夹逼准则

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Limits and Continuity· 14 分钟阅读

1. 什么是夹逼准则？★★☆☆☆⏱ 3 min

夹逼准则（也称为三明治定理或夹挤定理）是计算无法通过直接代入、因式分解或共轭法求解的极限的核心工具。它属于第1单元：极限与连续性，该单元占AP微积分BC考试总分的10–12%，会出现在选择题和自由作答题中。

📘 定义

夹逼准则

\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \implies \lim_{x \to a} f(x) = L

若对包含 $a$ 的开区间内所有 $x$ （ $a$ 点本身可能除外），都有 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ，且当 $x \to a$ 时， $g (x)$ 和 $h (x)$ 的极限都等于同一个值 $L$ ，则当 $x \to a$ 时， $f (x)$ 的极限也一定等于 $L$ 。该定理仅需对定义域做小幅调整即可适用于单侧极限和无穷极限。

例:

用于对包含有界三角函数的表达式放缩，从而求其极限

核心直觉很简单：如果 $f (x)$ 被夹在两个都趋近于同一个值 $L$ 的函数之间，那么 $f (x)$ 只能也趋近于 $L$ 。

2. 将夹逼准则应用于有限极限★★☆☆☆⏱ 4 min

AP考试中夹逼准则最常见的入门应用就是计算：有界函数乘以在有限点处趋近于0的项的极限。我们几乎总是利用正弦和余弦的全局有界性，它们对任意实数输入的值域都是 $[- 1, 1]$ 。

对于任意形如 $p (x) \cdot cos (g (x))$ 的表达式，其中 $lim_{x \to a} p (x) = 0$ ，我们可以直接写出 $- ∣ p (x) ∣ \leq p (x) cos (g (x)) \leq ∣ p (x) ∣$ ，因为对任意 $g (x)$ 都有 $∣ cos (g (x)) ∣ \leq 1$ 。如果两个放缩界都趋近于0，那么整个极限就是0。这个方法也是证明基本三角极限 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ 和 $lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s x}{x} = 0$ 的基础，这两个极限是三角函数求导的必要前提。

📐 例题

使用夹逼准则计算 $lim_{x \to 0} x^{4} cos (\frac{3}{x ^{2}})$

1
从余弦的有界性出发，对所有 $x \neq = 0$ ， $cos (θ)$ 的值域为 $[- 1, 1]$ ，因此：
$-1 \leq \cos\left(\frac{3}{x^2}\right) \leq 1$
2
给不等式所有部分乘以 $x^{4}$ ， $x^{4}$ 对所有实数x都是非负的，因此不等式方向不变：
$-x^4 \leq x^4 \cos\left(\frac{3}{x^2}\right) \leq x^4$
3
计算上下放缩函数当 $x \to 0$ 时的极限：
$\lim_{x \to 0} (-x^4) = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0} x^4 = 0$
4
两个放缩函数都趋近于同一个极限0，因此根据夹逼准则，中间函数的极限也为0。
$\lim_{x \to 0} x^4 \cos\left(\frac{3}{x^2}\right) = 0$

Exam tip:

给不等式乘项时一定要确认该项的符号，如果乘以负数，你必须反转不等式方向才能得到正确的放缩函数。

3. 无穷极限的夹逼准则★★★☆☆⏱ 3 min

对于 $x \to \pm \infty$ 的极限，夹逼准则唯一的调整就是定义域条件：不等式 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ 只需要对所有大于某个大正常数 $M$ 的 $x$ （对应 $x \to + \infty$ ），或小于某个大负常数的 $x$ （对应 $x \to - \infty$ ）成立即可。核心逻辑完全相同：如果两个放缩界都收敛到同一个极限 $L$ ， $f (x)$ 也一定收敛到 $L$ 。

AP考试最常见的情况是：有界三角分子除以递增多项式分母，整个表达式被夹在两个都趋近于0的项之间。对于多个有界项的和，我们使用三角不等式 $∣ A + B ∣ \leq ∣ A ∣ + ∣ B ∣$ 来找到总模的紧上界。

📐 例题

使用夹逼准则计算 $lim_{x \to + \infty} \frac{3 s i n ( 2 e ^{x} ) - 5 c o s x}{x ^{2} + 4 x + 1}$ 。

1
放缩分子。对所有实数 $x$ ，正弦和余弦都有界于 $- 1$ 到 $1$ 之间，因此根据三角不等式：
$|3\sin(2e^x) - 5\cos x| \leq 3|\sin(2e^x)| + 5|\cos x| \leq 3(1) + 5(1) = 8$
2
化简后得到不等式：
$-8 \leq 3\sin(2e^x) - 5\cos x \leq 8$
3
分母 $x^{2} + 4 x + 1$ 对所有 $x > 0$ 都是正的，因此我们可以给不等式所有部分除以分母，不改变不等式方向：
$\frac{-8}{x^2 + 4x + 1} \leq \frac{3\sin(2e^x) - 5\cos x}{x^2 + 4x + 1} \leq \frac{8}{x^2 + 4x + 1}$
4
计算当 $x \to + \infty$ 时放缩界的极限：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{-8}{x^2 + 4x + 1} = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{8}{x^2 + 4x + 1} = 0$
5
应用夹逼准则：两个放缩界都趋近于0，因此中间函数的极限是0。
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3\sin(2e^x) - 5\cos x}{x^2 + 4x + 1} = 0$

Exam tip:

对多个有界函数的和放缩时，总是使用三角不等式得到最大可能的模，不要盲目猜测放缩界。这能保证你的不等式对所有 $x$ 都成立。

4. 单侧极限与连续性★★★☆☆⏱ 4 min

夹逼准则对单侧极限（ $x \to a^{+}$ 或 $x \to a^{-}$ ）和双侧极限同样适用，因此它是分析分段函数、验证边界点连续性的核心工具。对于单侧极限，不等式只需要在 $a$ 对应的一侧成立即可，收敛规则不变。

AP考试经常要求你求使得分段函数在边界连续的常数，这需要先用夹逼准则求出单侧极限，再令两侧相等得到常数，这种情况在带绝对值的分段函数中尤其常见。

📐 例题

设 $f (x) = {\frac{( x - 2 ) ^{2} s i n ( x - 2 )}{∣ x - 2∣} C x \neq = 2 x = 2$ 。使用夹逼准则求使得 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处连续的常数 $C$ 。

1
要使 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处连续，我们需要 $lim_{x \to 2} f (x) = C$ 。首先计算 $x \to 2^{-}$ 的左极限：当 $x < 2$ 时， $∣ x - 2∣ = - (x - 2)$ ，因此 $f (x) = - (x - 2) sin (x - 2)$ 。对 $sin (x - 2)$ 放缩得 $- 1 \leq sin (x - 2) \leq 1$ 。乘以 $- (x - 2) = (2 - x) > 0$ 得 $- (2 - x) \leq f (x) \leq (2 - x)$ 。当 $x \to 2^{-}$ 时，两个放缩界都趋近于0，因此 $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 0$ 。
2
计算 $x \to 2^{+}$ 的右极限：当 $x > 2$ 时， $∣ x - 2∣ = x - 2$ ，因此 $f (x) = (x - 2) sin (x - 2)$ 。对 $sin (x - 2)$ 放缩得到不等式：
$-(x-2) \leq (x-2)\sin(x-2) \leq (x-2)$
3
计算右极限的放缩界： $- (x - 2)$ 和 $(x - 2)$ 当 $x \to 2^{+}$ 时都趋近于0，因此 $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 0$ 。
4
双侧极限 $lim_{x \to 2} f (x) = 0$ ，因此 $C = 0$ 可使 $f$ 在 $x = 2$ 处连续。
$C = 0$

Exam tip:

对于边界带绝对值的分段函数，应用夹逼准则前一定要先拆分为单侧极限，确保每个侧的放缩不等式都是正确的。

5. 概念检验★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题检验你对夹逼准则的理解：

$lim_{x \to 0} x cos (\frac{2 e ^{1/ x^{2}}}{x})$ 等于以下哪个选项？
- A) $1$
- B) $2$
- C) $0$
- D) 极限不存在
显示答案
C) $0$ —
正确：使用夹逼准则，我们得到 $- ∣ x ∣ \leq x cos (\dots) \leq ∣ x ∣$ ，两个放缩界都趋近于0，因此极限为0。当整个表达式被夹到0时，余弦项的振荡不会影响极限存在。

6. 常见陷阱

错误做法:

给不等式乘以一个在区间内变号的项，且没有调整不等式方向。

原因:

学生经常默认 $x$ 的幂次在0附近都是正的，但奇次幂在 $x < 0$ 时是负的，这会导致不等式反转，得到错误的放缩界。

正确做法:

检查你的乘数在区间内是否始终非负；如果变号，拆分为单侧极限分别处理每一侧。

错误做法:

只找到一个放缩界就直接应用夹逼准则。

原因:

学生记住了表达式的一个常见上界，但忘记定理要求上下界都收敛到同一个极限。

正确做法:

总是同时推导出下界 $g (x)$ 和上界 $h (x)$ ，并在得出结论前确认两者极限相同。

错误做法:

当题目要求用夹逼准则证明 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ 时，使用洛必达法则证明。

原因:

$sin x$ 的导数本身就依赖于 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ ，因此这是循环论证，在AP考试中不得分。

正确做法:

即使其他方法能得到相同数值答案，也总是使用题目明确要求的方法。

错误做法:

仅因为右极限存在就声称双侧极限存在。

原因:

学生忘记双侧极限的夹逼准则要求不等式在求值点的两侧都成立。

正确做法:

在得出双侧极限结论前，总是验证你的放缩不等式对 $x < a$ 和 $x > a$ 都成立。

错误做法:

计算无穷极限时使用仅对小 $x$ 成立的放缩界。

原因:

学生混淆了有限极限和无穷极限的定义域条件，导致不等式不成立。

正确做法:

对无穷极限应用定理前，确认你的不等式对所有足够大（或足够小）的 $x$ 都成立。

7. 速查表

类别	表述/公式	注释
一般双侧有限极限	若在 $a$ 附近（ $x \neq = a$ ）有 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ， $lim g = lim h = L ⟹ lim f = L$	不等式仅需要在 $a$ 的开邻域内成立
单侧极限	和一般情况相同，不等式仅在 $a$ 的一侧成立	用于分段函数和绝对值边界问题
无穷极限	若对所有 $x > M$ （对应 $x \to + \infty$ ）有 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ， $lim g = lim h = L ⟹ lim f = L$	用于分母递增的有界函数
正弦/余弦的有界性	$- 1 \leq sin θ \leq 1$ ; $- 1 \leq cos θ \leq 1$	对任意实数 $θ$ 都成立，是最常用的初始放缩
基本三角极限1	$lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$	由单位圆不等式通过夹逼准则证明
基本三角极限2	$lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s x}{x} = 0$	由第一个极限推导得到，也可通过夹逼准则证明

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
计算有界函数的极限
2019 · FRQ
求使得函数连续的常数

下一步

掌握夹逼准则是第1单元：极限与连续性剩余内容的关键先修知识，包括验证三角函数在原本无定义点的连续性，以及计算无法通过因式分解或代入求解的未定式。学完第1单元后，每当你对正弦或余弦函数求导时，都会隐式用到夹逼准则，因为这些核心三角函数的导数依赖于通过夹逼准则证明的基本三角极限。在课程后面学习无穷级数和数列时，你会扩展夹逼准则来证明有界单调数列收敛，计算振荡数列的极限。你在这里学到的放缩技巧，在整个AP微积分BC的分析中都非常有用。