# 寻找函数的泰勒多项式逼近

> AP 微积分 BC · 第10单元：无穷数列与级数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-finding-taylor-polynomial-approximations-of/

本小节将教你构造泰勒多项式，这类多项式用于在给定中心点附近逼近光滑函数。你将学习如何通过导数计算这类多项式，并认识AP BC考试中频繁出现的常见例子。

**先修:** [高阶导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-higher-order-derivatives/); [幂级数基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-power-series-introduction/)

## 学习目标

- 陈述中心点$a$处n次泰勒多项式的定义
- 通过计算中心点处的导数，求出任意函数的泰勒多项式
- 利用常见函数的已知麦克劳林多项式快速构造新多项式

## 泰勒多项式的定义

**中心点$a$处的n次泰勒多项式** — 在$x=a$处与$f(x)$的函数值及前$n$阶导数值都相等的唯一n次多项式，其公式为：

*记法:* T_n(x)

*例:* $f(x)$在$a$处的1次泰勒多项式就是你之前在微积分中学过的切线逼近。

$$T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$$

> **info**
>
> 中心点为$a=0$的泰勒多项式称为**麦克劳林多项式**，这是你在AP考试中最常见的类型。

**例题:** 求$f(x) = e^x$在中心点$a=1$处的0次泰勒多项式。

1. 对于$n=0$，求和仅包含$k=0$这一项。记住，$f$的0阶导数就是$f$本身，且$0! = 1$。
2. 计算得$f^{(0)}(a) = f(1) = e^1 = e$
3. 代入泰勒公式：
4. $$T_0(x) = \frac{f(1)}{0!} (x-1)^0 = \frac{e}{1} \cdot 1 = e$$

## 泰勒多项式的分步计算

为避免常见错误，遵循以下统一步骤构造任意泰勒多项式：

1. 计算$f(x)$的所有导数，直到第n阶导数
2. 在中心点$x=a$处计算每个导数的值
3. 将每个计算得到的导数值除以k阶项对应的阶乘$k!$
4. 将每一项乘以$(x-a)^k$，再将所有项相加

**例题:** 求$f(x) = \ln(x)$在中心点$a=1$处的3次泰勒多项式。

1. 计算直到3阶的各阶导数：
2. $$f(x) = \ln x, \quad f'(x) = \frac{1}{x}, \quad f''(x) = -\frac{1}{x^2}, \quad f'''(x) = \frac{2}{x^3}$$
3. 在$a=1$处计算每个导数的值：
4. $$f(1) = 0, \quad f'(1) = 1, \quad f''(1) = -1, \quad f'''(1) = 2$$
5. 计算从$k=0$到$k=3$的每一项系数：
6. $$c_0 = \frac{0}{0!} = 0, \quad c_1 = \frac{1}{1!} = 1, \quad c_2 = \frac{-1}{2!} = -\frac{1}{2}, \quad c_3 = \frac{2}{3!} = \frac{1}{3}$$
7. 写出完整多项式：
8. $$T_3(x) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}$$

**概念自测**

测试你对系数计算的理解：

1. 在中心点$a=2$处的$f(x) = x^4$的4次泰勒多项式中，$(x-2)^4$的系数是多少？

   - 1
   - 4
   - 24
   - \frac{1}{24}

   *解析:* $f(x)=x^4$的4阶导数为$4! = 24$，系数为$\frac{f^{(4)}(2)}{4!} = \frac{24}{24} = 1$。

## 常见麦克劳林多项式

基本函数的麦克劳林多项式（中心点$a=0$处的泰勒多项式）在AP考试中频繁出现。你可以利用这些标准形式，通过替换快速构造相关函数的新多项式，无需从头重新计算导数。

| 函数 | 一般n次麦克劳林多项式 |
| --- | --- |
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ |
| $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ |
| $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $1 + x + x^2 + ... + x^n$ |
| $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$ |

> **符号交替记忆法**
>
> $\sin x$符号交替，首项（x项）为正；$\cos x$符号交替，常数项为正；$\ln(1+x)$符号交替，x项为正。

**例题:** 利用$e^u$的标准形式，求$f(x) = e^{-2x}$的4次麦克劳林多项式。

1. 先写出$e^u$的4次麦克劳林多项式：
2. $$e^u \approx 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \frac{u^4}{4!}$$
3. 将$u = -2x$代入表达式：
4. $$1 + (-2x) + \frac{(-2x)^2}{2} + \frac{(-2x)^3}{6} + \frac{(-2x)^4}{24}$$
5. 化简每一项得到最终多项式：
6. $$T_4(x) = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^4$$

## 常见错误

- **错误做法:** 计算系数时忘记将k阶导数除以$k!$。
  - 原因: 泰勒公式要求除以阶乘才能匹配多项式的导数，跳过这一步会导致系数相差$k!$倍。
  - 正确做法: 始终为每一项明确写出$k!$分母，并且核对阶乘数值（例如$3! = 6$，不是3）。
- **错误做法:** 对于中心点$a \neq 0$的泰勒多项式，将$(x-a)^k$写成$x^k$。
  - 原因: 混淆泰勒多项式和麦克劳林多项式会导致逼近只在0点附近准确，而非要求的中心点附近。
  - 正确做法: 总是先确认中心点，化简前为每个非零项写出$(x-a)$。
- **错误做法:** 对三角函数或对数函数求多阶导数时出现符号错误。
  - 原因: 每次对$\sin x$、$\cos x$或x的负次幂求导，符号都会翻转，因此很容易得到错误符号。
  - 正确做法: 逐步写出每个导数，在中心点$a$处求值前，每一步都检查符号和指数。
- **错误做法:** 求n次多项式时停在第$(n-1)$项，总共只得到n项。
  - 原因: 由于计数从$k=0$开始，要得到n次多项式总共需要n+1项。
  - 正确做法: 构造多项式后数一遍项数，确认你有n+1项。
- **错误做法:** 代入已知麦克劳林多项式时，忘记将整个替换后的表达式提升到正确幂次。
  - 原因: 例如，将$3x$代入$\sin x$经常得到错误项$\frac{3x^3}{3!}$，而非正确的$\frac{(3x)^3}{3!}$。
  - 正确做法: 代入表达式后总是先加上括号，再提升到对应幂次。

## 速查表

| 概念 | 核心公式 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| n次泰勒（中心点$a$） | $T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$ | 在$a$处匹配$f$和前$n$阶导数 |
| n次麦克劳林 | $T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$ | 中心点为$a=0$的泰勒多项式 |
| $e^x$ 麦克劳林 | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ | 无交替符号 |
| $\sin x$ 麦克劳林 | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$ | 仅含奇次幂，符号交替 |
| $\cos x$ 麦克劳林 | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$ | 仅含偶次幂，符号交替 |

## 下一步

泰勒多项式是AP微积分BC中所有幂级数逼近的基础。掌握构造方法后，你可以继续学习利用拉格朗日误差界计算这类逼近的误差，并将有限泰勒多项式扩展为在收敛区间内收敛到原函数的无穷泰勒级数。泰勒多项式在考试之外也有广泛应用，物理、工程和计算机科学中都用它来逼近难以直接计算的复杂函数。掌握这个核心技能会让无穷数列与级数的所有后续内容都更容易理解。

- [拉格朗日误差界](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-lagrange-error-bound/)
- [幂级数的收敛半径与收敛区间](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-radius-and-interval-of-convergence/)
- [求函数的泰勒级数或麦克劳林级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-finding-taylor-or-maclaurin-series/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-finding-taylor-polynomial-approximations-of/