 3 x^{2} + 5 x$ 得到最终结果：
$\frac{dy}{dx} = -(6x + 5)\csc(3x^2 + 5x)\cot(3x^2 + 5x)$

Exam tip:

即使是 $tan (5 x)$ 这类简单复合函数，也要在完成计算前明确写出内层导数——这能避免忘记链式法则因子的常见错误。

4. AP风格例题练习★★★☆☆⏱ 3 min

📐 例题

$f (x) = x cot x$ 的导数是下列哪一个？

A. $x csc^{2} x + cot x$ B. $- x csc^{2} x + cot x$ C. $- x csc^{2} x - cot x$ D. $csc^{2} x$

1
使用乘积法则求导： $\frac{d}{d x} [uv] = u^{'} v + u v^{'}$ 。令 $u = x$ 则 $u^{'} = 1$ ， $v = cot x$ 则 $v^{'} = - csc^{2} x$ 。
2
代入乘积法则：
$f'(x) = (1)\cot x + (x)(-\csc^2 x) = -x \csc^2 x + \cot x$
3
选项A、C、D的符号错误或遗漏了乘积法则项，因此正确答案是B。

📐 例题

设 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ 时， $f (x) = tan (\frac{x}{2}) + sec x$ 。 (a) 求 $f^{'} (x)$ (b) 求 $x = 0$ 处切线的斜率 (c) 写出 $x = 0$ 处切线的方程

1
(a) 逐项求导，对第一项应用链式法则。对于 $tan (\frac{x}{2})$ ，外层导数是 $sec^{2} u$ ，内层函数 $u = \frac{x}{2}$ 的导数是 $\frac{1}{2}$ 。对于 $sec x$ ，导数是 $sec x tan x$ 。
$f'(x) = \frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sec x \tan x$
2
(b) $x = 0$ 处切线的斜率是 $f^{'} (0)$ 。代入 $x = 0$ ，利用 $sec (0) = 1$ ， $tan (0) = 0$ ：
$f'(0) = \frac{1}{2}\sec^2(0) + \sec(0)\tan(0) = \frac{1}{2}(1)^2 + (1)(0) = \frac{1}{2}$
3
(c) 先求点 $(0, f (0))$ ： $f (0) = tan (0) + sec (0) = 0 + 1 = 1$ 。使用点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ：
$y - 1 = \frac{1}{2}x \implies y = \frac{1}{2}x + 1$

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $\frac{d}{d x} tan x$ 写成 $csc^{2} x$ 而非 $sec^{2} x$

原因:

学生混淆正切和余切的导数规律，搞错哪个倒数函数对应哪个导数。

正确做法:

如果你记不清形式，可以用商法则在30秒内重新推导 $tan x$ 的导数来验证。

错误做法:

将 $\frac{d}{d x} sec x$ 写为 $sec x cot x$ ， $\frac{d}{d x} csc x$ 写为 $- sec x tan x$ ，交换了乘积项

原因:

正割和余割导数的乘积结构相似，因此学生容易混淆配对的三角因子。

正确做法:

可以用助记法：正割配对正切，余割配对余切，所有余函数都带负号。

错误做法:

求 $\frac{d}{d x} tan (5 x)$ 时忘记内层导数因子，只得到 $sec^{2} (5 x)$ ，遗漏了因子5

原因:

学生只记住了外层导数就停止，忘记任何复合函数都需要应用链式法则。

正确做法:

对于任何自变量不是 $x$ 本身的三角函数，在完成计算前一定要问'内层的导数是什么'，再乘上这个结果。

错误做法:

求 $\frac{d}{d x} cot x$ 时遗漏负号，写成了 $csc^{2} x$

原因:

学生忘记余函数在商法则推导过程中自然会产生负号。

正确做法:

对任何以'余'开头的三角函数（余切、余割）求导时，都要加上负号。

错误做法:

计算 $f (x) = tan x$ 的 $f^{'} (\frac{π}{2})$ ，声称该点导数存在

原因:

学生混淆了导数公式和可导定义域——如果原函数在某点无定义，那么该点不可能可导。

正确做法:

在某点计算导数值前，一定要先确认原函数在该点有定义。

6. 速查表

函数	导数公式	要点
$tan x$	$\frac{d}{d x} tan x = sec^{2} x$	在 $x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ 处无定义
$cot x$	$\frac{d}{d x} cot x = - csc^{2} x$	余函数带负号；在 $x = k π, k \in Z$ 处无定义
$sec x$	$\frac{d}{d x} sec x = sec x tan x$	不带负号；在 $x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ 处无定义
$csc x$	$\frac{d}{d x} csc x = - csc x cot x$	余函数带负号；在 $x = k π, k \in Z$ 处无定义
复合 $f (g (x))$	$\frac{d}{d x} f (g (x)) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$	当 $g (x) \neq = x$ 时，一定要乘内层导数
乘积 $u (x) v (x)$	$\frac{d}{d x} [u (x) v (x)] = u^{'} v + u v^{'}$	当 $tan x, sec x$ 和另一个函数相乘时使用
商法则	$\frac{d}{d x} (\frac{g}{h}) = \frac{g ^{'} h - g h ^{'}}{h ^{2}}$	考试中忘记公式时可以用来重新推导

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

掌握 $tan$ 、 $cot$ 、 $sec$ 、 $csc$ 的导数是后续所有求导主题的必要前提，首先就是隐函数求导和反三角函数导数。很多隐函数求导题目包含六个三角函数的组合，因此你需要快速正确地对这四个项求导，避免早期错误影响后续所有计算。本主题也是课程后续链式法则应用、相关变化率、优化、三角函数积分和微分方程的基础。如果没有记住并熟练掌握这四个导数公式，你几乎无法推进所有涉及三角函数的多步骤自由问答题。