# 第n项发散判别法

> AP 微积分 BC · 无穷数列与级数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-the-nth-term-test-for/

本指南介绍第n项发散判别法的正式表述、内在逻辑与分步应用，它是任何无穷级数敛散性判别时首先使用的方法。你将学习如何解读结果，规避考试中常考的常见误区。

**先修:** 如何计算数列在无穷远处的极限; 无穷级数收敛的定义; 通项的基础代数变形

## 学习目标

- 陈述第n项发散判别法的正式表述
- 应用该判别法正确识别发散级数
- 解读第n项极限为零时的无结论结果
- 识别第n项极限不存在时的发散性
- 规避考试中关于该判别法适用范围的常见误区

## 定义与核心用途

第n项发散判别法（常简称为第n项判别法）是无穷级数敛散性判别最基础的第一步判别法，在AP微积分BC考试的选择题和自由作答题部分都经常考查，占总分的1-3%。它利用收敛的一个核心必要条件，在你应用更复杂、计算量更大的判别法之前，快速排除明显发散的级数。

**第n项发散判别法** — 对于通项为$a_n$的无穷级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，若$\lim_{n \to \infty} a_n$不存在，或存在但不等于零，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$一定发散。该判别法只能判定发散，永远不能判定收敛。

> **考试提示:** 检查任何级数的敛散性时，一定要先应用第n项判别法。10秒的极限计算就能帮你在明显发散的级数上节省5分钟的无用计算。

## 核心定理与内在逻辑

要理解第n项判别法的原理，我们从无穷级数收敛的定义出发：级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛当且仅当其部分和数列$S_k = \sum_{n=1}^k a_n$在$k \to \infty$时收敛到有限极限$L$。根据部分和的定义，第k项通项可以写成：

$$a_k = S_k - S_{k-1}$$

若$\lim_{k \to \infty} S_k = L$且$\lim_{k \to \infty} S_{k-1} = L$，我们对两边取极限可得：

$$\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} (S_k - S_{k-1}) = L - L = 0$$

这证明了对任何收敛级数，第n项的极限一定为零。这是收敛的*必要条件*——没有收敛级数不满足这个条件。第n项判别法就是该命题逻辑等价的逆否命题：若第n项的极限不为零，则级数不可能收敛，因此一定发散。这种逻辑等价性意味着只要应用正确，该判别法永远有效。

**例题:** 用第n项判别法判断$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2 + 5n}{3n^2 - 1}$是否发散。

1. 1. 确定级数的通项：$a_n = \frac{2n^2 + 5n}{3n^2 - 1}$。
2. 2. 将分子分母同除以n的最高次幂$n^2$，计算$\lim_{n \to \infty} a_n$：
3. $$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 5n}{3n^2 - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{n}}{3 - \frac{1}{n^2}}$$
4. 3. 当$n \to \infty$时，含$\frac{1}{n}$和$\frac{1}{n^2}$的项趋近于0，因此极限化简为$\frac{2}{3} \neq 0$。
5. 4. 由于$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，根据第n项判别法，该级数发散。

> **考试提示:** 在使用任何其他敛散性判别法之前，一定要先计算第n项的极限。

## 解读无结论的判别结果

第n项判别法最常考的点就是理解$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$的含义。在这种情况下，该判别法是*无结论的*——它无法告诉你级数是收敛还是发散。这是因为$\lim_{n \to \infty} a_n =0$是收敛的必要条件，但不是充分条件。换句话说，所有收敛级数都满足$\lim_{n \to \infty} a_n =0$，但不是所有满足$\lim_{n \to \infty} a_n =0$的级数都收敛。一个著名的例子是调和级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$：它的通项趋近于0，但级数发散。相比之下，p级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的通项也趋近于0，但它收敛。当极限为0时，你必须使用其他判别法（比如积分判别法或比较判别法）来确定敛散性。

**例题:** 一名学生声称，由于$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$，因此级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$一定收敛。该学生是否正确？用第n项判别法证明你的答案。

1. 1. 首先，确认学生的极限计算：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$，这个计算是代数正确的。
2. 2. 回顾第n项判别法的适用范围：该判别法仅在第n项极限非零或不存在时判定发散。当极限等于0时，判别法无结论，不能用于判定收敛。
3. 3. 虽然我们需要p级数判别法来确认该级数发散（它是$p = 1/2 < 1$的p级数），但即使极限为0，第n项判别法也不能证明收敛。
4. 4. 结论：该学生的说法错误，因为根据第n项判别法，极限为零不能保证收敛。

> **考试提示:** 在FRQ的证明过程中，永远不要写'级数收敛因为$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$'——这一定会失分。

## 不存在的极限与发散性

很多学生忘记第n项判别法不仅适用于极限存在且非零的情况，也适用于$n \to \infty$时$a_n$的极限不存在（DNE）的情况。常见的情况包括不趋近于单一固定值的振荡数列，以及无限增长的无界数列。在这两种情况下，$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$都不成立，因此收敛的必要条件不满足，级数发散。这是一个直接的应用，但只关注有限非零极限的学生经常遗漏这一点。

**例题:** 用第n项判别法判断级数$\sum_{n=1}^{\infty} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$是否发散。

1. 1. 写出$a_n = \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$的前几项来观察它的行为：$a_1 = 0$, $a_2 = -1$, $a_3 = 0$, $a_4 = 1$, $a_5 = 0$, $a_6 = -1$，依此类推。
2. 2. 计算$n \to \infty$时的极限：$a_n$在$-1$、$0$和$1$之间无限振荡，永远不趋近于单一固定极限。因此，$\lim_{n \to \infty} a_n$不存在。
3. 3. 第n项判别法指出，若第n项的极限不存在，则收敛的必要条件不成立，因此级数一定发散。
4. 4. 结论：根据第n项判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$发散。

> **考试提示:** 下结论前一定要先检查极限是否存在。振荡或无界的通项总会导致发散，即使有无穷多个项等于零也是如此。

## AP风格练习题解析

**例题:** **选择题**：以下哪个级数*根据第n项发散判别法*发散？

I. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n}{n^2 + 1}$
II. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3n}{2n + 7}$
III. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$

(A) II only
(B) I and II only
(C) II and III only
(D) I, II, and III

1. 分别计算每个级数第n项的极限：对于I，$\lim_{n \to \infty} \frac{5n}{n^2 + 1} = 0$，因此第n项判别法无结论，I不是通过该判别法判定发散的。
2. 对于II，$\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n 3n}{2n +7}$不存在（它在$-3/2$和$3/2$之间振荡），因此II根据第n项判别法发散。
3. 对于III，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3/2}} = 0$，因此判别法无结论，III不是通过该判别法判定发散的。
4. 只有II根据第n项判别法发散。正确答案是**(A)**。

**例题:** **自由作答题**：考虑无穷级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，其中$a_n = \frac{n^2 - 4n + 10}{2n^2 - n + 3}$。

(a) 计算$\lim_{n \to \infty} a_n$。
(b) 第n项发散判别法能告诉你关于该级数的什么结论？
(c) 第n项判别法能告诉你关于$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$敛散性的任何结论吗？证明你的答案。

1. (a) 将分子分母同除以$n^2$计算极限：
2. $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 4n + 10}{2n^2 - n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{n} + \frac{10}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}} = \frac{1}{2}$$
3. 因此$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2}$。
4. (b) 根据第n项判别法，由于$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2} \neq 0$，因此级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$发散。
5. (c) 计算新通项的极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{1/2} = 2 \neq 0$。根据第n项判别法，非零极限可以判定发散，因此答案是可以，第n项判别法可以确认$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$发散。

**例题:** **实际应用**：一位城市规划师用无穷级数$\sum_{n=0}^{\infty} \Delta H_n$模拟增长城市中家庭数量的年度净变化，其中$\Delta H_n = 1200 \cdot \frac{0.8^n + 1.2^n}{1.2^n}$是模型启动后第n年的家庭净变化（单位：户）。根据该模型，长期新增家庭总数会趋近于有限极限吗？用第n项判别法证明你的答案。

1. 首先化简通项：
2. $$\Delta H_n = 1200 \left( \frac{0.8^n}{1.2^n} + \frac{1.2^n}{1.2^n} \right) = 1200 \left( \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1 \right)$$
3. 计算$n \to \infty$时的极限：$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$，因此$\lim_{n \to \infty} \Delta H_n = 1200(0 + 1) = 1200$，不为零。
4. 根据第n项判别法，级数发散，意味着家庭总数会无限增长。根据该模型，长期新增家庭总数不会趋近于有限极限——它会每年持续净增长1200户。

## 常见错误

- **错误做法:** 因为$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$就判定级数收敛
  - 原因: 学生将收敛的必要条件与充分条件混淆，因为第n项判别法是他们学到的第一个敛散性判别法。
  - 正确做法: 当得到$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$时，明确说明第n项判别法无结论，然后使用另一个敛散性判别法确定敛散性。
- **错误做法:** 将第n项判别法应用于部分和数列，而非级数的通项
  - 原因: 学生混淆级数和部分和的定义，尤其是在考查部分和行为的考试题目中。
  - 正确做法: 应用第n项判别法时，一定要确认你计算的是单个通项$a_n$的极限，而非部分和$S_n$的极限。
- **错误做法:** 当n很大时将$a_n$的极限近似为'近似为零'，在实际极限非零的情况下得出判别法无结论的结论
  - 原因: 学生将大有限n下$a_n$的小数值与$n \to \infty$时的极限零混淆。
  - 正确做法: 一定要通过代数计算精确极限，不要依赖单个项的近似值。任何非零极限，无论多小，都意味着级数发散。
- **错误做法:** 声称因为$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \neq 1$所以级数发散，并错误将其归为第n项判别法的结论
  - 原因: 学生在本单元初学阶段将第n项判别法与比值判别法混淆。
  - 正确做法: 理清判别法名称：第n项判别法检验$a_n$的极限，而非相邻项的比值。如果你使用比值判别法，要正确命名它。
- **错误做法:** 忽略极限不存在的事实，因为振荡数列有些项是零就强行得出'无结论'的结论
  - 原因: 学生看到偶尔有零项，就错误假设极限是零。
  - 正确做法: 如果数列$a_n$在非零值之间振荡或无限增长，极限就不存在，根据第n项判别法可立即得出级数发散。

## 速查表

| 类别 | 表述/公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 第n项判别法核心表述 | 对于$\sum_{n=1}^\infty a_n$，若$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ *或* $\lim_{n \to \infty} a_n$不存在，则$\sum a_n$发散 | 仅能证明发散；绝不能用来证明收敛 |
| 收敛的必要条件 | 若$\sum a_n$收敛，则$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ | 对所有收敛级数恒成立，没有例外 |
| 无结论结果 | 若$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，判别法无结论 | 级数可能收敛也可能发散；需使用其他判别法 |
| 极限不存在规则 | 振荡/无界$a_n$意味着$\lim_{n \to \infty} a_n$不存在 | 极限不存在永远意味着发散 |
| 无结论例子1 | $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ | 级数发散，是典型的无结论结果 |
| 无结论例子2 | $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$ | 级数收敛，是无结论结果的第二个例子 |
| 第一步规则 | 永远先应用第n项判别法 | 在使用复杂判别法前，节省处理明显发散级数的时间 |

## 下一步

第n项判别法是无穷级数敛散性判别的基础第一步判别法，也是你接下来学习所有其他敛散性判别法的必要前提。每次你判断级数敛散性时，都会先应用这个判别法排除明显的发散，再进入计算量更大的方法。如果不掌握第n项判别法的逻辑和它的局限性，你在FRQ证明中几乎一定会失分，因为AP阅卷官经常会扣分，当考生错误声称极限为零就保证收敛时。这个判别法为所有后续无穷级数的学习打下基础，因此掌握它的适用范围和局限性对AP微积分BC考试的成功至关重要。查看下方后续资源，继续学习级数敛散性：

- [积分收敛判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-integral-test-for-convergence/)
- [调和级数与p级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-harmonic-series-and-p-series/)
- [收敛的比较判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-comparison-tests-for-convergence/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-the-nth-term-test-for/