# 积分收敛判别法

> AP 微积分 BC · 第10单元：无穷数列与级数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-integral-test-for-convergence/

本教程讲解积分收敛判别法的前提假设、应用方法和误差界，这是AP微积分BC第10单元的核心考点，在选择题和自由问答题中均会出现。

**先修:** 计算各类反常积分; 正项无穷级数的性质; 计算基本函数的导数与原函数

## 学习目标

- 验证积分收敛判别法的三个前提假设
- 运用积分判别法判断正项级数的敛散性
- 计算部分和近似的余项误差上下界
- 识别并避免AP考试中运用积分判别法的常见错误

## 积分判别法与所需前提假设

积分收敛判别法利用你已掌握的积分知识，将无穷离散正项级数的敛散性和反常积分的敛散性联系起来。对于级数 $\sum_{n=N}^\infty a_n$（其中 $a_n = f(n)$），当三个前提假设全部满足时，级数的敛散性与反常积分 $\int_N^\infty f(x) dx$ 的敛散性一致。

1. $f$ is **continuous** on $[N, \infty)$: 区间内无间断点、跳跃间断或垂直渐近线
2. $f$ is **positive** on $[N, \infty)$: 对于所有 $x \geq N$，$f$ 的所有输出都大于0
3. $f$ is **decreasing** on $[N, \infty)$: 对于所有 $x > N$，$f'(x) \leq 0$，因此 $f(x)$ 随 $x$ 增大不递增

> **tip**
>
> 在AP自由问答题中，你必须明确验证全部三个前提假设才能拿到满分——即使条件看起来很明显也绝对不要跳过这一步。

**例题:** 积分判别法能否应用于级数 $\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n}$？验证全部三个前提假设来证明你的结论。

1. 对 $x \geq 2$ 定义 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$。检查连续性：$f(x)$ 是两个连续函数的商，且对 $x \geq 2$，分母 $x \neq 0$，因此 $f$ 在 $[2, \infty)$ 上连续。
2. 检查正性：对 $x \geq 2$，$\ln x > \ln 2 > 0$ 且 $x > 0$，因此 $f(x)$ 在 $[2, \infty)$ 上大于0，满足正性。
3. 通过计算导数检查 $f$ 是否单调递减：
4. $$\frac{(\frac{1}{x})x - \ln x (1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$
5. 对 $x > e \approx 2.718$，$\ln x > 1$，因此 $1 - \ln x < 0$，说明在 $(e, \infty)$ 上 $f'(x) < 0$。我们可以将起始下标移到 $n=3$（敛散性仅由级数的尾部决定），因此从 $N=3$ 开始所有前提假设都满足，可以应用积分判别法。

## 运用积分判别法判断敛散性

验证完全部三个前提假设后，积分判别法会给出明确结论：级数 $\sum_{n=N}^\infty a_n$ 收敛当且仅当反常积分 $\int_N^\infty f(x) dx$ 收敛。积分结果有限说明级数收敛，积分发散说明级数发散。

这个关系来自单调递减正函数的黎曼和界：

积分判别法最著名的结论就是p级数敛散性法则：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散，这个结论直接由积分判别法证明。

> **tip**
>
> 积分判别法只能告诉你级数是否收敛，永远不能告诉你级数的和是多少。选择题中常见的干扰项就是积分的值，积分值几乎永远不等于级数的和。

**例题:** 用积分判别法判断级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1}$ 是收敛还是发散。

1. 对 $x \geq 1$ 定义 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$。验证所有前提假设：(1) 连续性：对所有实数 $x$ 分母都不为零，因此 $f$ 在 $[1, \infty)$ 上连续。(2) 正性：对所有 $x$，$x^2 +1 > 0$，因此 $f(x) > 0$。(3) 单调性：对所有 $x > 0$，$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 +1)^2} < 0$，因此 $f$ 单调递减。所有前提假设都满足。
2. 构造并计算反常积分：
3. $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2 + 1} dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2 +1} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \arctan x \right]_1^b$$
4. 计算积分的极限：
5. $$\lim_{b \to \infty} (\arctan b - \arctan 1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$
6. 积分结果为有限值，因此根据积分判别法，级数收敛。

## 部分和的余项误差界

当你用收敛无穷级数的第n个部分和 $S_n$ 近似级数总和S时，余项 $R_n = S - S_n$ 就是近似的误差。对于满足积分判别法前提假设的级数，我们可以得到这个误差明确的上下界。

如果 $f$ 在 $x \geq n$ 上连续、为正且单调递减，且 $\sum_{k=1}^\infty f(k) = S$ 收敛，则余项满足：

> **tip**
>
> 如果AP题目只要求*一个误差界*（不是同时要求上下界），那么 $\int_{n}^\infty f(x) dx$ 这个上界永远会被接受为正确答案。

**例题:** 已知级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ 收敛。当用第10个部分和 $S_{10}$ 近似级数总和时，求误差的上下界。

1. 确认 $f(x) = \frac{1}{x^3}$ 在 $x \geq 1$ 满足所有积分判别法前提：它是连续、正的，且 $f'(x) = -3x^{-4} < 0$，因此单调递减。可以使用余项界公式。
2. 计算 $R_{10}$ 的下界：
3. $$\int_{11}^\infty \frac{1}{x^3} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{11}^b x^{-3} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{11}^b = 0 - (-\frac{1}{2(121)}) = \frac{1}{242} \approx 0.00413$$
4. 计算 $R_{10}$ 的上界：
5. $$\int_{10}^\infty \frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{2(10)^2} = 0.005$$
6. 结论：误差 $R_{10}$ 满足 $0.00413 \leq R_{10} \leq 0.005$。

## AP风格概念检测

**概念自测**

测试你对积分判别法核心概念的理解：

1. 从题目给出的级数下界开始，下列哪个级数可以正确应用积分收敛判别法？

   - A) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$
   - B) $\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{n^2}$
   - C) $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n}{n^3}$
   - D) $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1 - n^2}$

   *解析:* 选项A含有交替负项，违反正性要求。选项C的项符号交替，违反正性要求。选项D在 $n=1$ 处除零，违反连续性要求。只有选项B满足 $[1, \infty)$ 上连续、正、单调递减这三个前提假设。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为积分判别法可以应用于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n^2}$，因为 $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^2} dx$ 收敛。
  - 原因: 正性条件不满足，因为 $\frac{\sin x}{x^2}$ 符号交替变化。
  - 正确做法: 应用积分判别法前一定要检查全部三个前提（连续、正、单调递减），绝对不要将这个判别法用于交错级数或含有负项的级数。
- **错误做法:** 因为 $\int_1^{1000} \frac{1}{x} dx = \ln 1000$ 是有限值，就得出 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 收敛的结论。
  - 原因: 学生混淆定积分和反常积分，忘记应用判别法需要的是到无穷的积分。
  - 正确做法: 一定要通过取上限趋于无穷的极限来计算反常积分，绝对不要停在有限上限处。
- **错误做法:** 因为 $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$，就声称 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛到1。
  - 原因: 学生混淆了积分值和级数的和。
  - 正确做法: 记住积分判别法只能判断敛散性，永远不能给出级数的和的值。
- **错误做法:** 当 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ 时，用积分判别法说明级数发散。
  - 原因: 学生混淆了第n项判别法和积分判别法，错误地将发散结论归给了错误的判别法。
  - 正确做法: 如果 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，用第n项发散判别法得出发散结论，不要用积分判别法来得出这个结论。
- **错误做法:** 对发散级数使用余项界公式来估计部分和的误差。
  - 原因: 学生记住了公式，却忘记它只适用于收敛级数，因为发散级数没有有限的总和可以近似。
  - 正确做法: 只有在你通过积分判别法确认级数收敛后，才能使用积分判别法的余项界。

## 速查表

| 类别 | 公式/法则 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 积分判别法前提假设 | 1. $f$ 在 $[N, \infty)$ 上连续<br>2. $f$ 在 $[N, \infty)$ 上为正<br>3. $f$ 在 $[N, \infty)$ 上单调递减 | 应用前必须验证全部三个；需要时可将 $N$ 平移到任意起始整数 |
| 积分判别法敛散性法则 | $\sum_{n=N}^\infty a_n$ 收敛 $\iff \int_N^\infty f(x) dx$ 收敛 | 积分发散则级数发散；仅适用于正项级数 |
| p级数敛散性（由积分判别法证明） | $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 收敛当 $p>1$，发散当 $p \leq 1$ | 得到这个结论后，被广泛用于比较判别法 |
| 余项误差下界 | $\int_{n+1}^\infty f(x) dx \leq R_n$ | $R_n = S - S_n$ = 用部分和 $S_n$ 近似总和 $S$ 的误差；仅适用于收敛级数 |
| 余项误差上界 | $R_n \leq \int_{n}^\infty f(x) dx$ | 大多数要求误差界的AP题目都期望这个上界作为答案 |
| 积分判别法不能给出的信息 | $\sum_{n=1}^\infty a_n \neq \int_1^\infty f(x) dx$ | 判别法只告诉你敛散性，不告诉你级数的和的值 |
| 无效应用 | 只要有一个前提不满足，就无法得出结论 | 如果不能应用这个判别法，就使用其他判别法（交错级数、比较、比值） |

## 下一步

积分判别法是大多数其他无穷级数敛散性判别法的基础，也是AP微积分BC大纲中接下来的直接比较法和极限比较法的前置知识。理解级数尾部相对于反常积分的行为，也能帮你建立对所有误差界问题的直觉，这类问题经常出现在交错级数和幂级数近似的自由问答题中。如果不掌握积分判别法的前提假设，你经常会错误地证明敛散性判别法的合理性，在自由问答题中丢分。积分判别法也强化了AP微积分中离散和与连续积分之间的核心联系。

- [调和级数与p级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-harmonic-series-and-p-series/)
- [收敛的比较判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-comparison-tests-for-convergence/)
- [交错级数收敛判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-alternating-series-test-for-convergence/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-integral-test-for-convergence/