某一点处平均变化率与瞬时变化率的定义

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Differentiation: Definition and Fundamental Properties· 14 分钟阅读

1. 区间上的平均变化率★☆☆☆☆⏱ 4 min

函数 $f (x)$ 在区间 $[x_{1}, x_{2}]$ 上的平均变化率定义为输出量的总变化除以输入量的总变化。从几何角度看，它等于连接函数 $f$ 图像上两点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 的割线的斜率。

📘 定义

平均变化率

对于区间 $[a, a + h]$ ，平均变化率由差商给出： $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ 。对于一般区间 $[x_{1}, x_{2}]$ ，其表达式为 $\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ 。

例:

表示若要在整个区间内从起点输出变化到终点输出，所需的恒定变化率。

📐 例题

设 $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ，计算 $f (x)$ 在区间 $[1, 4]$ 上的平均变化率。

1
计算函数 $f$ 在区间左端点的值：
$f(1) = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$
2
计算函数 $f$ 在区间右端点的值：
$f(4) = (4)^2 - 3(4) + 2 = 16 - 12 + 2 = 6$
3
代入平均变化率公式：
$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{6 - 0}{3} = 2$
4
几何验证：从 $(1, 0)$ 到 $(4, 6)$ 的割线斜率为2，与我们的计算结果一致。

Exam tip:

在AP自由问答题（FRQ）中，一定要带上输出单位每输入单位（例如米每秒）。漏写单位会白白丢掉一分，大多数学生都会无谓失分。

2. 通过极限定义求瞬时变化率★★☆☆☆⏱ 5 min

在 $x = a$ 处的瞬时变化率无法直接用有限差商计算，因为长度为0的区间会得到无意义的 $\frac{0}{0}$ 型。相反，我们使用极限来求当区间缩小到零时平均变化率趋近的值。这个极限就是导数 $f^{'} (a)$ 的定义，它等于 $a$ 点处的瞬时变化率，几何意义是 $(a, f (a))$ 处切线的斜率。

你需要为AP考试牢记两种标准定义形式：

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

这种形式（ $h \to 0$ ）最常用于从头计算导数。另一种常用的形式常用于从给定的极限表达式中识别导数，即：

f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

📘 定义

一点处的导数

$f^{'} (a)$

$f (x)$ 在 $x = a$ 处的瞬时变化率，等于区间长度趋近于零时差商的极限，也是 $x = a$ 处切线的斜率。

📐 例题

使用极限定义求 $f (x) = x$ 在 $x = 4$ 处的瞬时变化率。

1
写出 $f^{'} (4)$ 的标准极限定义：
$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{f(4 + h) - f(4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h}$
2
将分子分母同乘以共轭式 $4 + h + 2$ ，对分子有理化以消去不定型 $\frac{0}{0}$ ：
$\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{4 + h} - 2)(\sqrt{4 + h} + 2)}{h(\sqrt{4 + h} + 2)} = \lim_{h \to 0} \frac{(4 + h) - 4}{h(\sqrt{4 + h} + 2)}$
3
化简分子： $(4 + h) - 4 = h$ ，因此得到：
$\lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{4 + h} + 2)}$
4
约去 $h$ 项（这是合法的，因为 $h \to 0$ 但 $h \neq = 0$ ，因此可以约去）：
$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 + h} + 2}$
5
代入 $h = 0$ 计算极限：
$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$

Exam tip:

如果题目明确要求“使用极限定义”求导数，你必须写出完整的极限步骤。即使答案正确，使用求导捷径法则也不会得到该题的分数。

3. 实际情境中变化率的解释★★☆☆☆⏱ 3 min

在情境中解释平均变化率和瞬时变化率是AP自由问答题（FRQ）中最常考的技能之一。对于任意函数 $y = f (t)$ ，其中 $y$ 是依赖于自变量 $t$ （通常是时间）的量， $[t_{1}, t_{2}]$ 上的平均变化率是整个区间内 $y$ 每单位 $t$ 的平均变化量。 $t = a$ 处的瞬时变化率是 $y$ 在输入值 $t = a$ 处的变化率。AP考试中常见的情境包括粒子运动、人口增长、边际成本和温度变化。

📐 例题

某城镇2000年后 $t$ 年的人口由 $P (t) = 0.1 t^{2} + 0.5 t + 12$ 给出，其中 $P (t)$ 的单位是千人。(a) 计算2000年到2010年间人口的平均变化率，并解释你的答案。(b) 计算2010年人口的瞬时变化率，并解释你的答案。

1
对于(a)问：2000年对应 $t = 0$ ，2010年对应 $t = 10$ ，计算端点值：
$P(0) = 12, \quad P(10) = 0.1(10^2) + 0.5(10) + 12 = 27$
2
计算平均变化率：
$\frac{27 - 12}{10 - 0} = 1.5 \text{ 千人/年}$
3
解释(a)：2000年到2010年间，该城镇人口平均每年增加1500人。
4
对于(b)问：使用极限定义求 $P^{'} (10)$ ：
$P'(10) = \lim_{h \to 0} \frac{0.1(10+h)^2 + 0.5(10+h) + 12 - 27}{h}$
5
展开并化简分子：
$\lim_{h \to 0} \frac{10 + 2h + 0.1h^2 + 5 + 0.5h + 12 - 27}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2.5h + 0.1h^2}{h}$
6
约去 $h$ 并计算极限：
$\lim_{h \to 0} (2.5 + 0.1h) = 2.5 \text{ 千人/年}$
7
解释(b)：2010年，该城镇人口正以每年2500人的速率增长。

Exam tip:

写解释时，一定要同时指明输入值（例如“2010年”而非“某个时刻”）和变化的物理量——模糊的表述无法得到满分。

4. 概念检测★★☆☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你对核心定义的理解：

以下哪个表达式是 $f (x) = cos x$ 的 $f^{'} (\frac{π}{3})$ 的正确定义？
- A) $h \to 0 lim \frac{cos ( \frac{π}{3} + h ) - cos ( \frac{π}{3} )}{h}$
- B) $x \to 0 lim \frac{cos ( x ) - cos ( \frac{π}{3} )}{x - \frac{π}{3}}$
- C) $\frac{cos ( \frac{π}{3} + h ) - cos ( \frac{π}{3} )}{h}$
- D) $h \to 0 lim \frac{cos ( h ) - cos ( \frac{π}{3} )}{h - \frac{π}{3}}$
显示答案
A —
$f^{'} (a)$ 的标准定义是 $lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ ，与选项A完全一致。选项B计算的是 $x = 0$ 处的导数，选项C缺少必要的极限，选项D使用了错误的输入平移。

5. 常见陷阱

错误做法:

题目要求区间上的平均变化率，却使用瞬时导数公式。

原因:

学生一看到“变化率”就立刻想到捷径求导法则，漏掉了关键词“平均”。

正确做法:

一定要先找题目中的“平均”一词；如果题目要求区间上的平均变化率，一定要使用不带极限的有限差商。

错误做法:

使用极限定义时，在化简分子之前就约去 $h$ 。例如，在 $\frac{4 + h - 2}{h}$ 中约去 $h$ 得到0。

原因:

学生忘记只有经过有理化等代数化简后， $h$ 才是整个分子的因子。

正确做法:

一定要先完全化简分子，再找 $h$ 的公因子约去。

错误做法:

在导数的另一种定义中错误识别 $a$ 。例如，认为对于 $f (x) = x^{3}$ ， $lim_{x \to 2} \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ 等于 $f^{'} (8)$ 。

原因:

学生混淆了定义中点对应的值。

正确做法:

在另一种形式中， $a$ 是使分母为零的值，因此对于 $f (x) = x^{3}$ ，该极限是 $f^{'} (2)$ 。

错误做法:

在解释时将总变化量与变化率混淆。例如，认为10年间平均每年1.5千人的变化率意味着总变化量是1500人。

原因:

学生忘记变化率是每单位输入的变化量，不是区间上的总变化量。

正确做法:

一定要在解释中加上“每[输入单位]”，牢记两者的区别。

错误做法:

计算到 $\frac{h}{h ( 4 + h + 2 )}$ 就停止，代入 $h = 0$ 得到无意义的 $\frac{0}{0}$ 结果。

原因:

学生忘记 $h \to 0$ 意味着 $h$ 趋近于零但不等于零，因此可以在代入前约去。

正确做法:

一定要先约去 $h$ 的公因子，再代入 $h = 0$ 计算极限。

6. 速查表

类别	公式	注释
区间 $[x_{1}, x_{2}]$ 上的平均变化率	$\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$	适用于有限区间，等于割线的斜率
差商	$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	$[a, a + h]$ 上的平均变化率，是导数定义的基础
一点处的导数（ $h \to 0$ 形式）	$f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	极限计算问题中最常用的形式
一点处的导数（另一种 $x \to a$ 形式）	$f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$	用于从给定极限表达式中识别导数
几何意义（平均）	两点之间割线的斜率	始终连接图像上两个不同的点
几何意义（瞬时）	$(a, f (a))$ 处切线的斜率	仅当极限有限时存在
情境中的平均变化率	[输出单位] 每 [输入单位]	描述整个区间上的平均变化
情境中的瞬时变化率	[输出单位] 每 [输入单位]	描述精确输入值处的变化率

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
从极限表达式识别导数
2022 · FRQ
在情境中解释变化率

下一步

本主题是第二单元以及整个AP微积分BC课程后续所有求导内容的绝对基础。接下来，你将学习把导数定义为函数，然后学习幂函数、指数函数、三角函数以及函数组合的捷径求导法则。如果没有掌握平均变化率和瞬时变化率的区别，以及一点处导数的极限定义，你很难在基于解释的FRQ中得到满分，而这类题目在考试分数占比中很大。