收敛比值审敛法

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — 无穷数列与级数· 14 分钟阅读

1. 比值审敛法的核心概念★★☆☆☆⏱ 4 min

比值审敛法（又称达朗贝尔比值判别法）是用于判断无穷级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛性的判别法，当级数项包含阶乘、指数函数或n的幂次时，相邻项比值可以很方便地化简，因此该方法最适用于这类级数。该知识点会在AP微积分BC考试的选择题和自由作答题部分考查。

📘 定义

比值审敛法

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

一种通过比较无穷级数相邻项的渐近增长率判断收敛性的判别法，共有三种结果：1) 如果 $L < 1$ ，级数绝对收敛；2) 如果 $L > 1$ （包括 $L = \infty$ ），级数发散；3) 如果 $L = 1$ ，判别法无法得出结论。

例:

极限L的性质和几何级数中公比的绝对值类似。

📐 例题

判断级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 ^{n}}{n !}$ 收敛还是发散。

1
确定 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ ：
$a_n = \frac{3^n}{n!}, \quad a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}$
2
构造相邻项的比值（所有项均为正，因此可以省略绝对值）：
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n}$
3
化简表达式：
$\frac{3^{n+1}}{3^n} = 3, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \implies \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{n+1}$
4
计算 $n \to \infty$ 时的极限：
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0$
5
应用比值审敛法规则： $0 < 1$ ，因此该级数绝对收敛。

2. 无法判定的情况★★★☆☆⏱ 3 min

当 $L = 1$ 时，比值审敛法无法给出收敛性的任何信息，这是AP考试中常见的考点。比值审敛法只能捕捉项的指数增长率；当增长是多项式型时，无论级数收敛还是发散，极限L都等于1。只要你算出 $L = 1$ ，就必须换用另一种合适的判别法。

📐 例题

级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2 n ^{2} + 1}$ 用比值审敛法得到 $L = 1$ ，判断该级数收敛还是发散。

1
确认 $L = 1$ 说明比值审敛法无法判定，因此我们使用极限比较审敛法。
2
当n很大时， $a_{n}$ 的终端行为近似为 $\frac{n}{2 n ^{2}} = \frac{1}{2 n}$ ，因此我们和发散级数 $\sum \frac{1}{n}$ 比较。
3
计算项比值的极限：
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n/(2n^2 +1)}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2n^2 +1} = \frac{1}{2}$
4
由于极限为正且有限，原级数由极限比较审敛法得出发散结论。

3. 比值审敛法在幂级数中的应用★★★☆☆⏱ 4 min

在AP微积分BC考试中，比值审敛法最常见的高频应用是求形如 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$ 的幂级数的收敛半径和收敛区间。幂级数的收敛性取决于x的取值，而取相邻项比值时 $(x - a)$ 项可以很方便地化简，因此比值审敛法非常适合这里。

写出 $a_{n} = c_{n} (x - a)^{n}$ ，然后构造比值 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$
将含x的项和含n的项分离
计算极限 $L (x) = ∣ x - a ∣ \cdot lim_{n \to \infty} \frac{c _{n + 1}}{c _{n}}$
令 $L (x) < 1$ ，得到收敛半径 $R = 1/ (lim_{n \to \infty} \frac{c _{n + 1}}{c _{n}})$
对端点 $x = a \pm R$ 单独用其他方法检验

📐 例题

求幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( 3 x ) ^{n}}{n 4 ^{n}}$ 的收敛半径。

1
确定 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ ：
$a_n = \frac{(3x)^n}{n 4^n}, \quad a_{n+1} = \frac{(3x)^{n+1}}{(n+1) 4^{n+1}}$
2
构造并化简绝对值比值：
$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(3x)^{n+1}}{(n+1) 4^{n+1}} \cdot \frac{n 4^n}{(3x)^n} \right| = \frac{3|x|}{4} \cdot \frac{n}{n+1}$
3
计算 $n \to \infty$ 时的极限：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \implies L = \frac{3|x|}{4}$
4
为使级数收敛，令 $L < 1$ ：
$\frac{3|x|}{4} < 1 \implies |x| < \frac{4}{3}$
5
收敛半径是 $R = \frac{4}{3}$ 。

4. AP风格概念检验★★★★☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道选择题测试你的理解：

幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n ! x ^{n}}{4 ^{n}}$ 的收敛半径是以下哪一个？
- 0
- 4
- $\frac{1}{4}$
- $\infty$

5. 常见陷阱

错误做法:

颠倒比值顺序，计算 $\frac{a _{n}}{a _{n + 1}}$ 而不是 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ ，导致L颠倒，得到错误结论。

原因:

学生快速书写时会混淆顺序，在幂级数题目中尤其容易出错。

正确做法:

一定要先明确标出 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ ，再化简前把 $a_{n + 1}$ 写在分子， $a_{n}$ 写在分母。

错误做法:

忘记给比值取绝对值，导致L为负，即使是发散级数也错误得出 $L < 1$ 的结论。

原因:

学生对正项级数省略绝对值后，在做交错级数/幂级数题时忘记了这个习惯。

正确做法:

化简前一定要给比值加上绝对值，即使所有项都是正的也这样做，养成好习惯保持一致性。

错误做法:

当 $L = 1$ 时直接得出收敛或发散结论，不使用第二种判别法。

原因:

学生误以为比值审敛法可以解答所有问题，忘记了无法判定的规则。

正确做法:

一旦你得到 $L = 1$ ，就在试卷上写下「比值审敛法无法判定」，然后选择另一种合适的判别法。

错误做法:

计算收敛半径时把x留在极限里面，导致化简错误。

原因:

学生忘记x对n的极限来说是常数。

正确做法:

计算极限前一定要把所有含x的项从极限中提出来。

错误做法:

把 $L = \infty$ 当成无法判定的情况，而不是发散情况。

原因:

学生只记得 $L < 1$ 和 $L = 1$ ，忘记无穷大L属于 $L > 1$ 的类别。

正确做法:

如果极限趋近于无穷大，注意 $\infty > 1$ ，因此级数由比值审敛法得出发散结论。

6. 速查表

类别	公式/规则	注意事项
核心比值审敛法极限	$L = lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$	对任意无穷级数 $\sum a_{n}$ ； $a_{n + 1}$ 始终在分子
收敛情况	$L < 1$	级数绝对收敛，因此级数收敛
发散情况	$L > 1$ （包括 $L = \infty$ ）	级数发散， $lim_{n \to \infty} a_{n} \neq = 0$
无法判定情况	$L = 1$	使用其他判别法：p判别法、极限比较法、交错级数判别法
收敛半径	$R = \frac{1}{l i m _{n \to \infty} ∣ \frac{c _{n + 1}}{c _{n}} ∣}$	单独检验端点 $x = a \pm R$
无穷收敛半径	$R = \infty$ when $lim_{n \to \infty} \frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = 0$	对所有实数x都收敛
零收敛半径	$R = 0$ when $lim_{n \to \infty} \frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \infty$	仅在中心 $x = a$ 处收敛
幂级数规则	Converges for $∣ x - a ∣ < R$ , diverges for $∣ x - a ∣ > R$	收敛区间仅包含通过单独检验的端点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC
求收敛半径
2022 · BC
判断级数收敛性

下一步

掌握比值审敛法是求幂级数完整收敛区间的关键前提，这几乎是每一次AP微积分BC自由答题部分都会出现的3-5分题目。如果不能正确运用比值审敛法求出收敛半径，你就无法完成收敛区间的求解，因此这个知识点是第10单元取得高分的关键。比值审敛法也为你学习另一种收敛判别法——根值审敛法做准备，并且是第10单元后半部分核心内容——泰勒级数和麦克劳林级数分析的基础。