求函数的泰勒级数或麦克劳林级数

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — 无穷数列与级数· 14 分钟阅读

1. 泰勒级数与麦克劳林级数的核心定义★★☆☆☆⏱ 2 min

求泰勒或麦克劳林级数就是构造给定无穷可微函数的无穷幂级数表示。系数的定义是匹配函数在所选中心点 $a$ 处的函数值和各阶导数。

📘 定义

泰勒级数

中心点在 $a$ 处的函数 $f (x)$ 的泰勒级数，是一个无穷幂级数，用于在 $x = a$ 处匹配 $f (x)$ 及其所有导数。它在收敛区间内收敛于 $f (x)$ 。

例:

中心点在 $a = 2$ 的泰勒级数，项的形式为 $c_{n} (x - 2)^{n}$

📘 定义

麦克劳林级数

麦克劳林级数是泰勒级数的特例，始终以 $a = 0$ 为中心点，是AP微积分BC考试中最常考察的中心点类型。

例:

所有需要记忆的常用函数标准级数都是麦克劳林级数

本主题是第10单元的核心考点，占AP微积分BC考试分值的17-18%。求级数的题目会出现在选择题和自由问答题部分，通常会和其他级数考点（如求收敛性、近似）结合考察。

2. 定义法直接计算★★★☆☆⏱ 3 min

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中心点在 $a$ 的泰勒级数的正式定义给出了通式：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n

其中 $f^{(n)} (a)$ 是 $f$ 在 $a$ 处的 $n$ 阶导数，按约定 $f^{(0)} (a) = f (a)$ 。对于麦克劳林级数（ $a = 0$ ），公式简化为：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

直接法需要计算前几阶导数，找出系数的规律，然后写出通项。该方法最常用于不符合已知标准级数的函数，或是中心点不为0的情况。

📐 例题

利用定义求 $f (x) = sin (3 x)$ 的麦克劳林级数的前四个非零项。

1
计算 $f (x)$ 的前几阶导数：
2
$f^{(0)}(x) = \sin(3x),\ f^{(1)}(x) = 3\cos(3x),\ f^{(2)}(x) = -9\sin(3x),\ f^{(3)}(x) = -27\cos(3x),\ f^{(4)}(x) = 81\sin(3x),\ f^{(5)}(x) = 243\cos(3x),\ f^{(7)}(x) = -3^7 \cos(3x)$
3
在中心点 $a = 0$ 处计算所有导数值：
4
$f^{(0)}(0) = 0,\ f^{(1)}(0) = 3,\ f^{(2)}(0) = 0,\ f^{(3)}(0) = -27,\ f^{(4)}(0) = 0,\ f^{(5)}(0) = 243,\ f^{(7)}(0) = -2187$
5
对非零值，按 $\frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !}$ 计算系数：
6
$n=1: \frac{3}{1!} = 3,\ n=3: \frac{-27}{3!} = -\frac{9}{2},\ n=5: \frac{243}{5!} = \frac{81}{40},\ n=7: \frac{-2187}{7!} = -\frac{81}{186}$
7
写出级数的前四个非零项：
8
$\sin(3x) = 3x - \frac{9}{2}x^3 + \frac{81}{40}x^5 - \frac{81}{186}x^7 + \dots$

Exam tip:

当题目明确要求使用泰勒级数定义，或是中心点不为0时，使用该方法。

3. 换元法构造级数★★★☆☆⏱ 3 min

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当你记住了常用函数的标准麦克劳林级数后，大多数考试题目都不需要从头重新计算系数。换元法是最常用的技巧：如果已知级数 $f (u) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} u^{n}$ ，那么在新的收敛区间内， $f (g (x)) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (g (x))^{n}$ 。

AP考试中该方法比直接定义法考察更频繁，因为它考察你运用已知级数的能力，而不只是计算导数。

📐 例题

求 $g (x) = \frac{1}{1 + 5 x ^{2}}$ 的麦克劳林级数，包括通项。

1
回忆标准几何麦克劳林级数：
2
$\frac{1}{1 - u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n, \quad |u| < 1$
3
将 $g (x)$ 改写为匹配几何级数的形式： $\frac{1}{1 + 5 x ^{2}} = \frac{1}{1 - ( - 5 x ^{2} )}$ ，因此代入 $u = - 5 x^{2}$ 。
4
对整个代入的表达式应用指数，得到通项：
5
$u^n = (-5x^2)^n = (-1)^n 5^n x^{2n}$
6
写出完整级数：
7
$\frac{1}{1 + 5x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 5^n x^{2n}, \quad |x| < \frac{1}{\sqrt{5}}$

4. 通过求导和积分构造级数★★★★☆⏱ 3 min

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幂级数可以在其收敛区间内逐项求导和积分，因此你可以利用这个性质从已知级数推导新级数。如果 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$ ，那么：

f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1}

\int f(x) dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}

逐项求导和积分不会改变原级数的收敛半径；仅端点处的收敛性可能改变。当目标函数是某个已知级数函数的导数或积分时，使用该方法。

📐 例题

求 $∣ x ∣ < 1/2$ 时 $h (x) = arctan (2 x)$ 的麦克劳林级数，包括通项。

1
首先注意 $h (x)$ 的导数为：
2
$h'(x) = \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}$
3
用换元法得到 $h^{'} (x)$ 的级数：
4
$h'(x) = 2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 4^n x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^{2n+1} x^{2n}$
5
从 $0$ 到 $x$ 逐项积分，得到 $h (x) = arctan (2 x) = \int_{0}^{x} h^{'} (t) d t$ ：
6
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^{2n+1} \int_0^x t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^{2n+1} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
7
检查积分常数： $arctan (0) = 0$ ，因此 $C = 0$ 。改写得到最终级数：
8
$\arctan(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{2n+1}$

5. 乘以$x$的幂次调整级数★★★☆☆⏱ 3 min

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AP考试中常见的题目要求求一个函数的级数，该函数是已知函数乘以 $x^{k}$ （一般中心点则为 $(x - a)^{k}$ ）。这个简单操作考察你对幂级数项性质的理解：当你将幂级数乘以 $(x - a)^{k}$ 时，所有指数都增加 $k$ ，系数保持不变。

📐 例题

写出 $f (x) = x^{3} e^{- 2 x}$ 的麦克劳林级数的前三个非零项。

1
回忆 $e^{u}$ 的标准麦克劳林级数：
2
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$
3
将 $u = - 2 x$ 代入级数：
4
$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{4x^2}{2} - \frac{8x^3}{6} + \dots = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \dots$
5
整个级数乘以 $x^{3}$ ，所有指数加3：
6
$x^3 e^{-2x} = x^3 \left(1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \dots\right)$
7
化简得到前三个非零项：
8
$x^3 - 2x^4 + 2x^5 + \dots$

6. 常见陷阱

错误做法:

当将 $u = - x^{2}$ 代入 $e^{u} = \sum \frac{u ^{n}}{n !}$ 时，将通项写为 $\frac{- x ^{2 n}}{n !}$ 而非 $\frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{n !}$

原因:

学生忘记将负号也进行幂运算，只对 $x^{2}$ 项做了幂运算。

正确做法:

应用指数前一定要将整个代入表达式用括号括起来： $(- x^{2})^{n} = (- 1)^{n} (x^{2})^{n} = (- 1)^{n} x^{2 n}$

错误做法:

计算中心点在 $a = 2$ 的泰勒级数时，使用记忆的麦克劳林系数，只将 $x$ 替换为 $x - 2$ ，不对导数重新求值。

原因:

学生混淆了泰勒级数的一般形式和记忆的麦克劳林系数，认为移动 $x$ 就足够处理非零中心点了。

正确做法:

对于非零中心点，要么在 $a$ 处用定义重新计算系数，要么将函数改写为 $u = x - a$ 的形式，围绕 $u$ 构造级数。

错误做法:

逐项积分求 $ln (1 + x)$ 的级数时，在级数首项留下非零积分常数。

原因:

学生忘记 $ln (1 + 0) = 0$ ，因此中心点处的积分常数为零。

正确做法:

一定要在中心点 $a$ 处代入积分后的函数求解 $C$ ；对于麦克劳林级数，代入 $x = 0$ 到目标函数得到 $C$ 。

错误做法:

直接计算系数时，求 $e^{k x}$ 的 $n$ 阶导数，将 $f^{(n)} (0)$ 写为 $1$ 而非 $k^{n}$ 。

原因:

学生习惯了 $e^{x}$ 的导数，忘记链式法则会给线性内层函数带来额外的常数因子。

正确做法:

对于复合函数 $f (k x)$ ，一定要应用 $n$ 次链式法则，这会给 $n$ 阶导数带来额外因子 $k^{n}$ 。

错误做法:

当题目要求 $x^{2} sin (x)$ 中 $x^{5}$ 的系数时，直接取 $sin (x)$ 级数中 $x^{5}$ 的系数作为答案。

原因:

学生忘记乘以 $x^{2}$ 会让所有指数增加2。

正确做法:

如果乘以 $x^{k}$ ，新级数中 $x^{m}$ 的系数等于原级数中 $x^{m - k}$ 的系数。本例中， $x^{2} sin (x)$ 中 $x^{5}$ 的系数就是 $sin (x)$ 中 $x^{3}$ 的系数。

7. 速查表

类别	公式	注释
一般泰勒级数（中心点 $a$ ）	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}$	用于非零中心点或要求用定义的题目
一般麦克劳林级数	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}$	中心点 $a = 0$ 的泰勒级数特例，AP考试中最常见
换元法则	如果 $f (u) = \sum c_{n} u^{n}$ ，那么 $f (g (x)) = \sum c_{n} (g (x))^{n}$	收敛半径会调整，系数直接随换元改变
逐项求导	$f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} (x - a)^{n - 1}$	收敛半径和原级数相同
逐项积分	$\int f (x) d x = C + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c _{n}}{n + 1} (x - a)^{n + 1}$	在 $x = a$ 处求解 $C$ ；麦克劳林级数通常 $C = 0$
乘以 $x$ 的幂次	如果 $f (x) = \sum c_{n} x^{n}$ ，那么 $x^{k} f (x) = \sum c_{n} x^{n + k}$	仅指数移动，系数保持不变
标准： $e^{x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ ，所有实数 $x$	所有项非零，包含所有指数
标准： $sin x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$ ，所有实数 $x$	仅奇次幂，符号交替
标准： $cos x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ ，所有实数 $x$	仅偶次幂，符号交替
标准： $\frac{1}{1 - u}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} u^{n}$ ， $∣ u ∣ < 1$	换元法的基础几何级数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求修改后级数中 $x^{k}$ 的系数
2022 · FRQ
通过对几何级数求导推导级数
2021 · MCQ
通过对标准函数换元得到麦克劳林级数

下一步

现在你已经掌握了用所有常用方法构造泰勒级数和麦克劳林级数，你可以准备学习AP微积分BC考试中重点考察的更高级的级数主题了。接下来，你将学习如何求任意幂级数的收敛半径和收敛区间，检验区间端点的收敛性，然后使用拉格朗日误差界估计泰勒多项式近似的误差。掌握级数构造是所有这些主题的基础，因此你在这里学到的方法几乎会用在实际考试的每一道级数题目中。