第n项发散判别法

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Infinite Sequences and Series· 14 分钟阅读

1. 定义与核心用途★☆☆☆☆⏱ 3 min

第n项发散判别法（常简称为第n项判别法）是无穷级数敛散性判别最基础的第一步判别法，在AP微积分BC考试的选择题和自由作答题部分都经常考查，占总分的1-3%。它利用收敛的一个核心必要条件，在你应用更复杂、计算量更大的判别法之前，快速排除明显发散的级数。

📘 定义

第n项发散判别法

对于通项为 $a_{n}$ 的无穷级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ，若 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 不存在，或存在但不等于零，则级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 一定发散。该判别法只能判定发散，永远不能判定收敛。

Exam tip:

检查任何级数的敛散性时，一定要先应用第n项判别法。10秒的极限计算就能帮你在明显发散的级数上节省5分钟的无用计算。

2. 核心定理与内在逻辑★★☆☆☆⏱ 4 min

要理解第n项判别法的原理，我们从无穷级数收敛的定义出发：级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛当且仅当其部分和数列 $S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} a_{n}$ 在 $k \to \infty$ 时收敛到有限极限 $L$ 。根据部分和的定义，第k项通项可以写成：

a_k = S_k - S_{k-1}

若 $lim_{k \to \infty} S_{k} = L$ 且 $lim_{k \to \infty} S_{k - 1} = L$ ，我们对两边取极限可得：

\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} (S_k - S_{k-1}) = L - L = 0

这证明了对任何收敛级数，第n项的极限一定为零。这是收敛的必要条件——没有收敛级数不满足这个条件。第n项判别法就是该命题逻辑等价的逆否命题：若第n项的极限不为零，则级数不可能收敛，因此一定发散。这种逻辑等价性意味着只要应用正确，该判别法永远有效。

📐 例题

用第n项判别法判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n ^{2} + 5 n}{3 n ^{2} - 1}$ 是否发散。

1
1. 确定级数的通项： $a_{n} = \frac{2 n ^{2} + 5 n}{3 n ^{2} - 1}$ 。
2
1. 将分子分母同除以n的最高次幂 $n^{2}$ ，计算 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ ：
3
$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 5n}{3n^2 - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{n}}{3 - \frac{1}{n^2}}$
4
1. 当 $n \to \infty$ 时，含 $\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{n ^{2}}$ 的项趋近于0，因此极限化简为 $\frac{2}{3} \neq = 0$ 。
5
1. 由于 $lim_{n \to \infty} a_{n} \neq = 0$ ，根据第n项判别法，该级数发散。

Exam tip:

在使用任何其他敛散性判别法之前，一定要先计算第n项的极限。

3. 解读无结论的判别结果★★☆☆☆⏱ 4 min

第n项判别法最常考的点就是理解 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 的含义。在这种情况下，该判别法是无结论的——它无法告诉你级数是收敛还是发散。这是因为 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 是收敛的必要条件，但不是充分条件。换句话说，所有收敛级数都满足 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ，但不是所有满足 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 的级数都收敛。一个著名的例子是调和级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ：它的通项趋近于0，但级数发散。相比之下，p级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ 的通项也趋近于0，但它收敛。当极限为0时，你必须使用其他判别法（比如积分判别法或比较判别法）来确定敛散性。

📐 例题

一名学生声称，由于 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ，因此级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 一定收敛。该学生是否正确？用第n项判别法证明你的答案。

1
1. 首先，确认学生的极限计算： $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ，这个计算是代数正确的。
2
1. 回顾第n项判别法的适用范围：该判别法仅在第n项极限非零或不存在时判定发散。当极限等于0时，判别法无结论，不能用于判定收敛。
3
1. 虽然我们需要p级数判别法来确认该级数发散（它是 $p = 1/2 < 1$ 的p级数），但即使极限为0，第n项判别法也不能证明收敛。
4
1. 结论：该学生的说法错误，因为根据第n项判别法，极限为零不能保证收敛。

Exam tip:

在FRQ的证明过程中，永远不要写'级数收敛因为 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ '——这一定会失分。

4. 不存在的极限与发散性★★★☆☆⏱ 3 min

很多学生忘记第n项判别法不仅适用于极限存在且非零的情况，也适用于 $n \to \infty$ 时 $a_{n}$ 的极限不存在（DNE）的情况。常见的情况包括不趋近于单一固定值的振荡数列，以及无限增长的无界数列。在这两种情况下， $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 都不成立，因此收敛的必要条件不满足，级数发散。这是一个直接的应用，但只关注有限非零极限的学生经常遗漏这一点。

📐 例题

用第n项判别法判断级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} cos (\frac{nπ}{2})$ 是否发散。

1
1. 写出 $a_{n} = cos (\frac{nπ}{2})$ 的前几项来观察它的行为： $a_{1} = 0$ , $a_{2} = - 1$ , $a_{3} = 0$ , $a_{4} = 1$ , $a_{5} = 0$ , $a_{6} = - 1$ ，依此类推。
2
1. 计算 $n \to \infty$ 时的极限： $a_{n}$ 在 $- 1$ 、 $0$ 和 $1$ 之间无限振荡，永远不趋近于单一固定极限。因此， $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 不存在。
3
1. 第n项判别法指出，若第n项的极限不存在，则收敛的必要条件不成立，因此级数一定发散。
4
1. 结论：根据第n项判别法， $\sum_{n = 1}^{\infty} cos (\frac{nπ}{2})$ 发散。

Exam tip:

下结论前一定要先检查极限是否存在。振荡或无界的通项总会导致发散，即使有无穷多个项等于零也是如此。

5. AP风格练习题解析★★★☆☆⏱ 4 min

📐 例题

选择题：以下哪个级数根据第n项发散判别法发散？

I. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5 n}{n ^{2} + 1}$ II. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} 3 n}{2 n + 7}$ III. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{3/2}}$

(A) II only (B) I and II only (C) II and III only (D) I, II, and III

1
分别计算每个级数第n项的极限：对于I， $lim_{n \to \infty} \frac{5 n}{n ^{2} + 1} = 0$ ，因此第n项判别法无结论，I不是通过该判别法判定发散的。
2
对于II， $lim_{n \to \infty} \frac{( - 1 ) ^{n} 3 n}{2 n + 7}$ 不存在（它在 $- 3/2$ 和 $3/2$ 之间振荡），因此II根据第n项判别法发散。
3
对于III， $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{3/2}} = 0$ ，因此判别法无结论，III不是通过该判别法判定发散的。
4
只有II根据第n项判别法发散。正确答案是**(A)**。

📐 例题

自由作答题：考虑无穷级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ，其中 $a_{n} = \frac{n ^{2} - 4 n + 10}{2 n ^{2} - n + 3}$ 。

(a) 计算 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 。 (b) 第n项发散判别法能告诉你关于该级数的什么结论？ (c) 第n项判别法能告诉你关于 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{a _{n}}$ 敛散性的任何结论吗？证明你的答案。

1
(a) 将分子分母同除以 $n^{2}$ 计算极限：
2
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 4n + 10}{2n^2 - n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{n} + \frac{10}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}} = \frac{1}{2}$
3
因此 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{1}{2}$ 。
4
(b) 根据第n项判别法，由于 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{1}{2} \neq = 0$ ，因此级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 发散。
5
(c) 计算新通项的极限： $lim_{n \to \infty} \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{1/2} = 2 \neq = 0$ 。根据第n项判别法，非零极限可以判定发散，因此答案是可以，第n项判别法可以确认 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{a _{n}}$ 发散。

📐 例题

实际应用：一位城市规划师用无穷级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} Δ H_{n}$ 模拟增长城市中家庭数量的年度净变化，其中 $Δ H_{n} = 1200 \cdot \frac{0. 8 ^{n} + 1. 2 ^{n}}{1. 2 ^{n}}$ 是模型启动后第n年的家庭净变化（单位：户）。根据该模型，长期新增家庭总数会趋近于有限极限吗？用第n项判别法证明你的答案。

1
首先化简通项：
2
$\Delta H_n = 1200 \left( \frac{0.8^n}{1.2^n} + \frac{1.2^n}{1.2^n} \right) = 1200 \left( \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1 \right)$
3
计算 $n \to \infty$ 时的极限： $(\frac{2}{3})^{n} \to 0$ ，因此 $lim_{n \to \infty} Δ H_{n} = 1200 (0 + 1) = 1200$ ，不为零。
4
根据第n项判别法，级数发散，意味着家庭总数会无限增长。根据该模型，长期新增家庭总数不会趋近于有限极限——它会每年持续净增长1200户。

6. 常见陷阱

错误做法:

因为 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 就判定级数收敛

原因:

学生将收敛的必要条件与充分条件混淆，因为第n项判别法是他们学到的第一个敛散性判别法。

正确做法:

当得到 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 时，明确说明第n项判别法无结论，然后使用另一个敛散性判别法确定敛散性。

错误做法:

将第n项判别法应用于部分和数列，而非级数的通项

原因:

学生混淆级数和部分和的定义，尤其是在考查部分和行为的考试题目中。

正确做法:

应用第n项判别法时，一定要确认你计算的是单个通项 $a_{n}$ 的极限，而非部分和 $S_{n}$ 的极限。

错误做法:

当n很大时将 $a_{n}$ 的极限近似为'近似为零'，在实际极限非零的情况下得出判别法无结论的结论

原因:

学生将大有限n下 $a_{n}$ 的小数值与 $n \to \infty$ 时的极限零混淆。

正确做法:

一定要通过代数计算精确极限，不要依赖单个项的近似值。任何非零极限，无论多小，都意味着级数发散。

错误做法:

声称因为 $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \neq = 1$ 所以级数发散，并错误将其归为第n项判别法的结论

原因:

学生在本单元初学阶段将第n项判别法与比值判别法混淆。

正确做法:

理清判别法名称：第n项判别法检验 $a_{n}$ 的极限，而非相邻项的比值。如果你使用比值判别法，要正确命名它。

错误做法:

忽略极限不存在的事实，因为振荡数列有些项是零就强行得出'无结论'的结论

原因:

学生看到偶尔有零项，就错误假设极限是零。

正确做法:

如果数列 $a_{n}$ 在非零值之间振荡或无限增长，极限就不存在，根据第n项判别法可立即得出级数发散。

7. 速查表

类别	表述/公式	要点
第n项判别法核心表述	对于 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ，若 $lim_{n \to \infty} a_{n} \neq = 0$ 或 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 不存在，则 $\sum a_{n}$ 发散	仅能证明发散；绝不能用来证明收敛
收敛的必要条件	若 $\sum a_{n}$ 收敛，则 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$	对所有收敛级数恒成立，没有例外
无结论结果	若 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ，判别法无结论	级数可能收敛也可能发散；需使用其他判别法
极限不存在规则	振荡/无界 $a_{n}$ 意味着 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 不存在	极限不存在永远意味着发散
无结论例子1	$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ , $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$	级数发散，是典型的无结论结果
无结论例子2	$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ , $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{2}} = 0$	级数收敛，是无结论结果的第二个例子
第一步规则	永远先应用第n项判别法	在使用复杂判别法前，节省处理明显发散级数的时间

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · BC MCQ
通过第n项判别法识别发散级数
2019 · BC FRQ
用第n项判别法证明结论

下一步

第n项判别法是无穷级数敛散性判别的基础第一步判别法，也是你接下来学习所有其他敛散性判别法的必要前提。每次你判断级数敛散性时，都会先应用这个判别法排除明显的发散，再进入计算量更大的方法。如果不掌握第n项判别法的逻辑和它的局限性，你在FRQ证明中几乎一定会失分，因为AP阅卷官经常会扣分，当考生错误声称极限为零就保证收敛时。这个判别法为所有后续无穷级数的学习打下基础，因此掌握它的适用范围和局限性对AP微积分BC考试的成功至关重要。查看下方后续资源，继续学习级数敛散性：