导数的定义与导数记号

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 求导：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 一点处导数的极限定义★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

一点处的导数

函数 $f (x)$ 在 $x = a$ 处的导数定义为两点间距趋近于0时，差商（即割线斜率）的极限。它表示 $x = a$ 处切线的斜率，以及 $a$ 点处的瞬时变化率。导数存在的条件是该极限为有限值。

例:

两种标准等价形式如下所示

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

通过代入 $x = a + h$ 得到的等价替换形式为：

f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

如果极限为无穷大或不存在（例如在拐角、尖点、竖切线或不连续点处），则函数在 $a$ 点不可导。该定义是所有求导法则的基础，AP考试中要求从第一原理计算导数时经常需要直接使用它。

📐 例题

利用导数的极限定义计算 $f (x) = x^{2} - 3 x$ 的 $f^{'} (2)$ 。

1
从标准 $h$ 形式的定义开始，代入 $a = 2$ ：
$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$
2
展开并化简 $f (2 + h)$ ：
$f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2$
3
计算 $f (2)$ ：
$f(2) = (2)^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2$
4
化简差商，约去 $h$ （ $h \neq = 0$ ）：
$\frac{(h^2 + h - 2) - (-2)}{h} = \frac{h^2 + h}{h} = \frac{h(h+1)}{h} = h+1$
5
计算 $h \to 0$ 时的极限：极限等于 $0 + 1 = 1$ ，因此 $f^{'} (2) = 1$ 。

Exam tip:

如果题目明确要求“使用极限定义”求导数，你必须展示完整的极限计算过程——仅使用快捷法则得到最终答案即使结果正确也不得分。

2. 作为函数的导数与导数记号★★★☆☆⏱ 5 min

我们不需要只在单个固定点 $a$ 处计算导数，可以将定义推广得到一个新函数，即导函数，它能给出任意输入 $x$ 处 $f (x)$ 的斜率。导函数的定义为：

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

$f^{'} (x)$ 的定义域是所有极限存在的 $x$ ；任何 $f (x)$ 不可导的点都排除在定义域之外。AP微积分使用多种标准导数记号，它们可以互换，但适用于不同场景：

拉格朗日（撇号）记号： $f^{'} (x)$ 或 $y^{'}$ — 是关于 $x$ 的函数导数最常用的简洁记号。
莱布尼茨记号： $\frac{d}{d x} [f (x)]$ 或 $\frac{d y}{d x}$ — 明确表示对 $x$ 求导，广泛应用于相关变化率、隐函数求导和积分中。
牛顿记号： $\overset{y}{˙}$ 或 $\dot{P}$ — 仅用于物理/生物应用问题中对时间 $t$ 的导数。
欧拉记号： $D_{x} f (x)$ — 不太常用，但偶尔会出现在选择题选项中。

📐 例题

利用极限定义求 $f (x) = 2 x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 。

1
代入导函数的定义：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2(x+h)} - \sqrt{2x}}{h}$
2
将分子分母同乘以分子的共轭根式，对分子进行有理化：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\left(\sqrt{2x+2h} - \sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{2x+2h} + \sqrt{2x}\right)}{h\left(\sqrt{2x+2h} + \sqrt{2x}\right)}$
3
利用平方差公式化简分子：
$(\sqrt{2x+2h})^2 - (\sqrt{2x})^2 = (2x+2h) - 2x = 2h$
4
约去 $h$ （对于 $h \neq = 0$ 成立，而 $h \to 0$ 时该条件满足），然后计算极限：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{2x+2h} + \sqrt{2x}} = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$
5
该结果对所有 $x > 0$ 成立，与原函数 $f (x)$ 的定义域一致。

Exam tip:

处理含根式的极限定义时，一定要先对分子有理化——化简前不要尝试计算极限，否则你会得到无法处理的未定式0/0。

3. 从给定极限中识别导数★★★☆☆⏱ 3 min

该知识点在AP考试中最常见的题型是：给出一个极限表达式，要求你识别它是某个特定函数在某特定点处的导数，或者通过识别出它是导数来计算极限。这类题目考查你对导数定义的概念理解，而不仅仅是计算导数的能力。

解决这类问题时，将给定极限的结构与两种标准一点处导数定义之一进行匹配即可。分子中的常数项（不含 $h$ 的项，或者极限点处的函数项）一定是 $f (a)$ ，因此先确定它就能立刻得到 $a$ 的值，再反推出 $f (x)$ 是什么。

📐 例题

通过将 $lim_{h \to 0} \frac{( 3 + h ) ^{3} - 27}{h}$ 识别为导数，计算该极限的值。

1
将给定极限与标准定义对比： $lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ 。分子中的常数项是27，因此它等于 $f (a)$ 。含变量的项是 $(3 + h)^{3}$ ，等于 $f (3 + h)$ 。
2
因此 $f (x) = x^{3}$ ， $a = 3$ ，因为 $f (3) = 3^{3} = 27$ ，与常数项匹配。
3
因此给定极限恰好是 $f (x) = x^{3}$ 在 $f^{'} (3)$ 处的定义。
4
利用求导的幂法则（这里使用快捷法则是合理的，因为我们只需要识别定义），得到 $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ ，因此 $f^{'} (3) = 3 (3)^{2} = 27$ 。展开分子验证可以确认该结果正确。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

以下哪一项等于 $lim_{x \to 4} \frac{l n ( x ) - l n ( 4 )}{x - 4}$ ？
- $ln (4)$
- $\frac{1}{4}$
- $4$
- $\frac{1}{x}$
显示答案
1 —
回答正确！这符合 $f (x) = ln (x)$ 在 $a = 4$ 处导数的替换形式，因此 $f^{'} (4) = \frac{1}{4}$ 。选项A是 $f (4)$ 而非 $f^{'} (4)$ ，选项C是正确值的倒数，选项D是一般导函数而非 $x = 4$ 处的导数值。

Exam tip:

一定要先把分子中的常数项标记为 $f (a)$ ——这能立刻得到 $a$ 的值，帮你快速确定 $f (x)$ ，节省选择题答题时间，避免匹配错误。

4. AP风格练习题★★★★☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📐 例题

设 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 。(a) 利用导数的极限定义求 $f^{'} (x)$ ，写出所有步骤。(b) 找出所有 $f (x)$ 不可导的点并解释原因。(c) 写出 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程。

1
(a)问：代入极限定义：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h+1)} - \frac{1}{x+1}}{h}$
2
通分并化简：
$\frac{(x+1) - (x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)} = \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)}$
3
约去 $h$ ，计算极限：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x+h+1)(x+1)} = -\frac{1}{(x+1)^2}$
4
(b)问： $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处无定义，因此 $f (- 1)$ 不存在。导数定义要求 $f (a)$ 存在才能让 $f^{'} (a)$ 存在，因此 $f (x)$ 仅在 $x = - 1$ 处不可导。
5
(c)问：计算 $f (1)$ 和 $f^{'} (1)$ ：
$f(1) = \frac{1}{2}, \quad f'(1) = -\frac{1}{(1+1)^2} = -\frac{1}{4}$
6
用点斜式得到切线方程：
$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x-1) \implies y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

📐 例题

实验开始后 $t$ 小时，培养皿中的细菌种群数量为 $P (t) = 100 e^{0.2 t}$ ，其中 $P$ 的单位是千个细菌。利用导数的极限定义求 $t = 5$ 小时时种群数量的瞬时变化率，答案要包含单位，并在语境中解读结果。

1
我们需要 $t = 5$ 处的导数，根据定义它等于：
$P'(5) = \lim_{h \to 0} \frac{P(5+h) - P(5)}{h}$
2
代入 $P (t)$ ，提出公因子：
$P'(5) = \lim_{h \to 0} \frac{100e^{0.2(5+h)} - 100e^{0.2(5)}}{h} = 100e^{1} \lim_{h \to 0} \frac{e^{0.2h} - 1}{h}$
3
利用标准极限恒等式 $lim_{h \to 0} \frac{e ^{k h} - 1}{h} = k$ ：
$P'(5) = 100e(0.2) = 20e \approx 54.37$
4
单位是千个细菌每小时。因此实验开始后5小时，细菌种群数量以约每小时54370个的速率增长。

5. 常见陷阱

错误做法:

当题目要求用极限定义求 $f^{'} (a)$ 时，你用快捷法则算出 $f^{'} (x)$ 后代入 $a$ ，而没有写出完整的极限计算过程。

原因:

学生记住了快捷法则，忘记题目明确考查对定义的理解，而不仅仅是最终结果。

正确做法:

一定要逐字读题；如果题目说“使用极限定义”，即使你知道快捷法则，也要先写出完整的极限表达式。

错误做法:

化简差商时，你在约去项之前就代入 $h = 0$ ，得到无定义的0/0结果。

原因:

学生混淆了“ $h$ 趋近于0的极限”和“ $h = 0$ ”，过早尝试计算极限。

正确做法:

计算极限前一定要先化简差商，消去分母中的 $h$ ，直到分母中没有 $h$ 后才能代入 $h = 0$ 。

错误做法:

将极限匹配为导数时错误识别 $f (x)$ 和 $a$ ，例如认为 $lim_{h \to 0} \frac{c o s ( π /6 + h ) - c o s ( π /6 )}{h}$ 是 $cos (x)$ 在 $x = π /3$ 处的导数。

原因:

学生混淆了变量项中的输入，错误调整了常数值。

正确做法:

将常数项匹配为 $f (a)$ 后，要确认 $f (a + h)$ 就是在 $a$ 上加 $h$ 后的表达式，验证你的选择是否正确。

错误做法:

将莱布尼茨记号 $\frac{d y}{d x}$ 当作分数，约去 $d$ 项得到 $\frac{y}{x}$ 。

原因:

这种类似分数的记号让学生在学习微分之前，误以为它是两个独立量的比值。

正确做法:

记住 $\frac{d y}{d x}$ 是 $y$ 对 $x$ 导数的单个符号；在课程后面学习微分之前，都要把它当作一个整体项处理。

错误做法:

交换了差商中项的顺序，写成 $\frac{f ( a ) - f ( a + h )}{h}$ 而非正确顺序，导致最终导数出现符号错误。

原因:

学生按题目中项出现的顺序书写，没有匹配定义的结构。

正确做法:

一定要先写加了 $h$ 的项，再减去原函数值，符合标准定义的结构。

6. 速查表

类别	公式	注释
一点处导数（h形式）	$f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	用于第一原理计算；要求 $f (a)$ 有定义
一点处导数（x→a形式）	$f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$	用于将给定极限匹配为导数；与h形式等价
导函数	$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$	定义域是所有极限存在的x；给出任意输入点的斜率
拉格朗日（撇号）记号	$f^{'} (x), y^{'}$	关于x的函数导数最常用的简洁记号
莱布尼茨记号	$\frac{d}{d x} [f (x)], \frac{d y}{d x}$	明确表示对x求导；用于相关变化率/积分
牛顿记号	$\overset{y}{˙}, \dot{P}$	仅用于应用问题中对时间t的导数
缩放极限恒等式	$lim_{h \to 0} \frac{f ( a + k h ) - f ( a )}{k h} = f^{'} (a)$	常见的陷阱题设置；h缩放常数倍不改变结果

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
从给定极限识别导数
2022 · FRQ
从第一原理计算导数

下一步

本知识点是AP微积分BC中所有后续求导内容的基础。掌握本知识点后，你接下来将学习求导快捷法则，让你不需要每次都调用极限定义就能计算常见函数的导数。如果没有扎实掌握导数定义和记号，你会很难识别AP考试中频繁出现的、基于极限的概念性导数题目，也无法凭直觉判断快捷法则得到的结果是否合理。本知识点也是所有BC更高阶求导知识点的基础，包括参数函数、极坐标函数、向量函数的导数、隐函数求导和相关变化率。