将函数表示为幂级数

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 无穷序列与级数· 14 分钟阅读

1. 几何幂级数表示法★★☆☆☆⏱ 4 min

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所有幂级数表示的基础是你已经知道的无穷几何级数公式。当 $∣ r ∣ < 1$ 时，无穷级数的和为 $\sum_{n = 0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1 - r}$ 。如果令 $r = g (x)$ ，我们就可以将任何改写成 $\frac{1}{1 - g ( x )}$ 形式的有理函数直接写为幂级数，收敛条件为 $∣ g (x) ∣ < 1$ 。

📘 定义

几何幂级数表示法

由无穷几何级数公式构造得到的幂级数，用于可写为 $\frac{c}{1 - g ( x )}$ 形式（中心在 $a$ 点）的函数，其中 $g (x)$ 是关于 $(x - a)$ 的一次函数。

例:

中心在0点的 $f (x) = \frac{4}{3 - x}$

📐 例题

求中心在 $a = 0$ 处 $f (x) = \frac{4}{3 - x}$ 的幂级数表示，并写出它的收敛区间。

1
从分母中提取常数，改写分母以匹配 $\frac{1}{1 - r}$ 的形式：
$frac{4}{3left(1 - frac{x}{3}right)} = frac{4}{3} cdot frac{1}{1 - frac{x}{3}}$
2
这里 $r = \frac{x}{3}$ 。应用几何级数公式，收敛条件为 $\frac{x}{3} < 1$ ：
$frac{1}{1 - frac{x}{3}} = sum_{n=0}^infty left(frac{x}{3}right)^n$
3
提取常数因子并化简通项：
$f(x) = frac{4}{3} sum_{n=0}^infty frac{x^n}{3^n} = sum_{n=0}^infty frac{4}{3^{n+1}} x^n$
4
检查端点处的收敛性：在 $x = 3$ 处，级数变为 $\sum \frac{4}{3}$ ，由第n项判别法可知发散。在 $x = - 3$ 处，级数变为 $\sum \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{3}$ ，同样发散。最终收敛区间为：
$(-3, 3)$

Exam tip:

始终先改写分母，使常数项为1，匹配 $1 - r$ 的形式。如果因式分解错误，你会得到级数每一项都错误的系数。

2. 幂级数的逐项求导★★★☆☆⏱ 4 min

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在收敛区间内（端点可能除外），幂级数可以像有限多项式一样逐项求导。这个性质让我们可以从已知的表示形式构造新的幂级数。如果 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，那么导数的收敛半径相同，但你必须重新检查端点处的收敛性。

f'(x) = sum_{n=1}^infty n c_n (x-a)^{n-1}

📐 例题

利用求导法，求中心在 $a = 0$ 处 $f (x) = \frac{2 x}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}}$ 的幂级数表示。

1
从 $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ 的已知几何级数开始：
$frac{1}{1 - x^2} = sum_{n=0}^infty (x^2)^n = sum_{n=0}^infty x^{2n}, quad |x| < 1$
2
注意到 $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ 的导数正好是我们要求的目标函数。逐项求导：
$frac{d}{dx}left(frac{1}{1-x^2}right) = sum_{n=0}^infty frac{d}{dx}left(x^{2n}right) = sum_{n=1}^infty 2n x^{2n - 1}$
3
收敛半径和原级数相同，仍为 $R = 1$ 。检查端点：在 $x = 1$ 和 $x = - 1$ 处，第n项都不趋近于零，因此级数在两个端点都发散。最终结果：
$f(x) = sum_{n=1}^infty 2n x^{2n-1}, quad (-1, 1)$

Exam tip:

对幂级数求导时，常数项会消失，因此起始下标总是从 $n = 0$ 变为 $n = 1$ 。忘记调整起始下标是选择题中常见的陷阱选项。

3. 幂级数的逐项积分★★★☆☆⏱ 4 min

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和求导一样，幂级数可以在收敛区间内逐项积分。这是一种非常有用的技巧，可以用来求有理函数积分得到的超越函数（如 $ln (1 + x)$ 和 $arctan x$ ）的幂级数。

int f(x) dx = C + sum_{n=0}^infty frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}

收敛半径和原级数相同，但你必须重新检查端点处的收敛性。积分常数 $C$ 可以通过将 $x = a$ （级数的中心）代入函数得到。

📐 例题

求 $f (x) = ln (1 + 3 x)$ 的麦克劳林幂级数，并写出它的收敛区间。

1
首先，注意到 $f^{'} (x) = \frac{3}{1 + 3 x}$ ，可以写成几何级数：
$frac{3}{1 + 3x} = 3 cdot frac{1}{1 - (-3x)} = sum_{n=0}^infty (-1)^n 3^{n+1} x^n$
2
该级数收敛条件为 $∣ - 3 x ∣ < 1$ ，即 $∣ x ∣ < \frac{1}{3}$ 。逐项积分：
$ln(1+3x) = int frac{3}{1+3x} dx = C + sum_{n=0}^infty (-1)^n 3^{n+1} cdot frac{x^{n+1}}{n+1}$
3
代入 $x = 0$ 求 $C$ ： $ln (1 + 0) = 0 = C$ ，因此 $C = 0$ 。重新标索引以化简：
$ln(1+3x) = sum_{n=1}^infty frac{(-1)^{n+1} 3^n x^n}{n}$
4
检查端点：在 $x = \frac{1}{3}$ 处，交错调和级数收敛。在 $x = - \frac{1}{3}$ 处，级数变为负调和级数，发散。最终区间：
$left(-frac{1}{3}, frac{1}{3}right]$

Exam tip:

对幂级数积分时，不要忘记求解积分常数 $C$ 。对于中心在0点的麦克劳林级数， $C = f (0)$ ，对于 $ln (1 + x)$ 或 $arctan x$ 这类常见函数，C几乎总是0。

4. AP风格概念检测★★★★☆⏱ 2 min

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✓ 快速检测

回答这道AP风格的选择题，检验你的理解：

以下哪一项是 $f (x) = \frac{x ^{2}}{1 + 4 x}$ 的麦克劳林级数中 $x^{5}$ 的系数？
- -64
- -16
- 16
- 64
显示答案
-64 —
将 $\frac{1}{1 + 4 x}$ 改写为 $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 4)^{n} x^{n}$ ，乘以 $x^{2}$ 得到 $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 4)^{n} x^{n + 2}$ 。令 $n + 2 = 5$ ，得 $n = 3$ ，因此系数为 $(- 4)^{3} = - 64$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

对幂级数求导或积分后，忘记检查端点处的收敛性

原因:

学生知道收敛半径保持不变，因此错误地认为整个收敛区间都不变，但端点处的收敛性可能发生变化。

正确做法:

求出收敛半径后，始终用收敛判别法检验两个端点，如果收敛就将其加入收敛区间。

错误做法:

将 $\frac{1}{1 + x}$ 的幂级数写为 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ ，而非正确的 $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{n}$

原因:

学生错误识别几何级数公式中的 $r$ ，忘记分母形式是 $1 - r$ ，因此 $+ x$ 意味着 $r = - x$ 。

正确做法:

写出级数前，始终将分母显式改写为 $1 - (某个项)$ 的形式，即 $\frac{1}{1 + x} = \frac{1}{1 - ( - x )}$ 。

错误做法:

求导或积分后重新标索引错误，导致 $n = 0$ 时出现除以零（例如将 $\int \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} d x$ 写为 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ ）

原因:

学生在移动级数起始下标时，换元过程过于仓促出错。

正确做法:

重新标索引后，写出原级数和新级数的前2-3项，确认它们匹配。

错误做法:

分解分母时，错误提取常数到级数外（例如将 $\frac{3}{2 - x}$ 改写为 $3 \sum (\frac{x}{2})^{n}$ ，而非正确的 $\frac{3}{2} \sum (\frac{x}{2})^{n}$ ）

原因:

学生忘记从分母分解出常数后，它的倒数会留在分数外面。

正确做法:

始终分步分解： $\frac{A}{B - C x} = \frac{A}{B ( 1 - \frac{C x}{B} )} = \frac{A}{B} \cdot \frac{1}{1 - \frac{C x}{B}}$ 。

错误做法:

对 $x^{n}$ 求导/积分时，连系数 $c_{n}$ 也一起求导/积分

原因:

学生将求导变量 $x$ 和下标 $n$ 混淆，因此不必要地修改了系数。

正确做法:

记住系数 $c_{n}$ 关于 $x$ 是常数，因此求导或积分时保持不变。

6. 速查表

类别	公式	说明
几何幂级数	$\frac{1}{1 - r} = \sum_{n = 0}^{\infty} r^{n}$	仅当 $∣ r ∣ < 1$ 时收敛； $r$ 可以是任意x的函数
逐项求导	If $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$ , then $f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} (x - a)^{n - 1}$	和原级数收敛半径相同；必须检查端点
逐项积分	If $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$ , then $\int f (x) d x = C + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c _{n}}{n + 1} (x - a)^{n + 1}$	和原级数收敛半径相同；中心为a时 $C = f (a)$
$\frac{1}{1 + x}$ (麦克劳林)	$\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{n}$	收敛区间为 $(- 1, 1)$
$\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ (麦克劳林)	$\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n}$	$\frac{1}{1 - x}$ 的导数，收敛区间 $(- 1, 1)$
$ln (1 + x)$ (麦克劳林)	$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1} x ^{n}}{n}$	$\frac{1}{1 + x}$ 的积分，收敛区间 $(- 1, 1]$
$arctan x$ (麦克劳林)	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 的积分，收敛区间 $[- 1, 1]$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求级数中 $x^{5}$ 的系数
2022 · FRQ
通过积分求反正切级数

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official syllabusAP Calculus BC CED美国大学理事会官方课程描述

下一步

本主题为你学习AP微积分BC第10单元的下一个主要主题——泰勒级数和麦克劳林级数，打下了核心基础。通过几何级数、逐项求导和逐项积分将函数表示为幂级数，你无需从头计算每阶导数就能构造常见函数的级数，这能在AP考试中节省大量时间，避免计算错误。如果不掌握这里的技巧，你会很难构造复合函数或相关函数的泰勒级数，也会让自由问答题中常见的近似问题比必要难度难得多。本主题也是非初等函数积分的基础，这是AP考试中经常考察的应用。