cos x、sin x、e^x、ln(x)的导数

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Differentiation: Definition and Fundamental Properties· 14 分钟阅读

1. 正弦函数与余弦函数的导数★☆☆☆☆⏱ 4 min

$sin x$ 和 $cos x$ 的导数可通过导数的极限定义直接推导，推导过程用到两个关键三角极限： $lim_{h \to 0} \frac{s i n h}{h} = 1$ 和 $lim_{h \to 0} \frac{c o s h - 1}{h} = 0$ 。这些公式仅当 $x$ 以弧度为单位时成立，这也是AP考试的默认约定。

🔬 推导

目标:

从基本定义推导 $\frac{d}{d x} [sin x]$

起点:

导数的极限定义

1
从定义出发：对于 $f (x) = sin x$ ， $f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
2
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$
3
利用正弦和角公式 $sin (x + h) = sin x cos h + cos x sin h$ 展开：
4
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \left(\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right)$
5
代入三角极限结果计算极限：
6
$f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

结果:

对 $f (x) = cos x$ 重复相同过程可得 $\frac{d}{d x} [cos x] = - sin x$ 。

📘 定义

正弦与余弦函数的导数

对所有实数 $x$ （弧度制）， $\frac{d}{d x} [sin x] = cos x$ ， $\frac{d}{d x} [cos x] = - sin x$

例:

$5 sin x$ 的导数是 $5 cos x$ ， $- 3 cos x$ 的导数是 $3 sin x$ 。

📐 例题

求 $f (x) = 3 sin x - 2 cos x$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处的切线斜率，结果保留精确形式。

1
运用常数倍法则和加法法则逐项求导：
2
$f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin x] - 2 \cdot \frac{d}{dx}[\cos x] = 3\cos x - 2(-\sin x) = 3\cos x + 2\sin x$
3
利用单位圆的值代入 $x = \frac{π}{3}$ 计算： $cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ， $sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$
4
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + \sqrt{3}$

Exam tip:

AP考试题目中涉及根号和 $π$ 的答案几乎总是要求精确形式，因此除非题目明确要求，否则不要转换为小数。

2. 自然指数函数$e^x$的导数★☆☆☆☆⏱ 3 min

自然指数函数 $f (x) = e^{x}$ 中， $e \approx 2.71828$ 是欧拉数，该函数有一个独特性质：它是自身的导数。这个结论对所有实数 $x$ 成立，且仅适用于以 $e$ 为底的自然指数函数。

🔬 推导

目标:

从基本定义推导 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$

起点:

导数的极限定义

1
从极限定义出发：
2
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$
3
根据定义， $e$ 是唯一满足 $lim_{h \to 0} \frac{e ^{h} - 1}{h} = 1$ 的正底数。
4
代入极限结果化简：
5
$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$

结果:

对所有实数 $x$ ， $\frac{d}{d x} [e^{x}] = e^{x}$ 。

📐 例题

已知 $g (x) = 5 e^{x} + 4 sin x$ ，求导数在 $x = 0$ 处的值 $g^{'} (0)$ 。

1
运用加法法则和常数倍法则逐项求导：
2
$g'(x) = 5 \cdot \frac{d}{dx}[e^x] + 4 \cdot \frac{d}{dx}[\sin x] = 5e^x + 4\cos x$
3
代入 $x = 0$ 计算，利用 $e^{0} = 1$ 和 $cos 0 = 1$ ：
4
$g'(0) = 5(1) + 4(1) = 9$

3. 自然对数$\ln(x)$的导数★★☆☆☆⏱ 3 min

$ln (x)$ 是 $e^{x}$ 的反函数，仅在 $x > 0$ 时有定义。我们可以用反函数求导法推导它的导数。

🔬 推导

目标:

用反函数求导法推导 $\frac{d}{d x} [ln x]$

起点:

反函数定义： $y = ln x ⟺ e^{y} = x$

1
对 $e^{y} = x$ 两边关于 $x$ 求导，左侧使用链式法则：
2
$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
3
整理得 $\frac{d y}{d x}$ ：
4
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$
5
代回 $e^{y} = x$ 得到用 $x$ 表示的结果：

结果:

$ln x$ 的导数是 $\frac{1}{x}$ ，定义域为所有 $x > 0$ 。对于 $ln ∣ x ∣$ ，其导数在所有 $x \neq = 0$ 处也为 $\frac{1}{x}$ 。

📐 例题

求 $y = ln (x) + 2 e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程，最终答案写成斜截式。

1
要求切线方程，我们需要得到点 $(1, y (1))$ 和斜率 $y^{'} (1)$ 。
2
计算该点的y坐标：
3
$y(1) = \ln(1) + 2e^1 = 0 + 2e = 2e, \text{ so the point is } (1, 2e)$
4
用我们的核心公式逐项求导：
5
$y'(x) = \frac{1}{x} + 2e^x$
6
计算 $x = 1$ 处的斜率：
7
$y'(1) = \frac{1}{1} + 2e^1 = 1 + 2e$
8
使用点斜式整理为斜截式：
9
$y - 2e = (1 + 2e)(x - 1) \\ y = (1 + 2e)x - (1 + 2e) + 2e = (1 + 2e)x - 1$

Exam tip:

一定要检查切线方程的化简结果：常数项经常会抵消，即使斜率正确，AP阅卷官也会因最终形式错误扣分。

4. AP风格综合练习★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

用这些AP风格的练习题测试你的理解：

若 $f (x) = 2 cos x - 4 e^{x} + ln x$ ，下列哪个选项等于 $f^{'} (x)$ ？
- $- 2 sin x - 4 e^{x} + \frac{1}{x}$
- $2 sin x - 4 e^{x} + ln x$
- $- 2 sin x - 4 e^{x} + x$
- $2 sin x + 4 e^{x} + \frac{1}{x}$
设 $h (x) = 3 e^{x} - 2 sin x + ln x$ ，定义域为 $x > 0$ 。(a) 求 $h^{'} (x)$ 。(b) 求 $x = \frac{π}{2}$ 处切线的斜率，结果保留精确形式。(c) 若 $h (x)$ 在 $x = a > 0$ 处有水平切线， $h^{'} (a)$ 的值是多少？
显示答案
(a) $h'(x) = 3e^x - 2\cos x + \frac{1}{x}$ (b) 斜率 = $3e^{\frac{\pi}{2}} + \frac{2}{\pi}$ (c) $h'(a) = 0$，因为水平切线的斜率为0 —
这是一道典型的初期自由问答题，考察你对核心导数法则的记忆。

📐 例题

实验开始后 $t$ 小时的细菌数量由模型 $P (t) = 1000 e^{t} + 50 sin (\frac{π t}{12}) + 200 ln (t + 1)$ （ $t \geq 0$ ）描述，单位为个。求 $t = 0$ 时种群数量的瞬时变化率，结果需包含单位。

1
运用常数倍法则对 $P (t)$ 逐项求导：
2
$P'(t) = 1000e^t + 50\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right) + 200\left(\frac{1}{t+1}\right)$
3
代入 $t = 0$ 计算，利用 $e^{0} = 1$ ， $cos 0 = 1$ ， $\frac{1}{0 + 1} = 1$ ：
4
$P'(0) = 1000(1) + \frac{25\pi}{6}(1) + 200(1) = 1200 + \frac{25\pi}{6} \approx 1213$
5
单位为个/小时。实验开始时，种群数量以约每小时1213个的速度增长。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $\frac{d}{d x} [sin x]$ 写为 $- cos x$ ，或将 $\frac{d}{d x} [cos x]$ 写为 $sin x$ ，混淆了导数和符号。

原因:

学生混淆了三角函数导数的顺序，将导数法则和不定积分法则搞混。

正确做法:

需要时可以在草稿纸上写出导数循环 $sin x \to cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x$ 来确认。

错误做法:

错误运用幂法则，将 $e^{x}$ 的导数算成 $x e^{x - 1}$ 。

原因:

学生看到指数就自动使用幂法则，但幂法则仅适用于指数为常数的情况。

正确做法:

检查变量的位置：变量在底数 → 用幂法则；变量在指数，底数为 $e$ → $\frac{d}{d x} [e^{x}] = e^{x}$ 。

错误做法:

将 $\frac{d}{d x} [ln x]$ 写为 $\frac{1}{x} ln x$ ，额外多了一个 $ln$ 项。

原因:

学生将 $ln x$ 的导数和其他法则混淆，或与指数函数导数搞混。

正确做法:

记住 $ln x$ 的导数就是倒数函数 $\frac{1}{x}$ ，没有额外项。

错误做法:

对常数 $ln (- 5)$ 求导得到 $- \frac{1}{5}$ 。

原因:

学生对任何带 $ln$ 的表达式都套用 $\frac{1}{x}$ 法则，忘记常数的对数本身就是常数。

正确做法:

求导前一定要检查该项是否为常数；任何常数的导数都是0。

错误做法:

将 $\frac{d}{d x} [e^{x} + cos x]$ 写为 $e^{x} + sin x$ ，余弦导数的符号错误。

原因:

学生看到 $e^{x}$ 或 $sin x$ 没有负号，就错误地把正号带到余弦上。

正确做法:

合并前先分别写出每一项的导数，避免符号混淆。

错误做法:

将 $\frac{d}{d x} [5 ln x]$ 写为 $5 x$ ，把倒数错写成 $x$ 。

原因:

学生将 $ln x$ 的导数和 $x^{- 1}$ 的幂法则混淆，或读错题目。

正确做法:

求导后，再次检查确认 $\frac{1}{x}$ 没有被错误颠倒成 $x$ 。

6. 速查表

函数	导数	注释
$sin x$	$cos x$	对所有实数 $x$ ， $x$ 为弧度制
$cos x$	$- sin x$	对所有实数 $x$ ，不要忘记负号
$e^{x}$	$e^{x}$	对所有实数 $x$ ，它是自身的导数
$ln x$	$\frac{1}{x}$	仅在 $x > 0$ 时有定义，无额外项
$c f (x)$	$c f^{'} (x)$	求导时常数可以直接提出来
$f (x) + g (x)$	$f^{'} (x) + g^{'} (x)$	适用于所有函数的组合
$x = a$ 处的切线	$f^{'} (a)$	$f^{'} (a)$ 等于切线的斜率

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
独立导数选择题
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切线斜率自由问答题部分

下一步

本小节给出了四个核心的非多项式函数导数，所有后续微分内容都建立在它们之上。正确记住这些基础公式至关重要：所有更复杂的求导法则（乘积法则、商法则、链式法则）都依赖这些结果，后续你在积分问题中求不定积分时也会用到这些法则的逆运算。AP微积分BC考试中几乎所有涉及求导的题目都要求掌握这些公式。