常数法则、和法则、差法则与常数倍法则

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 微分：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 常数法则★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

常数法则

\frac{d}{dx}[c] = 0

对于任意固定实常数 $c$ ，常函数 $f (x) = c$ 的导数为零。这一结论源于常函数的变化率为零这一性质。

例:

$f (x) = c$ 的图像是斜率为0的水平线，验证了该法则的正确性。

🔬 推导

目标:

从导数的极限定义出发证明常数法则

起点:

极限定义： $f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$

1
将 $f (x) = c$ 代入定义：
2
$\lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h}$
3
化简分子：
4
$\lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0$
5
计算常数的极限，结果等于该常数本身：
6
$0$

结果:

这就证明了常数法则的正确性。

📐 例题

求 $\frac{d}{d x} [12 π - e^{2}]$

1
确认该表达式相对于 $x$ 是常数： $12 π$ 和 $e^{2}$ 都是固定实数，因此它们的差也是不随 $x$ 变化的常数。
2
回顾常数法则：对任意常数 $c$ ，有 $\frac{d}{d x} [c] = 0$ 。
3
将 $c = 12 π - e^{2}$ 代入法则，得到最终结果：
4
$\frac{d}{dx}\left[12\pi - e^2\right] = 0$

Exam tip:

任何固定符号（如 $π$ 、 $e$ 或 $g$ ）都是常数而非变量，除非题目明确说明它是 $x$ 的函数。所有固定常数的导数都是0。

2. 常数倍法则★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

常数倍法则

\frac{d}{dx}\left[c \cdot f(x)\right] = c \cdot \frac{d}{dx}\left[f(x)\right]

可微函数的常数倍的导数，等于该函数导数的常数倍。该法则由极限的常数倍法则推导而来。

例:

对函数进行垂直缩放时，所有切线的斜率也会缩放相同的常数倍。

🔬 推导

目标:

从导数的极限定义出发证明常数倍法则

起点:

$c f (x)$ 的导数极限定义

1
根据定义写出导数：
2
$\lim_{h \to 0} \frac{c f(x+h) - c f(x)}{h}$
3
根据极限的性质，将常数 $c$ 从分子和极限中提取出来：
4
$c \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
5
可以认出该极限就是 $f (x)$ 的导数：
6
$c f'(x)$

结果:

常数倍法则得证。

📐 例题

已知 $g (x)$ 是可微函数，且 $\frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 x$ ，求 $\frac{d}{d x} [- 4 g (x)]$ 。

1
识别出常数倍 $c = - 4$ ，内层函数为 $g (x)$ 。
2
应用常数倍法则：
3
$\frac{d}{dx}\left[-4 g(x)\right] = -4 \cdot \frac{d}{dx}\left[g(x)\right]$
4
代入已知的 $g (x)$ 的导数并化简：
5
$-4(3x^2 + 2x) = -12x^2 - 8x$

Exam tip:

对负常数应用常数倍法则时，一定要保留负号。遗漏负号是考试中失分的常见原因。

3. 和法则与差法则★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

和法则与差法则

\frac{d}{dx}\left[f(x) + g(x)\right] = f'(x) + g'(x) \\ \frac{d}{dx}\left[f(x) - g(x)\right] = f'(x) - g'(x)

两个可微函数的和（或差）的导数，等于两个函数各自导数的和（或差）。这些法则可以推广到任意有限项，实现逐项求导。

例:

如果总速度是两个分速度的和，那么总速度的变化率就是两个分速度变化率的和。

📐 例题

已知 $\frac{d}{d x} [x^{n}] = n x^{n - 1}$ ，求 $f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 12$ 的导数。

1
利用和法则与差法则将函数拆分为单个项：
2
$f'(x) = \frac{d}{dx}[5x^3] - \frac{d}{dx}[3x^2] + \frac{d}{dx}[7x] - \frac{d}{dx}[12]$
3
对每个非恒定项应用常数倍法则：
4
$f'(x) = 5 \frac{d}{dx}[x^3] - 3 \frac{d}{dx}[x^2] + 7 \frac{d}{dx}[x] - \frac{d}{dx}[12]$
5
对每个 $x$ 的幂次应用幂法则，对最后一项应用常数法则：
6
$f'(x) = 5(3x^2) - 3(2x) + 7(1) - 0$
7
化简得到最终导数：
8
$f'(x) = 15x^2 - 6x + 7$

Exam tip:

对多项式求导时，显式逐项计算可以避免漏项或常数错误。即使你可以心算，写下来也能减少考试时的错误。

4. AP风格的综合例题★★☆☆☆⏱ 5 min

📐 例题

选择题：若 $f (x) = - 2 (3 x^{2} - 5 x + 7)$ ，则 $f^{'} (x)$ 等于多少？选项：A) $- 6 x^{2} + 10 x - 14$ , B) $- 12 x + 10$ , C) $- 12 x - 10$ , D) $6 x - 5$

1
可以看出 $f (x)$ 是常数(-2)乘以一个多项式，先应用常数倍法则：
2
$f'(x) = -2 \cdot \frac{d}{dx}[3x^2 - 5x + 7]$
3
应用和法则与差法则拆分为逐项求导：
4
$f'(x) = -2\left(\frac{d}{dx}[3x^2] - \frac{d}{dx}[5x] + \frac{d}{dx}[7]\right)$
5
对每一项应用幂法则和常数法则：
6
$\frac{d}{dx}[3x^2] = 6x, \quad \frac{d}{dx}[5x] = 5, \quad \frac{d}{dx}[7] = 0$
7
代入并化简：
8
$f'(x) = -2(6x - 5) = -12x + 10$
9
正确答案是B。

📐 例题

自由作答题：设 $f (x) = a x^{3} - b x^{2} + 4$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是非零常数。(a) 使用本模块介绍的法则求 $f^{'} (x)$ 。(b) 已知 $f^{'} (1) = 3$ ， $f^{'} (2) = 16$ ，求 $a$ 和 $b$ 。(c) 求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处切线的斜率。

1
(a)问：拆分各项并应用法则：
2
$f'(x) = \frac{d}{dx}[a x^3] - \frac{d}{dx}[b x^2] + \frac{d}{dx}[4] = 3a x^2 - 2b x$
3
(b)问：代入已知条件得到方程组：
4
$3a(1)^2 - 2b(1) = 3 \implies 3a - 2b = 3 \\ 3a(2)^2 - 2b(2) = 16 \implies 12a - 4b = 16 \implies 3a - b = 4$
5
解方程组：用第二个方程减去第一个方程得到 $b = 1$ ，再回代求得 $a = \frac{5}{3}$ 。
6
(c)问： $x = 0$ 处切线的斜率等于 $f^{'} (0)$ ：
7
$f'(0) = 3a(0)^2 - 2b(0) = 0$
8
最终结果：(a) $f^{'} (x) = 3 a x^{2} - 2 b x$ ，(b) $a = \frac{5}{3}, b = 1$ ，(c) 斜率 = 0。

📐 例题

应用题：某企业的月总利润为 $P (n) = - 0.002 n^{2} + 12 n - 1500$ ，其中 $P (n)$ 是利润（单位：美元）， $n$ 是售出的马克杯数量。求边际利润函数 $P^{'} (n)$ ，计算 $n = 2000$ 时的边际利润，并解释结果的含义。

1
利用法则逐项求导：
2
$P'(n) = \frac{d}{dn}[-0.002n^2] + \frac{d}{dn}[12n] - \frac{d}{dn}[1500] \\ = -0.002(2n) + 12(1) - 0 = -0.004n + 12$
3
代入 $n = 2000$ ：
4
$P'(2000) = -0.004(2000) + 12 = 4$
5
解释：当已经售出2000个马克杯时，再售出一个马克杯会让月总利润大约增加$4。

5. 常见陷阱

错误做法:

将常数 $π$ 求导得到 $\frac{d}{d x} [π] = 1$ ，错把它当成变量 $x$ 。

原因:

$π$ 用希腊字母书写，看起来像是变量，因此学生容易把它和自变量 $x$ 混淆。

正确做法:

求导前一定要确认符号代表的是固定常数还是变量；所有固定常数（ $π$ 、 $e$ 、 $g$ 等）的导数都是0。

错误做法:

对 $\frac{d}{d x} [- f (x)]$ 应用常数倍法则时，遗漏负号，错写成 $f^{'} (x)$ 而非 $- f^{'} (x)$ 。

原因:

学生通常专注于对函数求导，忘记保留原常数倍的负号。

正确做法:

求导前先把常数倍（包括负号）写在函数导数的外面，这样就不会遗漏符号了。

错误做法:

对 $\frac{d}{d x} [f (x) + c]$ 求导时，将常数项 $c$ 的导数错算成1，得到 $f^{'} (x) + 1$ 而非正确的 $f^{'} (x)$ 。

原因:

学生错误地把 $\frac{d}{d x} [x] = 1$ 这一法则推广到所有常数项，混淆了常数 $c$ 和变量 $x$ 。

正确做法:

提醒自己：任何不含自变量 $x$ 的项都是常数，因此它的导数是0，不是1。

错误做法:

对 $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ 应用差法则时，只把负号给到系数，没有在幂法则步骤中正确应用，错写成 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x$ 而非正确的 $6 x - 2$ 。

原因:

当存在多个减项时，学生容易错用符号，导致指数或系数错误。

正确做法:

求导前先给每个项分配正确的符号，因此 $- 2 x$ 是一个单独的项，常数倍为 $- 2$ ，在整个求导过程中都保留这个符号。

错误做法:

当 $c$ 在函数自变量内部而非整个函数的乘数时，错误地套用常数倍法则得到 $\frac{d}{d x} [f (c x)] = c f^{'} (x)$ 。

原因:

学生混淆了常数倍法则（垂直缩放整个函数）和复合函数内部的常数系数。

正确做法:

只有当常数乘以整个函数时才能应用常数倍法则；如果常数乘以函数内部的 $x$ ，则必须使用链式法则。

6. 速查表

类别	公式	说明
常数法则	$\frac{d}{d x} [c] = 0$	任意固定实常数；适用于 $π$ 、 $e$ 和所有固定系数
常数倍法则	$\frac{d}{d x} [c \cdot f (x)] = c \cdot \frac{d}{d x} [f (x)]$	仅适用于常数乘以整个函数的情况；自变量内部的常数需要使用链式法则
和法则	$\frac{d}{d x} [f (x) + g (x)] = \frac{d}{d x} [f (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$	可推广到任意有限个项的和；适用于所有可微函数
差法则	$\frac{d}{d x} [f (x) - g (x)] = \frac{d}{d x} [f (x)] - \frac{d}{d x} [g (x)]$	等价于对 $g (x)$ 取 $c = - 1$ 的和法则；保留项的符号
组合线性法则	$\frac{d}{d x} [a f (x) + b g (x)] = a f^{'} (x) + b g^{'} (x)$	将四个法则合并为一个公式，适用于函数的线性组合
多项式逐项求导	$\frac{d}{d x} [\sum_{k = 0}^{n} c_{k} x^{k}] = \sum_{k = 1}^{n} k c_{k} x^{k - 1}$	常数项 $c_{0}$ 因为导数为0会被消去

下一步

这四个法则是基础的线性性质，是AP微积分BC中所有后续求导技巧的基础。在本课程剩下的内容中，无论你处理乘积、商、复合函数还是超越函数，几乎每一次求导计算都需要依靠这些法则来化简最终结果。现在掌握这些法则，可以避免在未来所有求导题目中因为符号错误或常数处理错误丢失轻松可得的分数。这些线性性质也可以直接推广到本课程后续的积分中，因为积分是微分的逆运算，拥有相同的核心性质。扎实掌握这些基础法则能为你学习微积分所有更高级的主题打下成功的基础。