# 某一点处平均变化率与瞬时变化率的定义

> AP 微积分 BC · 求导：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-defining-average-and-instantaneous-rates/

这是求导的基础主题，内容包括区间上的平均变化率、一点处的瞬时变化率、导数的极限定义，以及变化率在实际应用情境中的解释，该内容在AP考试中被频繁考查。

**先修:** 单侧极限与双侧极限的基本计算; 函数符号与有理表达式的代数化简; 实际问题中函数斜率的情境解释

## 学习目标

- 计算有限区间上的平均变化率
- 使用导数的极限定义计算某一点处的瞬时变化率
- 在实际情境中解释平均变化率和瞬时变化率
- 从给定的极限表达式中识别导数定义

## 区间上的平均变化率

函数$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上的平均变化率定义为输出量的总变化除以输入量的总变化。从几何角度看，它等于连接函数$f$图像上两点$(x_1, f(x_1))$和$(x_2, f(x_2))$的割线的斜率。

**平均变化率** — 对于区间$[a, a+h]$，平均变化率由差商给出：$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$。对于一般区间$[x_1, x_2]$，其表达式为$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$。

*例:* 表示若要在整个区间内从起点输出变化到终点输出，所需的恒定变化率。

**例题:** 设$f(x) = x^2 - 3x + 2$，计算$f(x)$在区间$[1, 4]$上的平均变化率。

1. 计算函数$f$在区间左端点的值：

   $$f(1) = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$
2. 计算函数$f$在区间右端点的值：

   $$f(4) = (4)^2 - 3(4) + 2 = 16 - 12 + 2 = 6$$
3. 代入平均变化率公式：

   $$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{6 - 0}{3} = 2$$
4. 几何验证：从$(1, 0)$到$(4, 6)$的割线斜率为2，与我们的计算结果一致。

> **考试提示:** 在AP自由问答题（FRQ）中，一定要带上输出单位每输入单位（例如米每秒）。漏写单位会白白丢掉一分，大多数学生都会无谓失分。

## 通过极限定义求瞬时变化率

在$x=a$处的瞬时变化率无法直接用有限差商计算，因为长度为0的区间会得到无意义的$\frac{0}{0}$型。相反，我们使用极限来求当区间缩小到零时平均变化率趋近的值。这个极限就是导数$f'(a)$的定义，它等于$a$点处的瞬时变化率，几何意义是$(a, f(a))$处切线的斜率。

你需要为AP考试牢记两种标准定义形式：

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

这种形式（$h \to 0$）最常用于从头计算导数。另一种常用的形式常用于从给定的极限表达式中识别导数，即：

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

**一点处的导数** — $f(x)$在$x=a$处的瞬时变化率，等于区间长度趋近于零时差商的极限，也是$x=a$处切线的斜率。

*记法:* $f'(a)$

**例题:** 使用极限定义求$f(x) = \sqrt{x}$在$x=4$处的瞬时变化率。

1. 写出$f'(4)$的标准极限定义：

   $$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{f(4 + h) - f(4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h}$$
2. 将分子分母同乘以共轭式$\sqrt{4+h} + 2$，对分子有理化以消去不定型$\frac{0}{0}$：

   $$\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{4 + h} - 2)(\sqrt{4 + h} + 2)}{h(\sqrt{4 + h} + 2)} = \lim_{h \to 0} \frac{(4 + h) - 4}{h(\sqrt{4 + h} + 2)}$$
3. 化简分子：$(4 + h) - 4 = h$，因此得到：

   $$\lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{4 + h} + 2)}$$
4. 约去$h$项（这是合法的，因为$h \to 0$但$h \neq 0$，因此可以约去）：

   $$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 + h} + 2}$$
5. 代入$h=0$计算极限：

   $$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$$

> **考试提示:** 如果题目明确要求“使用极限定义”求导数，你必须写出完整的极限步骤。即使答案正确，使用求导捷径法则也不会得到该题的分数。

## 实际情境中变化率的解释

在情境中解释平均变化率和瞬时变化率是AP自由问答题（FRQ）中最常考的技能之一。对于任意函数$y = f(t)$，其中$y$是依赖于自变量$t$（通常是时间）的量，$[t_1, t_2]$上的平均变化率是整个区间内$y$每单位$t$的平均变化量。$t=a$处的瞬时变化率是$y$在输入值$t=a$处的变化率。AP考试中常见的情境包括粒子运动、人口增长、边际成本和温度变化。

**例题:** 某城镇2000年后$t$年的人口由$P(t) = 0.1t^2 + 0.5t + 12$给出，其中$P(t)$的单位是千人。(a) 计算2000年到2010年间人口的平均变化率，并解释你的答案。(b) 计算2010年人口的瞬时变化率，并解释你的答案。

1. 对于(a)问：2000年对应$t=0$，2010年对应$t=10$，计算端点值：

   $$P(0) = 12, \quad P(10) = 0.1(10^2) + 0.5(10) + 12 = 27$$
2. 计算平均变化率：

   $$\frac{27 - 12}{10 - 0} = 1.5 \text{ 千人/年}$$
3. 解释(a)：2000年到2010年间，该城镇人口平均每年增加1500人。
4. 对于(b)问：使用极限定义求$P'(10)$：

   $$P'(10) = \lim_{h \to 0} \frac{0.1(10+h)^2 + 0.5(10+h) + 12 - 27}{h}$$
5. 展开并化简分子：

   $$\lim_{h \to 0} \frac{10 + 2h + 0.1h^2 + 5 + 0.5h + 12 - 27}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2.5h + 0.1h^2}{h}$$
6. 约去$h$并计算极限：

   $$\lim_{h \to 0} (2.5 + 0.1h) = 2.5 \text{ 千人/年}$$
7. 解释(b)：2010年，该城镇人口正以每年2500人的速率增长。

> **考试提示:** 写解释时，一定要同时指明输入值（例如“2010年”而非“某个时刻”）和变化的物理量——模糊的表述无法得到满分。

## 概念检测

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你对核心定义的理解：

1. 以下哪个表达式是$f(x) = \cos x$的$f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$的正确定义？

   - A) $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{h}$
   - B) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{x - \frac{\pi}{3}}$
   - C) $\displaystyle \frac{\cos\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{h}$
   - D) $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{h - \frac{\pi}{3}}$

   *解析:* $f'(a)$的标准定义是$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$，与选项A完全一致。选项B计算的是$x=0$处的导数，选项C缺少必要的极限，选项D使用了错误的输入平移。

## 常见错误

- **错误做法:** 题目要求区间上的平均变化率，却使用瞬时导数公式。
  - 原因: 学生一看到“变化率”就立刻想到捷径求导法则，漏掉了关键词“平均”。
  - 正确做法: 一定要先找题目中的“平均”一词；如果题目要求区间上的平均变化率，一定要使用不带极限的有限差商。
- **错误做法:** 使用极限定义时，在化简分子之前就约去$h$。例如，在$\frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}$中约去$h$得到0。
  - 原因: 学生忘记只有经过有理化等代数化简后，$h$才是整个分子的因子。
  - 正确做法: 一定要先完全化简分子，再找$h$的公因子约去。
- **错误做法:** 在导数的另一种定义中错误识别$a$。例如，认为对于$f(x) = x^3$，$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$等于$f'(8)$。
  - 原因: 学生混淆了定义中点对应的值。
  - 正确做法: 在另一种形式中，$a$是使分母为零的值，因此对于$f(x) = x^3$，该极限是$f'(2)$。
- **错误做法:** 在解释时将总变化量与变化率混淆。例如，认为10年间平均每年1.5千人的变化率意味着总变化量是1500人。
  - 原因: 学生忘记变化率是每单位输入的变化量，不是区间上的总变化量。
  - 正确做法: 一定要在解释中加上“每[输入单位]”，牢记两者的区别。
- **错误做法:** 计算到$\frac{h}{h(\sqrt{4+h} + 2)}$就停止，代入$h=0$得到无意义的$\frac{0}{0}$结果。
  - 原因: 学生忘记$h \to 0$意味着$h$趋近于零但不等于零，因此可以在代入前约去。
  - 正确做法: 一定要先约去$h$的公因子，再代入$h=0$计算极限。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 区间$[x_1, x_2]$上的平均变化率 | $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ | 适用于有限区间，等于割线的斜率 |
| 差商 | $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ | $[a, a+h]$上的平均变化率，是导数定义的基础 |
| 一点处的导数（$h \to 0$形式） | $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ | 极限计算问题中最常用的形式 |
| 一点处的导数（另一种$x \to a$形式） | $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ | 用于从给定极限表达式中识别导数 |
| 几何意义（平均） | 两点之间割线的斜率 | 始终连接图像上两个不同的点 |
| 几何意义（瞬时） | $(a, f(a))$处切线的斜率 | 仅当极限有限时存在 |
| 情境中的平均变化率 | [输出单位] 每 [输入单位] | 描述整个区间上的平均变化 |
| 情境中的瞬时变化率 | [输出单位] 每 [输入单位] | 描述精确输入值处的变化率 |

## 下一步

本主题是第二单元以及整个AP微积分BC课程后续所有求导内容的绝对基础。接下来，你将学习把导数定义为函数，然后学习幂函数、指数函数、三角函数以及函数组合的捷径求导法则。如果没有掌握平均变化率和瞬时变化率的区别，以及一点处导数的极限定义，你很难在基于解释的FRQ中得到满分，而这类题目在考试分数占比中很大。

- [导数的定义与导数记号](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-defining-the-derivative-and-using/)
- [某点处函数导数的估计](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-estimating-derivatives-of-a-function/)
- [可微性与连续性的关系](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-connecting-differentiability-and-continuity/)

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