# 收敛的比较判别法

> AP 微积分 BC · 第10单元：无穷数列与级数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-comparison-tests-for-convergence/

本模块讲解用于判断无穷级数敛散性的直接比较法和极限比较法，包括通过绝对收敛将其推广到含负项级数的应用，同时配备AP微积分BC的例题和考试技巧。

**先修:** 无穷级数敛散性的定义; p级数和几何级数的敛散性法则; 数列的基本极限运算法则

## 学习目标

- 陈述直接比较法和极限比较法所需的条件
- 运用比较判别法判断非负项级数的敛散性
- 将比较判别法推广，用于判断变号级数的绝对收敛性
- 识别并避免应用比较判别法时的常见错误

## 比较判别法概述

比较判别法是判断无穷级数敛散性的一组相关方法，核心思路是将未知敛散性的级数与一个已知敛散性的级数进行比较。该知识点占AP微积分BC考试总分的17-18%，在选择题和自由作答题中都经常出现。

与需要对通项积分的积分判别法不同，比较判别法依赖代数化简和对标准级数（p级数、几何级数）的了解，因此对大多数有理级数、根式级数和指数级数来说应用起来更快。所有比较判别法最初都是为非负项级数设计的，可通过绝对收敛推广到其他级数。

## 直接比较判别法

**直接比较判别法** — 对于两个非负级数，若$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$也收敛；若$\sum a_n$发散，则$\sum b_n$也发散。不等式只需要对所有足够大的$n$成立即可，因为前面有限项不会改变级数的敛散性。

*记法:* $0 \leq a_n \leq b_n$ for all $n \geq N$, for some finite $N$

*例:* 最适合用于你可以轻松将未知级数的项上界放缩为收敛级数，或下界放缩为发散级数的情况。

该法则的直观理解很简单：如果更大的上界级数都不发散，那么被它上界约束的更小级数就不可能发散。反之，如果更小的下界级数已经发散，那么任何更大的级数一定也发散。

> **tip**
>
> 始终要确认你的不等式方向符合你想要得到的结论：要证明收敛，未知级数必须小于已知的收敛级数；要证明发散，未知级数必须大于已知的发散级数。如果不等式方向不对，请改用极限比较判别法。

**例题:** 用直接比较判别法判断$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 5}$是否收敛。

1. 确认对所有$n \geq 1$，所有项都是非负的，满足判别法的核心要求。
2. 对所有$n \geq 1$，$n^2 + 5 > n^2$，取倒数后不等式方向不变：
3. $$0 < \frac{1}{n^2 + 5} < \frac{1}{n^2}$$
4. 比较级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$是$p=2 > 1$的p级数，已知它收敛。
5. 根据直接比较判别法，由于原级数小于一个非负项收敛级数，因此原级数收敛。

> **考试提示:** 得出结论前务必检查不等式方向

## 极限比较判别法

**极限比较判别法** — 若$0 < L < \infty$，$\sum a_n$和$\sum b_n$敛散性相同。对于边界情况：若$L=0$且$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$收敛；若$L = \infty$且$\sum b_n$发散，则$\sum a_n$发散。其他所有边界情况都无法得出结论。

*记法:* $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$, for non-negative $a_n, b_n$

*例:* 非常适合直接比较法需要复杂代数放缩的有理函数级数。

该方法的直观理解是，当$n$很大时，$a_n \approx L b_n$，因此两个整体级数的增长速度相同。这使得它非常适合$n$的有理函数，因为当$n$很大时，分子分母的首项决定了级数的性态。

> **tip**
>
> 对于有理形式的$a_n$，选择$b_n$时总是去掉所有低次项：只有分子分母中$n$的最高次幂会影响$n \to \infty$时的极限，这个捷径总能帮你得到正确的比较级数。

**例题:** 用极限比较判别法判断$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 1}{n^3 - 4n + 2}$是否收敛。

1. 当$n$很大时，分子首项是$2n$，分母首项是$n^3$，因此$a_n \approx \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}$。我们选择$b_n = \frac{1}{n^2}$，它是已知收敛的p级数的通项。
2. 确认对所有$n \geq 3$（前两项不影响敛散性），$a_n$和$b_n$都是正的，因此判别法适用。
3. 计算比值的极限：
4. $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n + 1)/(n^3 - 4n + 2)}{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + n^2}{n^3 - 4n + 2} = 2$$
5. 极限$L=2$是正的有限数，因此两个级数敛散性相同。$\sum \frac{1}{n^2}$收敛，所以原级数收敛。

## 将比较判别法推广到含负项的级数

核心的比较判别法仅适用于所有项非负（或所有项非正）的级数，因为它们依赖放缩来得出结论。要对正负混合项的级数应用比较法，我们需要利用绝对收敛和收敛的关系。

如果绝对值级数$\sum |a_n|$收敛，那么原级数$\sum a_n$绝对收敛，因此一定收敛。由于$\sum |a_n|$的所有项都是非负的，我们可以对这个变换后的级数应用直接比较法或极限比较法来检验收敛性。

需要记住的关键限制：如果$\sum |a_n|$发散，比较判别法无法告诉你原交错/变号级数的敛散性。这种情况下你需要用其他判别法（比如交错级数判别法）来检验条件收敛。

> **tip**
>
> 如果自由作答题要求你“用比较判别法”判断交错级数的收敛性，几乎可以肯定阅卷人希望你通过比较法检验绝对收敛来获得满分。

**例题:** 比较判别法能否确认$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{2^n + 1}$收敛？

1. 这是一个变号级数，因此我们通过分析$\sum |a_n| = \sum \frac{n}{2^n + 1}$来检验绝对收敛。
2. 对所有$n \geq 1$，$2^n + 1 > 2^n$，因此$\frac{n}{2^n + 1} < \frac{n}{2^n}$。我们用直接比较法和已知收敛的级数$\sum \frac{n}{2^n}$比较。
3. 根据直接比较判别法，$\sum |a_n|$收敛，因此原级数（绝对）收敛。比较法可以确认收敛性。

## AP风格概念检验

**概念自测**

用这道选择题检验你对比较判别法规则的理解：

1. 以下关于级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{3^n + 5^n}$的陈述哪一个是正确的？

   - A. 该级数可通过与收敛几何级数$\sum \left(\frac{4}{5}\right)^n$的直接比较判别法证明收敛
   - B. 该级数可通过与收敛几何级数$\sum \left(\frac{4}{3}\right)^n$的直接比较判别法证明收敛
   - C. 该级数可通过与发散几何级数$\sum \left(\frac{4}{5}\right)^n$的直接比较判别法证明发散
   - D. 该级数可通过第n项判别法发散，因为$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n}{3^n + 5^n}$不存在

   *答案:* A. 该级数可通过与收敛几何级数$\sum \left(\frac{4}{5}\right)^n$的直接比较判别法证明收敛

   *解析:* 正确：$ \frac{4^n}{3^n + 5^n} < \left(\frac{4}{5}\right)^n $，这是一个收敛的几何级数。其他选项错误：$\sum (4/3)^n$发散，$\sum (4/5)^n$收敛，且通项的极限为0。

## 常见错误

- **错误做法:** 用直接比较判别法声称$\sum \frac{1}{n^2 - 1}$收敛，因为$\frac{1}{n^2 - 1} > \frac{1}{n^2}$且$\sum \frac{1}{n^2}$收敛。
  - 原因: 学生记住了可以和p级数比较，但忘记不等式方向不符合想要得到的结论。
  - 正确做法: 始终要确认：要证明收敛，未知级数必须小于已知收敛级数；证明发散则反过来。如果不等式方向错误，请改用极限比较判别法。
- **错误做法:** 当$L=0$且比较级数发散时应用极限比较判别法，然后得出原级数发散的结论。
  - 原因: 学生错误地将$0 < L < \infty$的结论推广到边界情况。
  - 正确做法: 仅在以下边界情况得出结论：若$L=0$，只有当比较级数收敛时才能得出原级数收敛；若$L=\infty$，只有当比较级数发散时才能得出原级数发散。其他所有组合下，该判别法都无法得出结论。
- **错误做法:** 不先取绝对值就直接对交错级数应用比较判别法。
  - 原因: 学生忘记所有比较法都要求非负项。
  - 正确做法: 任何带正负混合项的级数都必须先对绝对值级数应用比较判别法。
- **错误做法:** 声称原级数发散，因为原级数大于一个收敛的比较级数。
  - 原因: 学生混淆了每种比较能得到的信息。
  - 正确做法: 如果原级数大于一个收敛级数，你得不到任何信息：原级数仍然可能收敛或发散，因此你需要尝试一个新的比较级数或换一种判别法。
- **错误做法:** 将$\sum \frac{1}{\sqrt{n}(n + 3)}$和$\sum \frac{1}{n}$比较，而不是$\sum \frac{1}{n^{3/2}}$比较。
  - 原因: 学生忘记把分母中$n$的指数相加来得到正确的p级数。
  - 正确做法: 对于任何$n$的幂/根式乘积，化简分母中$n$的总指数减去分子中$n$的指数，得到比较p级数的$p$值即可。

## 速查表

| 类别 | 法则/细节 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 直接比较判别法（非负项） | $0 \leq a_n \leq b_n$ for all $n \geq N$ | 若$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$收敛；若$\sum a_n$发散，则$\sum b_n$发散。只需对足够大的$n$成立即可。 |
| 极限比较判别法（非负项） | $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$, $0 < L < \infty$ | 两个级数敛散性相同。 |
| 极限比较边界情况1：$L=0$ | Only conclude convergence if $\sum b_n$ converges | 若$\sum b_n$发散则无法得出结论。 |
| 极限比较边界情况2：$L=\infty$ | Only conclude divergence if $\sum b_n$ diverges | No conclusion if $\sum b_n$ converges. |
| 全负项级数 | Apply tests to $\sum \|a_n\|$ | Convergence is identical to $\sum \|a_n\|$. |
| Mixed positive/negative terms | Test convergence of $\sum \|a_n\|$ | If $\sum \|a_n\|$ converges via comparison, original series converges. If $\sum \|a_n\|$ diverges, test is inconclusive. |
| Common convergent comparison series | p-series: $p>1$; geometric: $\|r\|<1$ | Go-to options for most AP problems. |
| Common divergent comparison series | p-series: $p \leq 1$; geometric: $\|r\| \geq 1$ | Use these to prove divergence. |

## 下一步

比较判别法是分析无法用第n项判别法或积分判别法轻松判断的一般项级数性态的基础工具。掌握比较判别法是学习第10单元后续内容的必要前提，后续内容从绝对收敛和条件收敛开始，然后是用于求幂级数收敛区间的比值判别法和根值判别法。该知识点也是估计收敛泰勒级数部分和误差的基础，这是AP考试中自由作答题的常见考点。

- [交错级数收敛判别法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-alternating-series-test-for-convergence/)
- [收敛比值审敛法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-ratio-test-for-convergence/)
- [判断绝对收敛或条件收敛](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-determining-absolute-or-conditional-convergence/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-comparison-tests-for-convergence/