可微性与连续性的关系

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 求导：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 定理：可微性蕴含连续性（可微必连续）★★☆☆☆⏱ 4 min

本主题的核心结论是一个形式逻辑蕴含关系：若函数 $f$ 在 $x = a$ 处可微，则 $f$ 一定在 $x = a$ 处连续。该结论可以用极限运算法则直接证明，其逆否命题是AP考试中快速判断可微性最常用的工具之一。

🔬 推导

目标:

证明在 $x = a$ 处可微蕴含在 $x = a$ 处连续

起点:

若 $f$ 在 $a$ 处可微，则导数 $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ 作为有限极限存在。

1
要证明连续性，我们需要证明 $lim_{h \to 0} [f (a + h) - f (a)] = 0$ ，这就是 $x = a$ 处连续性的定义。
2
$\lim_{h \to 0} \left[f(a+h) - f(a)\right] = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \cdot h \right)$
3
利用极限的乘积法则拆分，由于两个极限都存在，该法则适用：
4
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} h = f'(a) \cdot 0 = 0$

结果:

我们已经证明 $lim_{h \to 0} [f (a + h) - f (a)] = 0$ ，因此 $f$ 在 $x = a$ 处连续。该定理的逆否命题为：若 $f$ 在 $x = a$ 处不连续，则 $f$ 在 $x = a$ 处不可微。这意味着如果你发现了间断点，就可以直接停止可微性检验，在考试中节省时间。

📐 例题

设 $f (x) = {3 x - 2 3 x + 1 x < 2 x \geq 2$ ，问 $f$ 在 $x = 2$ 处是否可微？证明你的结论。

1
首先计算左极限，检验 $x = 2$ 处的连续性：
2
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - 2 = 4$
3
计算 $x = 2$ 处的右极限和函数值：
4
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 3(2) + 1 = 7$
5
由于左极限不等于函数值， $f$ 在 $x = 2$ 处不连续。
6
根据可微必连续定理的逆否命题， $f$ 在 $x = 2$ 处一定不可微。

Exam tip:

判断可微性时永远先检查间断性。如果发现间断点，可以直接停止并写出结论，在考试当天节省1-2分钟。

2. 连续不蕴含可微★★★☆☆⏱ 5 min

虽然可微一定连续，但逆命题不成立：连续性是可微性的必要不充分条件。函数可以在 $x = a$ 处完全连续，但仍然不可微。连续但不可微的函数共有四种常见情况：

拐角：左导数 $\neq =$ 右导数
尖点：单侧导数趋向相反的无穷大
竖直切线：导数趋向 $\pm \infty$ （不是有限值）
振荡切线：差商的极限不存在

在AP考试中，这个概念最常出现在衔接点连续的分段函数题目中：你必须检验左导数是否等于右导数来确认可微性。

📐 例题

设 $f (x) = {x^{2} + 3 7 x - 9 x \leq 3 x > 3$ ，问 $f$ 在 $x = 3$ 处是否可微？证明你的结论。

1
首先确认 $x = 3$ 处的连续性：
2
$f(3) = 3^2 + 3 = 12, \quad \lim_{x \to 3^+} f(x) = 7(3) - 9 = 12$
3
因此 $f$ 在 $x = 3$ 处连续。接下来计算左导数，左导数等于左半段的导数在 $x = 3$ 处的值：
4
$f'_-(3) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3)\bigg|_{x=3} = 2(3) = 6$
5
同理计算右导数：
6
$f'_+(3) = \frac{d}{dx}(7x - 9)\bigg|_{x=3} = 7$
7
由于 $f_{-}^{'} (3) = 6 \neq = 7 = f_{+}^{'} (3)$ ，双侧导数不存在，因此 $f$ 在 $x = 3$ 处连续但不可微。

Exam tip:

不要只比较分段导数就跳过连续性检验。如果函数不连续，即使两侧导数相等，函数也不可微。

3. 从图像中识别不可微点★★☆☆☆⏱ 3 min

AP选择题中一种常见题型是给出 $f (x)$ 的图像，要求你数出给定区间内不可微点的个数。解决这类问题时，直接在图像上检查四种不可微点即可。

📐 例题

函数 $y = f (x)$ 在开区间 $(- 4, 4)$ 上的图像在 $x = - 2$ 处有跳跃间断点，在 $x = 0$ 处有拐角，在 $x = 2$ 处有竖直切线，其余点处都是光滑的。请问 $(- 4, 4)$ 内有多少个不可微点？

1
列出开区间内所有候选点： $x = - 2$ , $x = 0$ , $x = 2$ 。
2
$x = - 2$ 是间断点：根据逆否命题，它是不可微点（计数 = 1）。
3
$x = 0$ 是拐角：函数连续，但左斜率不等于右斜率，因此是不可微点（计数 = 2）。
4
$x = 2$ 有竖直切线：斜率为无穷大，因此导数不是有限值，是不可微点（计数 = 3）。
5
没有其他候选点，因此不可微点的总数是3。

Exam tip:

不要忘记把竖直切线算作不可微点。大多数学生记得拐角和间断点，但在图像题中漏算竖直切线。

4. 求可微分段函数中的常数★★★★☆⏱ 6 min

自由作答题中一种常见题型要求你求出分段函数中的未知常数，使得函数在衔接点处既连续又可微。永远遵循这个顺序：先求满足连续性的常数，再求解可微性条件。

📐 例题

设 $g (x) = {a x^{3} + b x 4 x^{2} - 2 x \leq 1 x > 1$ 。(a) 求出所有使得 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处连续的 $a$ 和 $b$ 。(b) 对于连续的 $g$ ，何时 $g$ 在 $x = 1$ 处也可微？(c) 设 $a = 3$ ， $b = - 1$ ，问 $g$ 在 $x = 1$ 处是否可微？证明你的结论。

1
(a)问：要满足连续性， $x = 1$ 处的左极限必须等于右极限：
2
$\lim_{x \to 1^+} (4x^2 - 2) = 4(1) - 2 = 2, \quad \lim_{x \to 1^-} (ax^3 + bx) = a + b$
3
所有满足 $a + b = 2$ 的 $a, b$ 对都使得 $g$ 在 $x = 1$ 处连续。
4
(b)问：要满足可微性，确认连续性后比较单侧导数：
5
$g'_+(1) = \frac{d}{dx}(4x^2 - 2)\bigg|_{x=1} = 8, \quad g'_-(1) = 3a + b$
6
令导数相等，然后代入(a)问得到的 $b = 2 - a$ ：
7
$3a + (2 - a) = 8 \implies 2a = 6 \implies a = 3, b = -1$
8
(c)问：对于 $a = 3, b = - 1$ ， $a + b = 2$ ，因此 $g$ 在 $x = 1$ 处连续。两个单侧导数都等于8，因此 $g$ 在 $x = 1$ 处可微。

✓ 快速检测

测试你对核心蕴含关系的理解：

设 $f$ 对所有实数 $x$ 都有定义，已知 $lim_{x \to 3} f (x) = 5$ ， $f (3) = 7$ 。下列哪个陈述一定正确？
- A) $f$ 在 $x = 3$ 处连续，且 $f$ 在 $x = 3$ 处可微
- B) $f$ 在 $x = 3$ 处连续，但 $f$ 在 $x = 3$ 处不可微
- C) $f$ 在 $x = 3$ 处不连续，但 $f$ 在 $x = 3$ 处可微
- D) $f$ 在 $x = 3$ 处不连续，且 $f$ 在 $x = 3$ 处不可微
显示答案
D —
连续性要求 $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ 。由于 $5 \neq = 7$ ， $f$ 在 $x = 3$ 处不连续。根据可微必连续的逆否命题，不连续函数一定不可微，因此 $f$ 在 $x = 3$ 处也不可微。

5. 常见陷阱

错误做法:

确认分段函数两段的导数在 $x = a$ 处相等后，不先检验连续性就直接得出可微的结论。

原因:

学生认为导数匹配就意味着函数连通，跳过了可微性必要条件的连续性检验。

正确做法:

比较单侧导数前永远先检验 $x = a$ 处的连续性。如果不连续，就停止并得出不可微的结论。

错误做法:

仅因为函数在 $x = a$ 处不可微，就得出函数在 $x = a$ 处不连续的结论。

原因:

学生混淆了蕴含关系的方向，错误地反转了'可微必连续'的规则。

正确做法:

记住只有'不连续 $\to$ 不可微'永远成立；不可微不蕴含不连续，因此永远要单独检验连续性。

错误做法:

因为函数在该点的极限存在，就把可去间断点（孔洞）算作可微点。

原因:

学生把函数的极限和函数在该点连续混淆了。

正确做法:

任何间断点（可去、跳跃、无穷）都意味着函数不连续，因此不可微，无论极限是否存在。

错误做法:

因为 $f (x) = ∣ x ∣$ 在 $x = 0$ 处不可微，就得出它在 $x = 0$ 处不连续的结论。

原因:

学生忘记 $∣ x ∣$ 是连续但不可微函数的经典例子，混淆了蕴含关系的方向。

正确做法:

先检验连续性，再检验可微性： $∣ x ∣$ 在 $0$ 处连续，但不可微。

错误做法:

判断分段函数衔接点 $x = a$ 处的单侧导数时，在 $x = 0$ 而不是 $x = a$ 处计算导数。

原因:

学生答题仓促，默认代入最常见的衔接点数值，导致比较错误。

正确做法:

明确标记衔接点 $x = a$ ，写出每一段的导数，在比较前先在 $x = a$ 处求值。

6. 速查表

类别	规则/公式	注释
可微蕴含连续	若 $f^{'} (a)$ 存在，则 $f$ 在 $x = a$ 处连续	恒成立；逆否命题： $a$ 处不连续 → $f^{'} (a)$ 不存在
逆命题不成立	$a$ 处连续不保证 $f^{'} (a)$ 存在	连续性是可微性的必要不充分条件
左导数	$f_{-}^{'} (a) = lim_{h \to 0^{-}} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	对于光滑分段，等于左段在 $x = a$ 处的导数
右导数	$f_{+}^{'} (a) = lim_{h \to 0^{+}} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	对于光滑分段，等于右段在 $x = a$ 处的导数
衔接点处的可微性	$f$ 在 $a$ 处可微当且仅当(1) $a$ 处连续，(2) $f_{-}^{'} (a) = f_{+}^{'} (a)$ 且为有限值	永远先检验条件1
拐角/尖点	不可微	连续，但单侧导数不相等
竖直切线	不可微	连续，但斜率为无穷大（不是有限值）
任何间断点	不可微	适用于可去、跳跃和无穷间断点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · AP Calculus BC
选择题：考察蕴含关系的方向
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自由作答题：分段函数可微性判断

下一步

本主题是AP微积分BC后续所有求导内容的基础先修知识。接下来你将学习求导函数组合的乘积法则、商法则和链式法则，这些法则都前提是原函数在定义域上可微。你在学习反函数导数、隐函数求导和拉格朗日中值定理时也会用到本主题的关系，其中拉格朗日中值定理明确要求函数在闭区间连续、开区间可微才能应用。如果没有掌握检验顺序（先连续，后可微）和蕴含关系的单向性，你会在证明题中丢失送分，AP考试中证明题对正确逻辑推理评分非常严格。