# tan、cot、sec、csc的导数

> AP 微积分 BC · 求导：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/

本子主题讲解$\tan x$、$\cot x$、$\sec x$、$\csc x$的导数公式，这些公式通过商法则的推导过程，它们在常规题目和链式法则题目中的应用，以及如何避免AP微积分BC考试中常考的常见错误。

**先修:** 正弦和余弦的导数; [求导的商法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-quotient-rule/); [复合函数的链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-chain-rule-composite-functions/)

## 学习目标

- 利用商法则推导$\tan x$、$\cot x$、$\sec x$和$\csc x$的导数公式
- 结合这些公式和基本求导法则对组合三角函数求导
- 使用链式法则对包含这些三角函数项的复合函数求导
- 识别并避免AP考试题目中常见的符号、链式法则和定义域错误

## 推导四个三角函数导数公式

这四个导数都可以直接推导：先把目标三角函数改写成正弦和余弦的形式，再应用商法则。如果你在考场上忘记了符号或形式，这是一个很实用的验证公式的技巧。

回顾$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$的商法则：

$$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$$

我们从$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$开始。令$g(x) = \sin x$（$g'(x) = \cos x$），$h(x) = \cos x$（$h'(x) = -\sin x$），代入商法则得：

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

利用勾股恒等式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，该式化简为$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$。对另外三个函数重复这个过程，就能得到完整的标准公式组：

- $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$
- $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$
- $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x$

**例题:** 用商法则推导$\frac{d}{dx}\csc x$，验证标准导数公式。

1. 将$\csc x$改写为正弦形式：$\csc x = \frac{1}{\sin x}$，因此$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，其中$g(x) = 1$，$h(x) = \sin x$。
2. 确定分子和分母的导数：$g'(x) = 0$，$h'(x) = \cos x$。
3. 应用商法则：

   $$f'(x) = \frac{(0)(\sin x) - (1)(\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{-\cos x}{\sin^2 x}$$
4. 改写为余割和余切的形式：

   $$\frac{-\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x, which matches the standard formula.$$

> **考试提示:** 如果你在考场上忘记了导数的符号或形式，可以快速在页边用商法则重新推导——这只需要30秒，还能消除猜测。

## 组合函数的常规求导

记住这四个导数公式后，你可以将它们和其他基本求导法则（和法则、差法则、常数倍法则、乘积法则、商法则）结合，对包含这些三角项的函数求导。这是AP微积分BC选择题部分最常考的直接应用。

三角学中的定义域规则仍然适用：函数只有在有定义的点才可导，因此这些函数的导数在原函数存在垂直渐近线的位置同样无定义。例如，对任意整数$k$，$\tan x$在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$处无定义，因此它的导数$\sec^2 x$在这些点也无定义。

**例题:** 求$f(x) = 4\sec x - 2\cot x + x^2$的导数，并计算$f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$的值。

1. 利用和/差法则和常数倍法则逐项求导：
- $\frac{d}{dx}[4\sec x] = 4 \cdot \frac{d}{dx}\sec x = 4\sec x \tan x$
- $\frac{d}{dx}[-2\cot x] = -2 \cdot \frac{d}{dx}\cot x = -2(-\csc^2 x) = 2\csc^2 x$
- $\frac{d}{dx}[x^2] = 2x$
2. 合并各项得到通式导数：

   $$f'(x) = 4\sec x \tan x + 2\csc^2 x + 2x$$
3. 代入$x = \frac{\pi}{4}$，使用单位圆数值（$\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$，$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$，$\csc(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$）：

   $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4(\sqrt{2})(1) + 2(\sqrt{2})^2 + 2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4\sqrt{2} + 4 + \frac{\pi}{2}$$

> **考试提示:** 在计算特殊角的导数值时，请仔细检查你的单位圆数值——AP考试的干扰项经常会在$\frac{\pi}{4}$或$\frac{\pi}{6}$这类角度使用错误的三角值。

## 用链式法则对复合函数求导

大多数涉及这些导数的AP考试题目都是复合函数，其中三角项是一个非平凡内层函数的函数（例如$\tan(2x^3)$、$\csc(5x + 1)$）。对于这类题目，你必须始终应用链式法则。

求解步骤是：(1) 识别外层三角函数和内层函数；(2) 使用标准三角函数导数公式计算外层函数在内层函数处的导数；(3)乘以内层函数的导数；(4) 将内层函数代回最终结果。这个技巧是隐函数求导、相关变化率、换元积分法等高级主题的基础。

**例题:** 求$y = \csc(3x^2 + 5x)$的导数。

1. 识别外层和内层函数：令$u = 3x^2 + 5x$（内层），则$y = \csc u$（外层）。
2. 计算外层和内层的导数：根据标准导数公式，$\frac{dy}{du} = -\csc u \cot u$，$\frac{du}{dx} = 6x + 5$。
3. 应用链式法则$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$：

   $$\frac{dy}{dx} = -\csc u \cot u \cdot (6x + 5)$$
4. 代回$u = 3x^2 + 5x$得到最终结果：

   $$\frac{dy}{dx} = -(6x + 5)\csc(3x^2 + 5x)\cot(3x^2 + 5x)$$

> **考试提示:** 即使是$\tan(5x)$这类简单复合函数，也要在完成计算前明确写出内层导数——这能避免忘记链式法则因子的常见错误。

## AP风格例题练习

**例题:** $f(x) = x \cot x$的导数是下列哪一个？

A. $x \csc^2 x + \cot x$
B. $-x \csc^2 x + \cot x$
C. $-x \csc^2 x - \cot x$
D. $\csc^2 x$

1. 使用乘积法则求导：$\frac{d}{dx}[uv] = u'v + uv'$。令$u = x$则$u' = 1$，$v = \cot x$则$v' = -\csc^2 x$。
2. 代入乘积法则：

   $$f'(x) = (1)\cot x + (x)(-\csc^2 x) = -x \csc^2 x + \cot x$$
3. 选项A、C、D的符号错误或遗漏了乘积法则项，因此正确答案是B。

**例题:** 设$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$时，$f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) + \sec x$。
(a) 求$f'(x)$
(b) 求$x = 0$处切线的斜率
(c) 写出$x = 0$处切线的方程

1. (a) 逐项求导，对第一项应用链式法则。对于$\tan\left(\frac{x}{2}\right)$，外层导数是$\sec^2 u$，内层函数$u = \frac{x}{2}$的导数是$\frac{1}{2}$。对于$\sec x$，导数是$\sec x \tan x$。

   $$f'(x) = \frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sec x \tan x$$
2. (b) $x=0$处切线的斜率是$f'(0)$。代入$x=0$，利用$\sec(0) = 1$，$\tan(0) = 0$：

   $$f'(0) = \frac{1}{2}\sec^2(0) + \sec(0)\tan(0) = \frac{1}{2}(1)^2 + (1)(0) = \frac{1}{2}$$
3. (c) 先求点$(0, f(0))$：$f(0) = \tan(0) + \sec(0) = 0 + 1 = 1$。使用点斜式$y - y_1 = m(x - x_1)$：

   $$y - 1 = \frac{1}{2}x \implies y = \frac{1}{2}x + 1$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将$\frac{d}{dx}\tan x$写成$\csc^2 x$而非$\sec^2 x$
  - 原因: 学生混淆正切和余切的导数规律，搞错哪个倒数函数对应哪个导数。
  - 正确做法: 如果你记不清形式，可以用商法则在30秒内重新推导$\tan x$的导数来验证。
- **错误做法:** 将$\frac{d}{dx}\sec x$写为$\sec x \cot x$，$\frac{d}{dx}\csc x$写为$-\sec x \tan x$，交换了乘积项
  - 原因: 正割和余割导数的乘积结构相似，因此学生容易混淆配对的三角因子。
  - 正确做法: 可以用助记法：正割配对正切，余割配对余切，所有余函数都带负号。
- **错误做法:** 求$\frac{d}{dx}\tan(5x)$时忘记内层导数因子，只得到$\sec^2(5x)$，遗漏了因子5
  - 原因: 学生只记住了外层导数就停止，忘记任何复合函数都需要应用链式法则。
  - 正确做法: 对于任何自变量不是$x$本身的三角函数，在完成计算前一定要问'内层的导数是什么'，再乘上这个结果。
- **错误做法:** 求$\frac{d}{dx}\cot x$时遗漏负号，写成了$\csc^2 x$
  - 原因: 学生忘记余函数在商法则推导过程中自然会产生负号。
  - 正确做法: 对任何以'余'开头的三角函数（余切、余割）求导时，都要加上负号。
- **错误做法:** 计算$f(x) = \tan x$的$f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$，声称该点导数存在
  - 原因: 学生混淆了导数公式和可导定义域——如果原函数在某点无定义，那么该点不可能可导。
  - 正确做法: 在某点计算导数值前，一定要先确认原函数在该点有定义。

## 速查表

| 函数 | 导数公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$ | 在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$处无定义 |
| $\cot x$ | $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ | 余函数带负号；在$x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$处无定义 |
| $\sec x$ | $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$ | 不带负号；在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$处无定义 |
| $\csc x$ | $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x$ | 余函数带负号；在$x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$处无定义 |
| 复合 $f(g(x))$ | $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ | 当$g(x) \neq x$时，一定要乘内层导数 |
| 乘积 $u(x)v(x)$ | $\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'v + uv'$ | 当$\tan x, \sec x$和另一个函数相乘时使用 |
| 商法则 | $\frac{d}{dx}\left(\frac{g}{h}\right) = \frac{g'h - gh'}{h^2}$ | 考试中忘记公式时可以用来重新推导 |

## 下一步

掌握$\tan$、$\cot$、$\sec$、$\csc$的导数是后续所有求导主题的必要前提，首先就是隐函数求导和反三角函数导数。很多隐函数求导题目包含六个三角函数的组合，因此你需要快速正确地对这四个项求导，避免早期错误影响后续所有计算。本主题也是课程后续链式法则应用、相关变化率、优化、三角函数积分和微分方程的基础。如果没有记住并熟练掌握这四个导数公式，你几乎无法推进所有涉及三角函数的多步骤自由问答题。

- [求导：复合函数、隐函数与反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-overview/)
- [链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-chain-rule/)
- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-implicit-differentiation/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-derivatives-of-tan-cot-sec/