交错级数误差界

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — 无穷序列与级数· 14 分钟阅读

1. 定理陈述与所需条件★★☆☆☆⏱ 4 min

交错级数误差界是一个简单且强大的定理，用于估计用有限部分和近似收敛交错级数的和时，最大可能误差。它是AP微积分BC课程框架明确要求的内容，定期出现在选择题和自由问答题中，常与泰勒多项式近似结合考察。

📘 定义

交错级数余项定理

$∣ R_{n} ∣ = ∣ S - S_{n} ∣ \leq a_{n + 1}$

对于满足交错级数判别法两个条件的交错级数，使用第 $n$ 个部分和 $S_{n}$ 近似精确和 $S$ 时，误差的大小不超过第一个被省略项 $a_{n + 1}$ 的大小。

要应用该定理，首先需要将任意交错级数改写为标准形式：

\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k \quad \text{where } a_k > 0 \text{ for all } k

$lim_{k \to \infty} a_{k} = 0$ (正项序列趋近于零)
序列 ${a_{k}}$ 对所有 $k \geq n$ 严格递减

从直观上看，收敛交错级数的部分和会在精确和附近振荡，因此在 $S_{n}$ 处停止近似后，误差绝不会超过下一个（第一个被省略）项的大小。

📐 例题

考虑交错级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k ^{2}}$ 。使用前4项做近似时，交错级数误差界是否适用？如果适用，最大可能误差是多少？

1
将级数改写为标准形式： $a_{k} = \frac{1}{k ^{2}}$ ，对所有 $k \geq 1$ 均为正。
2
检查第一个条件：
3
$\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k^2} = 0$
4
检查第二个条件： $a_{k + 1} = \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} < \frac{1}{k ^{2}} = a_{k}$ 对所有 $k \geq 1$ ，所以 ${a_{k}}$ 是严格递减。
5
对于 $n = 4$ 项，第一个被省略项是 $a_{5} = \frac{1}{5 ^{2}} = 0.04$ 。根据误差界， $∣ R_{4} ∣ \leq 0.04$ 。
6
结论：误差界适用，最大误差是 0.04。

2. 构造精确和的最紧区间★★★☆☆⏱ 4 min

得到部分和 $S_{n}$ 和误差界后，你可以构造一个能保证包含精确和 $S$ 的区间，这是AP考试的常见题型。除了误差的大小，我们还知道误差 $R_{n}$ 的符号与第一个被省略项相同，这让我们能得到比对称区间更紧的区间，这几乎是考试题目要求的答案。

If first neglected term is positive: $S_{n} < S \leq S_{n} + a_{n + 1}$
If first neglected term is negative: $S_{n} - a_{n + 1} \leq S < S_{n}$

📐 例题

对于级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{2 ^{k} k}$ ，使用前 3 项找出能包含精确和 $S$ 的最紧区间。

1
计算第 3 个部分和：
2
$S_3 = \frac{1}{2^1 1} - \frac{1}{2^2 2} + \frac{1}{2^3 3} = \frac{10}{24} \approx 0.4167$
3
验证误差界条件： $a_{k} = \frac{1}{2 ^{k} k}$ 是正，严格递减，且 $lim_{k \to \infty} a_{k} = 0$ ，所以误差界适用。第一个被省略项是 $a_{4} = \frac{1}{2 ^{4} 4} = 0.015625$ 。
4
级数的第 4 项是 $(- 1)^{4 + 1} a_{4} = - a_{4}$ ，所以符号为负，说明 $R_{3} = S - S_{3}$ 也为负，因此 $S < S_{3}$ 。
5
结合大小和符号： $- a_{4} \leq R_{3} < 0$ ，给所有部分加上 $S_{3}$ 得 $S_{3} - a_{4} < S < S_{3}$ 。
6
代入数值得到最终区间：
7
$0.4167 - 0.015625 < S < 0.4167 \implies 0.401 < S < 0.417$

3. 求满足给定误差容限的最少项数★★★☆☆⏱ 4 min

AP考试的常见题型是，求将交错级数的和近似到给定最大误差 $E$ 以内所需的最少项数。根据误差界， $∣ R_{n} ∣ \leq a_{n + 1}$ ，因此我们只需要找到满足 $a_{n + 1} < E$ 的最小整数 $n$ 即可。这类题目最常见的错误是混淆了 $n$ （使用的项数）和 $n + 1$ （第一个被省略项的下标）。

📐 例题

交错级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k !}$ 需要多少项才能将和的近似误差控制在 0.001 以内？

1
验证条件： $a_{k} = \frac{1}{k !}$ 为正，严格递减，且 $lim_{k \to \infty} a_{k} = 0$ ，所以误差界适用。我们要求 $∣ R_{n} ∣ < 0.001$ ，即要求 $a_{n + 1} < 0.001$ 。
2
列出不等式：
3
$\frac{1}{(n+1)!} < 0.001 \implies (n+1)! > 1000$
4
计算阶乘： $6! = 720 < 1000$ 且 $7! = 5040 > 1000$ ，所以 $n + 1 = 7$ 。
5
求解 $n$ ： $n = 7 - 1 = 6$ 。验证： $a_{7} \approx 0.0002 < 0.001$ （满足要求），而 $n = 5$ 时 $a_{6} \approx 0.0014 > 0.001$ （不满足要求）。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

收敛交错级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k ^{3}}$ 需要多少项，才能让近似和与精确值的误差小于 0.01？
- A) 3
- B) 4
- C) 5
- D) 10
显示答案
B) 4 —
正确！我们需要满足 $a_{n + 1} < 0.01$ ，化简得 $(n + 1)^{3} > 100$ 。满足该式的最小整数是 $n + 1 = 5$ ，因此需要 $n = 4$ 项。

4. 常见陷阱

错误做法:

将交错级数误差界应用于 ${a_{k}}$ 对所有 $k \geq n$ 不递减的交错级数。

原因:

学生忘记递减条件适用于 $n$ 之后的所有项，而不只是整个级数整体。

正确做法:

应用误差界前，务必验证对所有 $k \geq n$ 都有 $a_{k + 1} < a_{k}$ ，且仅当 $n \geq N$ （ $N$ 是序列变为递减的第一个下标）时才能使用误差界。

错误做法:

在求最少项数的题目中，解 $a_{n} < E$ 而不是 $a_{n + 1} < E$ ，导致答案少一项。

原因:

学生混淆了最后一个使用项的下标和第一个被省略项的下标。

正确做法:

给你的项明确标注：如果你使用的最后一项是第 $n$ 项，第一个被省略项就是第 $n + 1$ 项，因此不等式一定是 $a_{n + 1} < E$ 。

错误做法:

当题目要求最紧区间时，构造对称区间 $S_{n} - a_{n + 1} < S < S_{n} + a_{n + 1}$ 。

原因:

学生只记住了误差大小界，却忘记了能得到更紧区间的符号规则。

正确做法:

务必检查第一个被省略项的符号，然后按照本指南所示调整为单侧区间。

错误做法:

将交错级数误差界应用于发散交错级数。

原因:

学生默认所有交错级数都是收敛的。

正确做法:

应用误差界前，务必验证 $lim_{k \to \infty} a_{k} = 0$ （交错级数判别法第一个条件），因为该定理仅适用于收敛级数。

错误做法:

对正项泰勒级数的余项使用交错级数误差界。

原因:

学生混淆了交错级数误差界和拉格朗日误差界。

正确做法:

仅对满足交错级数判别法条件的收敛交错级数使用交错级数误差界；对符号不交替的一般泰勒级数使用拉格朗日误差界。

5. 速查表

类别	公式/规则	注释
标准形式	$\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} a_{k}, a_{k} > 0$	任何交错级数都可以改写为该形式
前提条件	$lim_{k \to \infty} a_{k} = 0$ 2. ${a_{k}}$ 严格递减 for $k \geq n$	误差界要求满足交错级数判别法的两个条件
误差界	$∣ R_{n} ∣ = ∣ S - S_{n} ∣ \leq a_{n + 1}$	$S$ = 精确和， $a_{n + 1}$ = 第一个被省略项
误差符号	$sign (R_{n}) = sign(first neglected term)$	用于构造 $S$ 的更紧区间
$S$ 的紧区间	正被省略项： $S_{n} < S \leq S_{n} + a_{n + 1}$ 负被省略项： $S_{n} - a_{n + 1} \leq S < S_{n}$	这是AP自由问答题要求的答案
误差 $E$ 所需最少项数	找到最小 $n$ such that $a_{n + 1} < E$	$n$ = 项数；常见错误使用 $a_{n} < E$
对称区间	$S_{n} - a_{n + 1} < S < S_{n} + a_{n + 1}$	总是正确，但比紧区间更宽

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · BC
自由问答题：交错泰勒级数的误差界
2019 · BC MCQ
求满足误差要求的最少项数

下一步

交错级数误差界是近似收敛级数和的关键前提，特别是交错泰勒级数的误差分析，这是AP微积分BC考试常考的知识点。掌握本主题后，你将能够应用交错级数误差界求交错泰勒多项式近似的误差；对于这类级数，该方法比拉格朗日误差界应用起来简单得多，也是选择题和自由问答题中常见的得分点。如果没有扎实掌握本主题，你会很难对泰勒近似给出误差界的证明，这是自由问答题中高分值的技能，而无穷序列与级数占AP微积分BC考试的约17%。