# 交错级数误差界

> AP 微积分 BC · 第10单元：无穷序列与级数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-alternating-series-error-bound/

本模块讲解交错级数余项定理（莱布尼茨误差界）、前提条件、最大误差计算、精确和的范围确定，以及求给定误差容限所需项数，这是AP微积分BC的高频考点。

**先修:** [交错级数的定义与交错级数判别法的收敛性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-alternating-series-convergence-test/); 部分和与基本求和符号

## 学习目标

- 陈述交错级数余项定理及其所需前提条件
- 计算用部分和近似求和时的最大误差
- 构造能保证包含交错级数精确和的最紧区间
- 找出满足给定误差容限所需的最少项数

## 定理陈述与所需条件

交错级数误差界是一个简单且强大的定理，用于估计用有限部分和近似收敛交错级数的和时，最大可能误差。它是AP微积分BC课程框架明确要求的内容，定期出现在选择题和自由问答题中，常与泰勒多项式近似结合考察。

**交错级数余项定理** — 对于满足交错级数判别法两个条件的交错级数，使用第 $n$ 个部分和 $S_n$ 近似精确和 $S$ 时，误差的大小不超过第一个被省略项 $a_{n+1}$ 的大小。

*记法:* $|R_n| = |S - S_n| \leq a_{n+1}$

要应用该定理，首先需要将任意交错级数改写为标准形式：

$$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k \quad \text{where } a_k > 0 \text{ for all } k$$

1. $\lim_{k \to \infty} a_k = 0$ (正项序列趋近于零)
2. 序列 $\{a_k\}$ 对所有 $k \geq n$ 严格递减

从直观上看，收敛交错级数的部分和会在精确和附近振荡，因此在 $S_n$ 处停止近似后，误差绝不会超过下一个（第一个被省略）项的大小。

**例题:** 考虑交错级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}$。使用前4项做近似时，交错级数误差界是否适用？如果适用，最大可能误差是多少？

1. 将级数改写为标准形式：$a_k = \frac{1}{k^2}$，对所有 $k \geq 1$ 均为正。
2. 检查第一个条件：
3. $$\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k^2} = 0$$
4. 检查第二个条件：$a_{k+1} = \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{1}{k^2} = a_k$ 对所有 $k \geq 1$，所以 $\{a_k\}$ 是严格递减。
5. 对于 $n=4$ 项，第一个被省略项是 $a_5 = \frac{1}{5^2} = 0.04$。根据误差界，$|R_4| \leq 0.04$。
6. 结论：误差界适用，最大误差是 0.04。

> **tip**
>
> 在自由问答题（FRQ）中应用误差界前，必须明确验证两个条件（序列递减、极限为零）。AP阅卷人要求给出该证明才能给满分。

## 构造精确和的最紧区间

得到部分和 $S_n$ 和误差界后，你可以构造一个能保证包含精确和 $S$ 的区间，这是AP考试的常见题型。除了误差的大小，我们还知道误差 $R_n$ 的符号与第一个被省略项相同，这让我们能得到比对称区间更紧的区间，这几乎是考试题目要求的答案。

- If first neglected term is positive: $S_n < S \leq S_n + a_{n+1}$
- If first neglected term is negative: $S_n - a_{n+1} \leq S < S_n$

**例题:** 对于级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2^k k}$，使用前 3 项找出能包含精确和 $S$ 的最紧区间。

1. 计算第 3 个部分和：
2. $$S_3 = \frac{1}{2^1 1} - \frac{1}{2^2 2} + \frac{1}{2^3 3} = \frac{10}{24} \approx 0.4167$$
3. 验证误差界条件：$a_k = \frac{1}{2^k k}$ 是正，严格递减，且 $\lim_{k\to\infty}a_k=0$，所以误差界适用。第一个被省略项是 $a_4 = \frac{1}{2^4 4} = 0.015625$。
4. 级数的第 4 项是 $(-1)^{4+1}a_4 = -a_4$，所以符号为负，说明 $R_3 = S - S_3$ 也为负，因此 $S < S_3$。
5. 结合大小和符号：$-a_4 \leq R_3 < 0$，给所有部分加上 $S_3$ 得 $S_3 - a_4 < S < S_3$。
6. 代入数值得到最终区间：
7. $$0.4167 - 0.015625 < S < 0.4167 \implies 0.401 < S < 0.417$$

> **tip**
>
> 如果AP题目要求给出包含精确和的区间，一定要利用第一个被省略项的符号得到紧区间。不必要的宽对称区间通常会被扣分。

## 求满足给定误差容限的最少项数

AP考试的常见题型是，求将交错级数的和近似到给定最大误差 $E$ 以内所需的最少项数。根据误差界，$|R_n| \leq a_{n+1}$，因此我们只需要找到满足 $a_{n+1} < E$ 的最小整数 $n$ 即可。这类题目最常见的错误是混淆了 $n$（使用的项数）和 $n+1$（第一个被省略项的下标）。

**例题:** 交错级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k!}$ 需要多少项才能将和的近似误差控制在 0.001 以内？

1. 验证条件：$a_k = \frac{1}{k!}$ 为正，严格递减，且 $\lim_{k\to\infty}a_k=0$，所以误差界适用。我们要求 $|R_n| < 0.001$，即要求 $a_{n+1} < 0.001$。
2. 列出不等式：
3. $$\frac{1}{(n+1)!} < 0.001 \implies (n+1)! > 1000$$
4. 计算阶乘：$6! = 720 < 1000$ 且 $7! = 5040 > 1000$，所以 $n+1 = 7$。
5. 求解 $n$：$n = 7 - 1 = 6$。验证：$a_7 \approx 0.0002 < 0.001$（满足要求），而 $n=5$ 时 $a_6 \approx 0.0014 > 0.001$（不满足要求）。

> **tip**
>
> 务必再次检查题目问的是什么：如果题目问的是项数，答案是 $n$，不是 $n+1$。这是这类题型最常见的粗心错误。

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 收敛交错级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^3}$ 需要多少项，才能让近似和与精确值的误差小于 0.01？

   - A) 3
   - B) 4
   - C) 5
   - D) 10

   *解析:* 正确！我们需要满足 $a_{n+1} < 0.01$，化简得 $(n+1)^3 > 100$。满足该式的最小整数是 $n+1=5$，因此需要 $n=4$ 项。

## 常见错误

- **错误做法:** 将交错级数误差界应用于 $\{a_k\}$ 对所有 $k \geq n$ 不递减的交错级数。
  - 原因: 学生忘记递减条件适用于 $n$ 之后的所有项，而不只是整个级数整体。
  - 正确做法: 应用误差界前，务必验证对所有 $k \geq n$ 都有 $a_{k+1} < a_k$，且仅当 $n \geq N$（$N$ 是序列变为递减的第一个下标）时才能使用误差界。
- **错误做法:** 在求最少项数的题目中，解 $a_n < E$ 而不是 $a_{n+1} < E$，导致答案少一项。
  - 原因: 学生混淆了最后一个使用项的下标和第一个被省略项的下标。
  - 正确做法: 给你的项明确标注：如果你使用的最后一项是第 $n$ 项，第一个被省略项就是第 $n+1$ 项，因此不等式一定是 $a_{n+1} < E$。
- **错误做法:** 当题目要求最紧区间时，构造对称区间 $S_n - a_{n+1} < S < S_n + a_{n+1}$。
  - 原因: 学生只记住了误差大小界，却忘记了能得到更紧区间的符号规则。
  - 正确做法: 务必检查第一个被省略项的符号，然后按照本指南所示调整为单侧区间。
- **错误做法:** 将交错级数误差界应用于发散交错级数。
  - 原因: 学生默认所有交错级数都是收敛的。
  - 正确做法: 应用误差界前，务必验证 $\lim_{k\to\infty}a_k=0$（交错级数判别法第一个条件），因为该定理仅适用于收敛级数。
- **错误做法:** 对正项泰勒级数的余项使用交错级数误差界。
  - 原因: 学生混淆了交错级数误差界和拉格朗日误差界。
  - 正确做法: 仅对满足交错级数判别法条件的收敛交错级数使用交错级数误差界；对符号不交替的一般泰勒级数使用拉格朗日误差界。

## 速查表

| 类别 | 公式/规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 标准形式 | $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k, \quad a_k>0$ | 任何交错级数都可以改写为该形式 |
| 前提条件 | 1. $\lim_{k\to\infty} a_k = 0$<br>2. $\{a_k\}$ 严格递减 for $k \geq n$ | 误差界要求满足交错级数判别法的两个条件 |
| 误差界 | $\|R_n\| = \|S - S_n\| \leq a_{n+1}$ | $S$ = 精确和，$a_{n+1}$ = 第一个被省略项 |
| 误差符号 | $\text{sign}(R_n) = \text{sign(first neglected term)}$ | 用于构造 $S$ 的更紧区间 |
| $S$ 的紧区间 | 正被省略项：$S_n < S \leq S_n + a_{n+1}$<br>负被省略项：$S_n - a_{n+1} \leq S < S_n$ | 这是AP自由问答题要求的答案 |
| 误差 $E$ 所需最少项数 | 找到最小 $n$ such that $a_{n+1} < E$ | $n$ = 项数；常见错误使用 $a_n < E$ |
| 对称区间 | $S_n - a_{n+1} < S < S_n + a_{n+1}$ | 总是正确，但比紧区间更宽 |

## 下一步

交错级数误差界是近似收敛级数和的关键前提，特别是交错泰勒级数的误差分析，这是AP微积分BC考试常考的知识点。掌握本主题后，你将能够应用交错级数误差界求交错泰勒多项式近似的误差；对于这类级数，该方法比拉格朗日误差界应用起来简单得多，也是选择题和自由问答题中常见的得分点。如果没有扎实掌握本主题，你会很难对泰勒近似给出误差界的证明，这是自由问答题中高分值的技能，而无穷序列与级数占AP微积分BC考试的约17%。

- [泰勒多项式的拉格朗日误差界](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-lagrange-error-bound/)
- [寻找函数的泰勒多项式逼近](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-finding-taylor-polynomial-approximations-of/)
- [幂级数的收敛半径与收敛区间](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-radius-and-interval-of-convergence/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-alternating-series-error-bound/