积分收敛判别法

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Infinite Sequences and Series· 14 分钟阅读

1. 积分判别法与所需前提假设★★☆☆☆⏱ 4 min

积分收敛判别法利用你已掌握的积分知识，将无穷离散正项级数的敛散性和反常积分的敛散性联系起来。对于级数 $\sum_{n = N}^{\infty} a_{n}$ （其中 $a_{n} = f (n)$ ），当三个前提假设全部满足时，级数的敛散性与反常积分 $\int_{N}^{\infty} f (x) d x$ 的敛散性一致。

$f$ is continuous on $[N, \infty)$ : 区间内无间断点、跳跃间断或垂直渐近线
$f$ is positive on $[N, \infty)$ : 对于所有 $x \geq N$ ， $f$ 的所有输出都大于0
$f$ is decreasing on $[N, \infty)$ : 对于所有 $x > N$ ， $f^{'} (x) \leq 0$ ，因此 $f (x)$ 随 $x$ 增大不递增

📐 例题

积分判别法能否应用于级数 $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{l n n}{n}$ ？验证全部三个前提假设来证明你的结论。

1
对 $x \geq 2$ 定义 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 。检查连续性： $f (x)$ 是两个连续函数的商，且对 $x \geq 2$ ，分母 $x \neq = 0$ ，因此 $f$ 在 $[2, \infty)$ 上连续。
2
检查正性：对 $x \geq 2$ ， $ln x > ln 2 > 0$ 且 $x > 0$ ，因此 $f (x)$ 在 $[2, \infty)$ 上大于0，满足正性。
3
通过计算导数检查 $f$ 是否单调递减：
4
$\frac{(\frac{1}{x})x - \ln x (1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
5
对 $x > e \approx 2.718$ ， $ln x > 1$ ，因此 $1 - ln x < 0$ ，说明在 $(e, \infty)$ 上 $f^{'} (x) < 0$ 。我们可以将起始下标移到 $n = 3$ （敛散性仅由级数的尾部决定），因此从 $N = 3$ 开始所有前提假设都满足，可以应用积分判别法。

2. 运用积分判别法判断敛散性★★☆☆☆⏱ 4 min

验证完全部三个前提假设后，积分判别法会给出明确结论：级数 $\sum_{n = N}^{\infty} a_{n}$ 收敛当且仅当反常积分 $\int_{N}^{\infty} f (x) d x$ 收敛。积分结果有限说明级数收敛，积分发散说明级数发散。

这个关系来自单调递减正函数的黎曼和界：

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积分判别法最著名的结论就是p级数敛散性法则： $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{p}}$ 当 $p > 1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散，这个结论直接由积分判别法证明。

📐 例题

用积分判别法判断级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2} + 1}$ 是收敛还是发散。

1
对 $x \geq 1$ 定义 $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ 。验证所有前提假设：(1) 连续性：对所有实数 $x$ 分母都不为零，因此 $f$ 在 $[1, \infty)$ 上连续。(2) 正性：对所有 $x$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ，因此 $f (x) > 0$ 。(3) 单调性：对所有 $x > 0$ ， $f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} < 0$ ，因此 $f$ 单调递减。所有前提假设都满足。
2
构造并计算反常积分：
3
$\int_1^\infty \frac{1}{x^2 + 1} dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2 +1} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \arctan x \right]_1^b$
4
计算积分的极限：
5
$\lim_{b \to \infty} (\arctan b - \arctan 1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$
6
积分结果为有限值，因此根据积分判别法，级数收敛。

3. 部分和的余项误差界★★★☆☆⏱ 3 min

当你用收敛无穷级数的第n个部分和 $S_{n}$ 近似级数总和S时，余项 $R_{n} = S - S_{n}$ 就是近似的误差。对于满足积分判别法前提假设的级数，我们可以得到这个误差明确的上下界。

如果 $f$ 在 $x \geq n$ 上连续、为正且单调递减，且 $\sum_{k = 1}^{\infty} f (k) = S$ 收敛，则余项满足：

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📐 例题

已知级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{3}}$ 收敛。当用第10个部分和 $S_{10}$ 近似级数总和时，求误差的上下界。

1
确认 $f (x) = \frac{1}{x ^{3}}$ 在 $x \geq 1$ 满足所有积分判别法前提：它是连续、正的，且 $f^{'} (x) = - 3 x^{- 4} < 0$ ，因此单调递减。可以使用余项界公式。
2
计算 $R_{10}$ 的下界：
3
$\int_{11}^\infty \frac{1}{x^3} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{11}^b x^{-3} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{11}^b = 0 - (-\frac{1}{2(121)}) = \frac{1}{242} \approx 0.00413$
4
计算 $R_{10}$ 的上界：
5
$\int_{10}^\infty \frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{2(10)^2} = 0.005$
6
结论：误差 $R_{10}$ 满足 $0.00413 \leq R_{10} \leq 0.005$ 。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

测试你对积分判别法核心概念的理解：

从题目给出的级数下界开始，下列哪个级数可以正确应用积分收敛判别法？
- A) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$
- B) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e ^{- n}}{n ^{2}}$
- C) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c o s n}{n ^{3}}$
- D) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - n ^{2}}$
显示答案
B) $\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{n^2}$ —
选项A含有交替负项，违反正性要求。选项C的项符号交替，违反正性要求。选项D在 $n = 1$ 处除零，违反连续性要求。只有选项B满足 $[1, \infty)$ 上连续、正、单调递减这三个前提假设。

5. 常见陷阱

错误做法:

认为积分判别法可以应用于 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{s i n n}{n ^{2}}$ ，因为 $\int_{1}^{\infty} \frac{s i n x}{x ^{2}} d x$ 收敛。

原因:

正性条件不满足，因为 $\frac{s i n x}{x ^{2}}$ 符号交替变化。

正确做法:

应用积分判别法前一定要检查全部三个前提（连续、正、单调递减），绝对不要将这个判别法用于交错级数或含有负项的级数。

错误做法:

因为 $\int_{1}^{1000} \frac{1}{x} d x = ln 1000$ 是有限值，就得出 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 收敛的结论。

原因:

学生混淆定积分和反常积分，忘记应用判别法需要的是到无穷的积分。

正确做法:

一定要通过取上限趋于无穷的极限来计算反常积分，绝对不要停在有限上限处。

错误做法:

因为 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{2}} d x = 1$ ，就声称 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ 收敛到1。

原因:

学生混淆了积分值和级数的和。

正确做法:

记住积分判别法只能判断敛散性，永远不能给出级数的和的值。

错误做法:

当 $lim_{n \to \infty} a_{n} \neq = 0$ 时，用积分判别法说明级数发散。

原因:

学生混淆了第n项判别法和积分判别法，错误地将发散结论归给了错误的判别法。

正确做法:

如果 $lim_{n \to \infty} a_{n} \neq = 0$ ，用第n项发散判别法得出发散结论，不要用积分判别法来得出这个结论。

错误做法:

对发散级数使用余项界公式来估计部分和的误差。

原因:

学生记住了公式，却忘记它只适用于收敛级数，因为发散级数没有有限的总和可以近似。

正确做法:

只有在你通过积分判别法确认级数收敛后，才能使用积分判别法的余项界。

6. 速查表

类别	公式/法则	备注
积分判别法前提假设	$f$ 在 $[N, \infty)$ 上连续 2. $f$ 在 $[N, \infty)$ 上为正 3. $f$ 在 $[N, \infty)$ 上单调递减	应用前必须验证全部三个；需要时可将 $N$ 平移到任意起始整数
积分判别法敛散性法则	$\sum_{n = N}^{\infty} a_{n}$ 收敛 $⟺ \int_{N}^{\infty} f (x) d x$ 收敛	积分发散则级数发散；仅适用于正项级数
p级数敛散性（由积分判别法证明）	$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{p}}$ 收敛当 $p > 1$ ，发散当 $p \leq 1$	得到这个结论后，被广泛用于比较判别法
余项误差下界	$\int_{n + 1}^{\infty} f (x) d x \leq R_{n}$	$R_{n} = S - S_{n}$ = 用部分和 $S_{n}$ 近似总和 $S$ 的误差；仅适用于收敛级数
余项误差上界	$R_{n} \leq \int_{n}^{\infty} f (x) d x$	大多数要求误差界的AP题目都期望这个上界作为答案
积分判别法不能给出的信息	$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \neq = \int_{1}^{\infty} f (x) d x$	判别法只告诉你敛散性，不告诉你级数的和的值
无效应用	只要有一个前提不满足，就无法得出结论	如果不能应用这个判别法，就使用其他判别法（交错级数、比较、比值）

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
判断积分判别法的适用性
2023 · FRQ
敛散性判断与误差界问题

下一步

积分判别法是大多数其他无穷级数敛散性判别法的基础，也是AP微积分BC大纲中接下来的直接比较法和极限比较法的前置知识。理解级数尾部相对于反常积分的行为，也能帮你建立对所有误差界问题的直觉，这类问题经常出现在交错级数和幂级数近似的自由问答题中。如果不掌握积分判别法的前提假设，你经常会错误地证明敛散性判别法的合理性，在自由问答题中丢分。积分判别法也强化了AP微积分中离散和与连续积分之间的核心联系。