# 将函数表示为幂级数

> AP 微积分 BC · 无穷序列与级数（第10单元）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-representing-functions-as-power-series/

本子主题讲解如何利用几何级数、逐项求导/逐项积分，将有理函数和超越函数表示为幂级数。你还将学习如何求新表示形式的收敛区间。

**先修:** [幂级数的收敛区间](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-power-series-interval-convergence/); 级数收敛性判定; 多项式的基本求导与积分; 无穷几何级数的收敛法则

## 学习目标

- 利用几何级数公式将有理函数表示为幂级数
- 对幂级数逐项求导和逐项积分以得到新的表示形式
- 求新幂级数表示形式的收敛区间
- 将这些方法应用于常见超越函数

## 几何幂级数表示法

所有幂级数表示的基础是你已经知道的无穷几何级数公式。当$|r| < 1$时，无穷级数的和为$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$。如果令$r = g(x)$，我们就可以将任何改写成$\frac{1}{1-g(x)}$形式的有理函数直接写为幂级数，收敛条件为$|g(x)| < 1$。

**几何幂级数表示法** — 由无穷几何级数公式构造得到的幂级数，用于可写为$\frac{c}{1 - g(x)}$形式（中心在$a$点）的函数，其中$g(x)$是关于$(x-a)$的一次函数。

*例:* 中心在0点的$f(x) = \frac{4}{3-x}$

**例题:** 求中心在$a=0$处$f(x) = \frac{4}{3 - x}$的幂级数表示，并写出它的收敛区间。

1. 从分母中提取常数，改写分母以匹配$\frac{1}{1-r}$的形式：

   $$frac{4}{3left(1 - frac{x}{3}right)} = frac{4}{3} cdot frac{1}{1 - frac{x}{3}}$$
2. 这里$r = \frac{x}{3}$。应用几何级数公式，收敛条件为$\left|\frac{x}{3}\right| < 1$：

   $$frac{1}{1 - frac{x}{3}} = sum_{n=0}^infty left(frac{x}{3}right)^n$$
3. 提取常数因子并化简通项：

   $$f(x) = frac{4}{3} sum_{n=0}^infty frac{x^n}{3^n} = sum_{n=0}^infty frac{4}{3^{n+1}} x^n$$
4. 检查端点处的收敛性：在$x=3$处，级数变为$\sum \frac{4}{3}$，由第n项判别法可知发散。在$x=-3$处，级数变为$\sum \frac{4(-1)^n}{3}$，同样发散。最终收敛区间为：

   $$(-3, 3)$$

> **考试提示:** 始终先改写分母，使常数项为1，匹配$1-r$的形式。如果因式分解错误，你会得到级数每一项都错误的系数。

*计算器:* forbidden

## 幂级数的逐项求导

在收敛区间内（端点可能除外），幂级数可以像有限多项式一样逐项求导。这个性质让我们可以从已知的表示形式构造新的幂级数。如果$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$的收敛半径为$R$，那么导数的收敛半径相同，但你必须重新检查端点处的收敛性。

$$f'(x) = sum_{n=1}^infty n c_n (x-a)^{n-1}$$

**例题:** 利用求导法，求中心在$a=0$处$f(x) = \frac{2x}{(1 - x^2)^2}$的幂级数表示。

1. 从$\frac{1}{1 - x^2}$的已知几何级数开始：

   $$frac{1}{1 - x^2} = sum_{n=0}^infty (x^2)^n = sum_{n=0}^infty x^{2n}, quad |x| < 1$$
2. 注意到$\frac{1}{1-x^2}$的导数正好是我们要求的目标函数。逐项求导：

   $$frac{d}{dx}left(frac{1}{1-x^2}right) = sum_{n=0}^infty frac{d}{dx}left(x^{2n}right) = sum_{n=1}^infty 2n x^{2n - 1}$$
3. 收敛半径和原级数相同，仍为$R=1$。检查端点：在$x=1$和$x=-1$处，第n项都不趋近于零，因此级数在两个端点都发散。最终结果：

   $$f(x) = sum_{n=1}^infty 2n x^{2n-1}, quad (-1, 1)$$

> **考试提示:** 对幂级数求导时，常数项会消失，因此起始下标总是从$n=0$变为$n=1$。忘记调整起始下标是选择题中常见的陷阱选项。

*计算器:* forbidden

## 幂级数的逐项积分

和求导一样，幂级数可以在收敛区间内逐项积分。这是一种非常有用的技巧，可以用来求有理函数积分得到的超越函数（如$\ln(1+x)$和$\arctan x$）的幂级数。

$$int f(x) dx = C + sum_{n=0}^infty frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$$

收敛半径和原级数相同，但你必须重新检查端点处的收敛性。积分常数$C$可以通过将$x=a$（级数的中心）代入函数得到。

**例题:** 求$f(x) = \ln(1 + 3x)$的麦克劳林幂级数，并写出它的收敛区间。

1. 首先，注意到$f'(x) = \frac{3}{1 + 3x}$，可以写成几何级数：

   $$frac{3}{1 + 3x} = 3 cdot frac{1}{1 - (-3x)} = sum_{n=0}^infty (-1)^n 3^{n+1} x^n$$
2. 该级数收敛条件为$|-3x| < 1$，即$|x| < \frac{1}{3}$。逐项积分：

   $$ln(1+3x) = int frac{3}{1+3x} dx = C + sum_{n=0}^infty (-1)^n 3^{n+1} cdot frac{x^{n+1}}{n+1}$$
3. 代入$x=0$求$C$：$\ln(1 + 0) = 0 = C$，因此$C=0$。重新标索引以化简：

   $$ln(1+3x) = sum_{n=1}^infty frac{(-1)^{n+1} 3^n x^n}{n}$$
4. 检查端点：在$x=\frac{1}{3}$处，交错调和级数收敛。在$x=-\frac{1}{3}$处，级数变为负调和级数，发散。最终区间：

   $$left(-frac{1}{3}, frac{1}{3}right]$$

> **考试提示:** 对幂级数积分时，不要忘记求解积分常数$C$。对于中心在0点的麦克劳林级数，$C = f(0)$，对于$\ln(1+x)$或$\arctan x$这类常见函数，C几乎总是0。

*计算器:* forbidden

## AP风格概念检测

**概念自测**

回答这道AP风格的选择题，检验你的理解：

1. 以下哪一项是$f(x) = \frac{x^2}{1 + 4x}$的麦克劳林级数中$x^5$的系数？

   - -64
   - -16
   - 16
   - 64

   *解析:* 将$\frac{1}{1+4x}$改写为$\sum_{n=0}^\infty (-4)^n x^n$，乘以$x^2$得到$\sum_{n=0}^\infty (-4)^n x^{n+2}$。令$n+2=5$，得$n=3$，因此系数为$(-4)^3 = -64$。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 对幂级数求导或积分后，忘记检查端点处的收敛性
  - 原因: 学生知道收敛半径保持不变，因此错误地认为整个收敛区间都不变，但端点处的收敛性可能发生变化。
  - 正确做法: 求出收敛半径后，始终用收敛判别法检验两个端点，如果收敛就将其加入收敛区间。
- **错误做法:** 将$\frac{1}{1+x}$的幂级数写为$\sum_{n=0}^\infty x^n$，而非正确的$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n$
  - 原因: 学生错误识别几何级数公式中的$r$，忘记分母形式是$1-r$，因此$+x$意味着$r=-x$。
  - 正确做法: 写出级数前，始终将分母显式改写为$1 - (某个项)$的形式，即$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1 - (-x)}$。
- **错误做法:** 求导或积分后重新标索引错误，导致$n=0$时出现除以零（例如将$\int \sum_{n=0}^\infty x^n dx$写为$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}$）
  - 原因: 学生在移动级数起始下标时，换元过程过于仓促出错。
  - 正确做法: 重新标索引后，写出原级数和新级数的前2-3项，确认它们匹配。
- **错误做法:** 分解分母时，错误提取常数到级数外（例如将$\frac{3}{2-x}$改写为$3\sum \left(\frac{x}{2}\right)^n$，而非正确的$\frac{3}{2}\sum \left(\frac{x}{2}\right)^n$）
  - 原因: 学生忘记从分母分解出常数后，它的倒数会留在分数外面。
  - 正确做法: 始终分步分解：$\frac{A}{B - Cx} = \frac{A}{B\left(1 - \frac{Cx}{B}\right)} = \frac{A}{B} \cdot \frac{1}{1 - \frac{Cx}{B}}$。
- **错误做法:** 对$x^n$求导/积分时，连系数$c_n$也一起求导/积分
  - 原因: 学生将求导变量$x$和下标$n$混淆，因此不必要地修改了系数。
  - 正确做法: 记住系数$c_n$关于$x$是常数，因此求导或积分时保持不变。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 几何幂级数 | $\frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^\infty r^n$ | 仅当$\|r\| < 1$时收敛；$r$可以是任意x的函数 |
| 逐项求导 | If $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$, then $f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n c_n (x-a)^{n-1}$ | 和原级数收敛半径相同；必须检查端点 |
| 逐项积分 | If $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$, then $\int f(x) dx = C + \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$ | 和原级数收敛半径相同；中心为a时$C = f(a)$ |
| $\frac{1}{1+x}$ (麦克劳林) | $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n$ | 收敛区间为$(-1, 1)$ |
| $\frac{1}{(1-x)^2}$ (麦克劳林) | $\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n$ | $\frac{1}{1-x}$的导数，收敛区间$(-1, 1)$ |
| $\ln(1+x)$ (麦克劳林) | $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$ | $\frac{1}{1+x}$的积分，收敛区间$(-1, 1]$ |
| $\arctan x$ (麦克劳林) | $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $\frac{1}{1+x^2}$的积分，收敛区间$[-1, 1]$ |

## 下一步

本主题为你学习AP微积分BC第10单元的下一个主要主题——泰勒级数和麦克劳林级数，打下了核心基础。通过几何级数、逐项求导和逐项积分将函数表示为幂级数，你无需从头计算每阶导数就能构造常见函数的级数，这能在AP考试中节省大量时间，避免计算错误。如果不掌握这里的技巧，你会很难构造复合函数或相关函数的泰勒级数，也会让自由问答题中常见的近似问题比必要难度难得多。本主题也是非初等函数积分的基础，这是AP考试中经常考察的应用。

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