# 几何级数的运算

> AP 微积分 BC · 第10单元：无穷数列与级数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-working-with-geometric-series/

本模块涵盖有限与无穷几何级数的核心性质、收敛法则、和的计算、循环小数转化和实际应用，是AP 微积分 BC 第10单元的核心基础内容。

**先修:** 数列的极限; 基本指数运算法则; 代数因式分解

## 学习目标

- 识别等比数列、几何级数及其公比
- 使用$|r|<1$法则判断无穷几何级数的敛散性
- 计算标准型和非标准型收敛几何级数的精确和
- 使用几何级数将循环小数转化为精确分数形式
- 求解涉及无穷几何级数的实际应用问题

## 几何级数的定义与收敛性

几何级数是等比数列各项的和，首项之后的每一项都是前一项乘以一个非零常数公比$r$。与大多数其他无穷级数不同，收敛的几何级数存在精确的闭型和，因此是学习更高级级数内容的基础工具。

**等比数列与几何级数** — 等比数列的相邻两项之间公比为常数，几何级数是等比数列所有项的和。

*记法:* $a_n = a_1 r^{n-1}, \sum_{n=0}^\infty a_1 r^n$

*例:* $\sum_{n=0}^\infty 3\left(\frac{1}{2}\right)^n$中$a_1=3, r=\frac{1}{2}$

$$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_1 r^k = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad r \neq 1$$

要求无穷几何级数的和，我们对部分和取$n \to \infty$时的极限。若$|r| < 1$，则$r^n \to 0$，因此我们得到有限的收敛和：

$$S = \sum_{n=0}^{\infty} a_1 r^n = \frac{a_1}{1 - r}, \quad |r| < 1$$

无穷几何级数收敛**当且仅当** $|r| < 1$。若$|r| \geq 1$，部分和不会趋近于有限极限，因此级数发散。

**例题:** 判断无穷级数$\sum_{n=1}^{\infty} 4 \left(\frac{3}{4}\right)^{n}$是否收敛。若收敛，求其精确和。

1. 通过计算相邻项的比值，确认该级数是几何级数：
2. $$n=1: 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right) = 3; \quad n=2: 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{4}; \quad r = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$$
3. 检查收敛条件：$|r| = \frac{3}{4} < 1$，因此级数收敛。
4. 计算起始下标$n=1$处的首项：
5. $$a_1 = 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 3$$
6. 应用无穷和公式：
7. $$S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{3}{1 - 3/4} = 12$$

> **考试提示:** 写出有限和之前一定要先确认$|r| < 1$。如果你给发散几何级数写出了有限和，即使你代入公式的值是对的，AP阅卷官也会扣分。

## 改写非标准型几何级数

大多数AP考试题目不会把几何级数写成整齐的$\sum ar^n$标准形式。你通常需要化简指数、提取常数、或者对级数重新编号，才能正确识别$a_1$和$r$。核心策略是把下标变量$n$的幂次分离到指数中，这样就能把每一项写成$c \cdot r^n$的形式。

**例题:** 求收敛级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+2}}{3^{n-1}}$的精确和。

1. 利用指数法则将常数项和含$n$的项分离：
2. $$\frac{2^{n+2}}{3^{n-1}} = 2^n \cdot 2^2 \cdot 3^{-n} \cdot 3^{1} = 12 \left(\frac{2}{3}\right)^n$$
3. 检查收敛性：$|r| = \frac{2}{3} < 1$，因此级数收敛。
4. 确定$n=0$时的首项：
5. $$a_1 = 12 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 12$$
6. 应用无穷和公式：
7. $$S = \frac{12}{1 - 2/3} = 36$$

> **考试提示:** 改写指数时，一定要先把所有常数从下标项中分离出来，再识别$r$，这样可以避免混淆公比。

## 将循环小数转化为分数

收敛几何级数最常见的具体应用之一就是将循环小数转化为精确分数形式。循环小数可以拆分为有限的不循环部分和无穷的循环几何级数，公比为$10^{-k}$，其中$k$是循环节的位数。

**例题:** 将循环小数$0.3\overline{14}$（即$0.3141414...$）化为最简分数形式。

1. 将小数拆分为不循环部分和无穷循环部分：
2. $$0.3\overline{14} = 0.3 + 0.014 + 0.00014 + 0.0000014 + ...$$
3. 确定$a_1$和$r$：循环节有2位，因此$r = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$，循环级数的首项为$a_1 = 0.014 = \frac{14}{1000}$。
4. 计算循环部分的和：
5. $$S_{\text{repeat}} = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{14/1000}{99/100} = \frac{14}{990}$$
6. 通分后加上不循环部分：
7. $$0.3 = \frac{3}{10} = \frac{297}{990}, \quad \text{Total} = \frac{297 + 14}{990} = \frac{311}{990}$$
8. 311是质数，因此该分数已经是最简形式。

> **考试提示:** 要正确数出循环节的位数。两位循环节对应的公比一定是$r = 1/100$，数完后再检查一遍确认。

## 应用与练习

**例题:** 一个球从10米高处落下，每次反弹后能达到前一次高度的75%。求球静止前经过的总竖直距离是多少？答案需要包含单位。

1. 球第一次落地前先向下运动10米。每次反弹后，球上升到新高度再下落相同距离，因此第一次落地后的每一次反弹都会为总距离贡献两倍的高度。
2. 将总距离$D$写成无穷几何级数的形式：
3. $$D = 10 + 2\left(10 \cdot 0.75\right) + 2\left(10 \cdot 0.75^2\right) + 2\left(10 \cdot 0.75^3\right) + ...$$
4. 提取常数，得到标准几何级数：
5. $$D = 10 + 15 \sum_{n=0}^{\infty} (0.75)^n$$
6. 该无穷级数的$a=1, r=0.75$，因此它的和为：
7. $$\frac{1}{1 - 0.75} = 4$$
8. 计算总距离：
9. $$D = 10 + 15(4) = 70 \text{ 米}$$

**概念自测**

测试你对非标准起始下标的理解：

1. 下列哪一个是$\sum_{n=3}^{\infty} 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n$的和？

   - $\frac{1}{12}$
   - $-\frac{1}{12}$
   - $\frac{1}{6}$
   - $-\frac{1}{6}$

   *答案:* $-\frac{1}{6}$

   *解析:* 先检查收敛性：$|r| = 1/2 < 1$，因此级数收敛。$n=3$处的首项为$2(-1/2)^3 = -1/4$，因此$S = \frac{-1/4}{1 - (-1/2)} = -\frac{1}{6}$，对应选项D。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于$\sum_{n=1}^{\infty} 5 (1/2)^n$，你取$a_1 = 5$，得到和为$10$。
  - 原因: 你混淆了起始下标，即使起始下标处的指数不为零，也错误认为常数系数就是首项。
  - 正确做法: 一定要代入$n$的起始值显式计算首项，不要直接假设常数就是首项。
- **错误做法:** 对于$r=-0.9$的几何级数，你因为$-0.9 < 1$就判定级数发散。
  - 原因: 你忘记收敛条件使用的是$r$的绝对值，而不是$r$本身。
  - 正确做法: 检查收敛性时，无论$r$的符号是什么，都要先计算$|r|$。
- **错误做法:** 你把$\sum_{n=0}^{\infty} (5/4)^n$的和写成$1/(1 - 5/4) = -4$，并把这个结果作为最终答案。
  - 原因: 你记住了公式，但忘记公式仅在级数收敛时才成立。
  - 正确做法: 一定要先检查$|r| < 1$；如果$|r| \geq 1$，要说明级数发散，不存在有限和，不要套用公式。
- **错误做法:** 对于$\sum_{n=2}^{\infty} 3 (1/2)^n$，你用$n=0$开始的总和减去两倍首项，得到$n=2$开始的和。
  - 原因: 你错误地认为跳过前两项就是减去两倍的首项，而不是减去前两项各自的实际值。
  - 正确做法: 求从$n = k > 0$开始的几何级数的和时，要么显式重新编号得到新的首项，要么提取$r^k$得到正确的起始常数。
- **错误做法:** 转化$0.\overline{12}$时，你设$a_1 = 12$、$r=1/10$，最终得到的结果大于1。
  - 原因: 你忘记为循环级数的首项正确移动小数点。
  - 正确做法: 把循环部分的首项显式写成小数，或者使用公式$a_1 = \frac{\text{循环节}}{10^k}$，其中$k$是小数点后的位数。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 有限几何级数的和（从$n=0$开始，共$n$项） | $S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}, r \neq 1$ | 对任意$r \neq 1$都成立，无论无穷级数是否收敛 |
| 无穷几何级数的收敛性 | 收敛 $\iff \|r\| < 1$ | 若$\|r\| \geq 1$则发散，与$r$的符号无关 |
| 收敛无穷几何级数的和（从$n=0$开始） | $S = \frac{a_1}{1 - r}$ | $a_1$是级数的首项 |
| 从$n = k$开始的和 | $S = \frac{a_0 r^k}{1 - r}$ | $a_0$是$n=0$处的首项；提取$r^k$即可得到该式 |
| 循环小数$0.\overline{d}$（$d$是$k$位循环节） | $S = \frac{d}{10^k - 1}$ | 仅适用于循环节从小数点后第一位开始的情况 |
| 循环小数$0.a\overline{b}$（$a$是$m$位不循环部分，$b$是$n$位循环节） | $S = \frac{10^m a + b - a}{10^m(10^n - 1)}$ | $a, b$分别是不循环部分和循环节对应的整数 |
| 指数改写法则 | $\frac{c^{n + k}}{d^{n + m}} = c^k d^{-m} \left(\frac{c}{d}\right)^n$ | 分离常数以正确识别$r$ |
| 常数倍法则 | $\sum c a r^n = c \cdot \frac{a}{1 - r}$ | 和有限和一样，常数可以从收敛无穷和中提取出来 |

## 下一步

掌握几何级数是AP 微积分 BC 第10单元几乎所有其他内容的基础先修知识。你会用几何级数求幂级数的收敛区间，推导常见幂级数的闭型表达式，还会在比值检验等收敛判别法中用几何级数做比较。如果没有熟练掌握几何级数，在考试中想要掌握泰勒级数、幂级数积分等更高级内容会困难得多。

- [第n项发散判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-the-nth-term-test-for/)
- [积分收敛判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-integral-test-for-convergence/)
- [调和级数与p级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-harmonic-series-and-p-series/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-working-with-geometric-series/