# cos x、sin x、e^x、ln(x)的导数

> AP 微积分 BC · 第二单元：微分：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-derivatives-of-cos-sin-e/

本小节介绍$\sin x$、$\cos x$、$e^x$和$\ln(x)$的核心导数公式，包括它们的推导过程、在切线斜率和变化率问题中的应用，以及考试中需要避免的常见陷阱。

**先修:** 导数的极限定义; 常用三角极限; 指数与对数函数的性质

## 学习目标

- 牢记sin x、cos x、e^x和ln(x)的导数公式
- 从导数定义或反函数求导推导这些公式
- 应用公式求切线斜率和瞬时变化率
- 避免常见的符号错误和法则误用

## 正弦函数与余弦函数的导数

$\sin x$和$\cos x$的导数可通过导数的极限定义直接推导，推导过程用到两个关键三角极限：$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$和$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$。这些公式仅当$x$以弧度为单位时成立，这也是AP考试的默认约定。

**推导:** 从基本定义推导$\frac{d}{dx}[\sin x]$

*起点:* 导数的极限定义

1. 从定义出发：对于$f(x) = \sin x$，$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
2. $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$
3. 利用正弦和角公式$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$展开：
4. $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \left(\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right)$$
5. 代入三角极限结果计算极限：
6. $$f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

*结论:* 对$f(x) = \cos x$重复相同过程可得$\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$。

> **三角函数导数记忆循环**
>
> 正弦和余弦的导数每四步循环一次：$\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$

**正弦与余弦函数的导数** — 对所有实数$x$（弧度制），$\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$，$\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$

*例:* $5\sin x$的导数是$5\cos x$，$-3\cos x$的导数是$3\sin x$。

**例题:** 求$f(x) = 3\sin x - 2\cos x$在$x = \frac{\pi}{3}$处的切线斜率，结果保留精确形式。

1. 运用常数倍法则和加法法则逐项求导：
2. $$f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin x] - 2 \cdot \frac{d}{dx}[\cos x] = 3\cos x - 2(-\sin x) = 3\cos x + 2\sin x$$
3. 利用单位圆的值代入$x = \frac{\pi}{3}$计算：$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$，$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
4. $$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + \sqrt{3}$$

> **考试提示:** AP考试题目中涉及根号和$\pi$的答案几乎总是要求精确形式，因此除非题目明确要求，否则不要转换为小数。

## 自然指数函数$e^x$的导数

自然指数函数$f(x) = e^x$中，$e \approx 2.71828$是欧拉数，该函数有一个独特性质：它是自身的导数。这个结论对所有实数$x$成立，且仅适用于以$e$为底的自然指数函数。

**推导:** 从基本定义推导$\frac{d}{dx}[e^x]$

*起点:* 导数的极限定义

1. 从极限定义出发：
2. $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$$
3. 根据定义，$e$是唯一满足$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$的正底数。
4. 代入极限结果化简：
5. $$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$$

*结论:* 对所有实数$x$，$\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$。

> **tip**
>
> 永远不要错误地对$e^x$使用幂函数求导法则。幂法则仅适用于指数为常数的情况，当变量在指数位置时不适用。

**例题:** 已知$g(x) = 5e^x + 4\sin x$，求导数在$x=0$处的值$g'(0)$。

1. 运用加法法则和常数倍法则逐项求导：
2. $$g'(x) = 5 \cdot \frac{d}{dx}[e^x] + 4 \cdot \frac{d}{dx}[\sin x] = 5e^x + 4\cos x$$
3. 代入$x=0$计算，利用$e^0 = 1$和$\cos 0 = 1$：
4. $$g'(0) = 5(1) + 4(1) = 9$$

## 自然对数$\ln(x)$的导数

$\ln(x)$是$e^x$的反函数，仅在$x>0$时有定义。我们可以用反函数求导法推导它的导数。

**推导:** 用反函数求导法推导$\frac{d}{dx}[\ln x]$

*起点:* 反函数定义：$y = \ln x \iff e^y = x$

1. 对$e^y = x$两边关于$x$求导，左侧使用链式法则：
2. $$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$
3. 整理得$\frac{dy}{dx}$：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$$
5. 代回$e^y = x$得到用$x$表示的结果：

*结论:* $\ln x$的导数是$\frac{1}{x}$，定义域为所有$x>0$。对于$\ln|x|$，其导数在所有$x \neq 0$处也为$\frac{1}{x}$。

**例题:** 求$y = \ln(x) + 2e^x$在$x=1$处的切线方程，最终答案写成斜截式。

1. 要求切线方程，我们需要得到点$(1, y(1))$和斜率$y'(1)$。
2. 计算该点的y坐标：
3. $$y(1) = \ln(1) + 2e^1 = 0 + 2e = 2e, \text{ so the point is } (1, 2e)$$
4. 用我们的核心公式逐项求导：
5. $$y'(x) = \frac{1}{x} + 2e^x$$
6. 计算$x=1$处的斜率：
7. $$y'(1) = \frac{1}{1} + 2e^1 = 1 + 2e$$
8. 使用点斜式整理为斜截式：
9. $$y - 2e = (1 + 2e)(x - 1) \\ y = (1 + 2e)x - (1 + 2e) + 2e = (1 + 2e)x - 1$$

> **考试提示:** 一定要检查切线方程的化简结果：常数项经常会抵消，即使斜率正确，AP阅卷官也会因最终形式错误扣分。

## AP风格综合练习

**概念自测**

用这些AP风格的练习题测试你的理解：

1. 若$f(x) = 2\cos x - 4e^x + \ln x$，下列哪个选项等于$f'(x)$？

   - $-2\sin x - 4e^x + \frac{1}{x}$
   - $2\sin x - 4e^x + \ln x$
   - $-2\sin x - 4e^x + x$
   - $2\sin x + 4e^x + \frac{1}{x}$

   *答案:* $-2\sin x - 4e^x + \frac{1}{x}$

   *解析:* 回答正确！你正确应用了余弦导数的负号和$\ln x$的倒数法则。

2. 设$h(x) = 3e^x - 2\sin x + \ln x$，定义域为$x>0$。(a) 求$h'(x)$。(b) 求$x = \frac{\pi}{2}$处切线的斜率，结果保留精确形式。(c) 若$h(x)$在$x=a>0$处有水平切线，$h'(a)$的值是多少？

   *解析:* 这是一道典型的初期自由问答题，考察你对核心导数法则的记忆。

**例题:** 实验开始后$t$小时的细菌数量由模型$P(t) = 1000e^t + 50\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) + 200\ln(t+1)$（$t \geq 0$）描述，单位为个。求$t=0$时种群数量的瞬时变化率，结果需包含单位。

1. 运用常数倍法则对$P(t)$逐项求导：
2. $$P'(t) = 1000e^t + 50\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right) + 200\left(\frac{1}{t+1}\right)$$
3. 代入$t=0$计算，利用$e^0=1$，$\cos 0=1$，$\frac{1}{0+1}=1$：
4. $$P'(0) = 1000(1) + \frac{25\pi}{6}(1) + 200(1) = 1200 + \frac{25\pi}{6} \approx 1213$$
5. 单位为个/小时。实验开始时，种群数量以约每小时1213个的速度增长。

## 常见错误

- **错误做法:** 将$\frac{d}{dx}[\sin x]$写为$-\cos x$，或将$\frac{d}{dx}[\cos x]$写为$\sin x$，混淆了导数和符号。
  - 原因: 学生混淆了三角函数导数的顺序，将导数法则和不定积分法则搞混。
  - 正确做法: 需要时可以在草稿纸上写出导数循环$\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$来确认。
- **错误做法:** 错误运用幂法则，将$e^x$的导数算成$xe^{x-1}$。
  - 原因: 学生看到指数就自动使用幂法则，但幂法则仅适用于指数为常数的情况。
  - 正确做法: 检查变量的位置：变量在底数 → 用幂法则；变量在指数，底数为$e$ → $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$。
- **错误做法:** 将$\frac{d}{dx}[\ln x]$写为$\frac{1}{x} \ln x$，额外多了一个$\ln$项。
  - 原因: 学生将$\ln x$的导数和其他法则混淆，或与指数函数导数搞混。
  - 正确做法: 记住$\ln x$的导数就是倒数函数$\frac{1}{x}$，没有额外项。
- **错误做法:** 对常数$\ln(-5)$求导得到$-\frac{1}{5}$。
  - 原因: 学生对任何带$\ln$的表达式都套用$\frac{1}{x}$法则，忘记常数的对数本身就是常数。
  - 正确做法: 求导前一定要检查该项是否为常数；任何常数的导数都是0。
- **错误做法:** 将$\frac{d}{dx}[e^x + \cos x]$写为$e^x + \sin x$，余弦导数的符号错误。
  - 原因: 学生看到$e^x$或$\sin x$没有负号，就错误地把正号带到余弦上。
  - 正确做法: 合并前先分别写出每一项的导数，避免符号混淆。
- **错误做法:** 将$\frac{d}{dx}[5\ln x]$写为$5x$，把倒数错写成$x$。
  - 原因: 学生将$\ln x$的导数和$x^{-1}$的幂法则混淆，或读错题目。
  - 正确做法: 求导后，再次检查确认$\frac{1}{x}$没有被错误颠倒成$x$。

## 速查表

| 函数 | 导数 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | 对所有实数$x$，$x$为弧度制 |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | 对所有实数$x$，不要忘记负号 |
| $e^x$ | $e^x$ | 对所有实数$x$，它是自身的导数 |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | 仅在$x>0$时有定义，无额外项 |
| $c f(x)$ | $c f'(x)$ | 求导时常数可以直接提出来 |
| $f(x) + g(x)$ | $f'(x) + g'(x)$ | 适用于所有函数的组合 |
| $x=a$处的切线 | $f'(a)$ | $f'(a)$等于切线的斜率 |

## 下一步

本小节给出了四个核心的非多项式函数导数，所有后续微分内容都建立在它们之上。正确记住这些基础公式至关重要：所有更复杂的求导法则（乘积法则、商法则、链式法则）都依赖这些结果，后续你在积分问题中求不定积分时也会用到这些法则的逆运算。AP微积分BC考试中几乎所有涉及求导的题目都要求掌握这些公式。

- [链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-chain-rule/)
- [乘积法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-product-rule/)
- [商法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-quotient-rule/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-derivatives-of-cos-sin-e/