选择求极限的方法

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Limits and Continuity· 14 分钟阅读

1. 确定型极限的直接代入法★☆☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

直接代入法永远是你应该首先尝试的方法，因为它是最快最简单的方法。当函数 $f (x)$ 在我们趋近的点 $x = a$ 处连续时，这个方法适用。如果代入后得到一个有限实数，那这个就是极限值，求解完成。如果你代入后得到 $c /0$ for $c \neq = 0$ ，那么极限是无穷大或者不存在，这仍然是一个确定型结果。

📘 定义

直接代入法

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

若 $f$ 在 $a$ 处连续，则极限等于函数在 $a$ 处的函数值。适用于定义域内所有连续点处的连续函数。

例:

多项式、分母在 $a$ 处非零的有理函数、三角函数、指数函数和对数函数。

📐 例题

Evaluate $lim_{x \to 2} \frac{x ^{3} - 4 x + 1}{x ^{2} + 3}$

1
检查直接代入法是否适用：该函数是有理函数，先计算 $x = 2$ 处的分母：
2
$2^2 + 3 = 7 \neq 0$
3
函数在 $x = 2$ 处连续，因此代入分子计算：
4
$2^3 - 4(2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$
5
结果是一个有限实数，因此这就是极限：
6
$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 4x + 1}{x^2 + 3} = \frac{1}{7}$

Exam tip:

永远先试直接代入法。大约70%的AP基础极限题都可以用这个方法解决，能节省宝贵的考试时间。

2. 不定型$0/0$极限的代数变形法★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当直接代入得到不定型 $0/0$ 时，对于含多项式或根号的问题，代数变形是下一步应该尝试的方法。若分子分母在 $x = a$ 处都为零，则 $(x - a)$ 一定是可以约去的公因子，这不会改变极限，因为极限只取决于 $x = a$ 附近的值，和 $x = a$ 处的值无关。

📐 例题

Evaluate $lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{x - 3}$

1
尝试直接代入：代入 $x = 9$ 得到 $0/0$ ，这是不定型，需要进行代数变形。
2
将分子分母同乘以 $x - 3$ 的共轭根式 $x + 3$ ：
3
$\lim_{x \to 9} \frac{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \frac{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}{x - 9}$
4
约去公因子 $(x - 9)$ （该操作对 $x \neq = 9$ 成立，因此不改变极限）：
5
$\lim_{x \to 9} (\sqrt{x} + 3)$
6
使用直接代入得到最终结果：
7
$\sqrt{9} + 3 = 6$

Exam tip:

约去公因子后，一定要对化简后的表达式重新尝试直接代入。对于 $0/0$ 型的多项式/根号极限，化简后几乎总能得到有限结果。

3. 不定型极限的洛必达法则★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当代数变形不可行时，比如问题涉及超越函数（三角函数、指数函数、对数函数）或难以因式分解的高次多项式，洛必达法则是处理不定型的首选方法。它仅适用于不定型 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ ，但其他不定型可以重写为分数形式后使用该法则。

📘 定义

洛必达法则

If $lim_{x \to a} f (x)$ and $lim_{x \to a} g (x)$ are both 0 or both $\pm \infty$ , then $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ provided the right-hand limit exists.

例:

含超越函数的不定型极限。

📐 例题

Evaluate $lim_{x \to 0} \frac{s i n ( 2 x ^{2} )}{l n ( 1 + x ^{2} )}$

1
尝试直接代入： $sin (2 (0)^{2}) = 0$ and $ln (1 + 0) = 0$ ，因此我们得到有效的不定型 $0/0$ 。
2
分别对分子和分母求导：
3
$f(x) = \sin(2x^2) \implies f'(x) = 4x \cos(2x^2) \\ g(x) = \ln(1+x^2) \implies g'(x) = \frac{2x}{1+x^2}$
4
将极限重写为导数的比值并化简：
5
$\lim_{x \to 0} \frac{4x \cos(2x^2)}{\frac{2x}{1+x^2}} = \lim_{x \to 0} 2(1+x^2) \cos(2x^2)$
6
使用直接代入得到最终结果：
7
$2(1+0)\cos(0) = 2(1)(1) = 2$

Exam tip:

永远不要对确定型使用洛必达法则，也不要对整个商使用商的求导法则——你必须分别对分子和分母求导。

4. 振荡有界极限的夹逼定理★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

夹逼定理（也叫三明治定理）是处理有界振荡函数相关极限的正确方法，例如 $sin (\frac{1}{x})$ or $cos (\frac{1}{x})$ ，乘以趋近于零的函数（或者有界函数除以趋近于无穷的函数）。正弦和余弦这类三角函数始终有界于 $- 1$ 和 $1$ 之间，这让我们可以将函数夹在两个趋近于同一极限的界之间求解。

📘 定义

夹逼定理

If for all $x$ near $a$ (except possibly at $a$ ), $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ , and $lim_{x \to a} g (x) = lim_{x \to a} h (x) = L$ , then $lim_{x \to a} f (x) = L$ .

例:

乘以趋近于零的项的振荡有界函数。

📐 例题

Evaluate $lim_{x \to 0} x^{2} cos (\frac{5}{x})$

1
我们知道 $cos (\frac{5}{x})$ 对所有 $x \neq = 0$ 都有界于 $- 1$ 和 $1$ 之间。
2
写出整个函数的不等式（ $x^{2}$ 非负，因此不等号方向不变）：
3
$-x^2 \leq x^2 \cos\left(\frac{5}{x}\right) \leq x^2$
4
计算上下界的极限：
5
$\lim_{x \to 0} -x^2 = 0 \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0$
6
根据夹逼定理，中间函数的极限等于0。

Exam tip:

如果你看到含 $\frac{1}{x}$ 的三角函数，或是当 $x \to 0$ or $x \to \infty$ 时发生振荡的其他项，几乎一定用夹逼定理——代数变形和洛必达法则在这里都不适用。

5. 常见陷阱

错误做法:

对 $lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$ 使用洛必达法则，得到 $lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1} = 2$ ，因此得出极限为 $2$ 。

原因:

你没有在直接代入后检查极限形式就直接用了洛必达法则；原极限是 $2/0$ ，属于确定的无穷型，不是不定型。

正确做法:

永远先试直接代入，确认得到不定型后再使用洛必达法则。

错误做法:

对于 $lim_{x \to 2} \frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{( x - 2 ) ( x - 5 )}$ ，约去 $(x - 2)$ 后得出该函数处处等于 $\frac{x + 3}{x - 5}$ ，包括 $x = 2$ 处。

原因:

你混淆了 $x = 2$ 处的函数值和 $x \to 2$ 的极限，会得出关于连续性的错误结论。

正确做法:

记住，约去 $(x - a)$ 只是对 $x \neq = a$ 去掉公因子，因此极限不变，但原函数在 $x = a$ 处仍然没有定义。

错误做法:

对于 $lim_{x \to 0} \frac{e ^{2 x} - 1}{x}$ ，使用洛必达法则后，错误地将分母 $x$ 的导数写成 $0$ ，导致答案无意义。

原因:

你只专注于对更复杂的分子求导，忽略了简单的分母。

正确做法:

写出分子的 $f^{'} (x)$ 后，一定要在化简前明确写出分母的 $g^{'} (x)$ 。

错误做法:

花5分钟尝试对 $lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s x}{x ^{2}}$ 做多项式因式分解。

原因:

不管函数类型，你默认任何 $0/0$ 极限都用代数变形。

正确做法:

如果你遇到含超越函数的 $0/0$ 极限，立刻使用洛必达法则或标准三角极限。

错误做法:

因为 $sin x$ 振荡，得出 $lim_{x \to \infty} \frac{s i n x}{x}$ 不存在。

原因:

你忘了夹逼定理既适用于无穷远点也适用于有限点。

正确做法:

如果你遇到有界函数除以趋近于无穷的函数，建立夹逼定理不等式就能求出极限。

6. 速查表

方法	适用场景	核心规则
直接代入法	函数在 $x = a$ 处连续，确定型	$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ；得到有限数后即可停止
因式分解/约去公因子	$0/0$ 不定型多项式极限	Cancel common $(x - a)$ factor, then substitute
共轭相乘	$0/0$ 不定型极限含根号	乘以共轭根式消去根号，得到公因子
洛必达法则	不定型 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ ，尤其是超越函数	$lim \frac{f}{g} = lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ ；分别对分子/分母求导
夹逼定理	振荡有界函数乘以趋近于 $0/\infty$ 的项	将 $f (x)$ 夹在两个极限都为 $L$ 的函数之间
形式检查	所有极限问题	$0/0, \infty/\infty$ are indeterminate; $c /0 (c \neq = 0)$ is determinate (infinite)

真题中的出现

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下一步

掌握极限方法的选择是AP微积分BC所有后续内容的基础先决条件。本单元结束后，你会用极限求值通过差商定义导数，之后还会通过黎曼和的极限定义定积分。如果不能快速选择并应用正确的极限方法，你会很难计算导数定义和反常积分，这两者都依赖核心的极限技能。本主题也是级数收敛这类更高级主题的基础，你在那里应用极限比较检验法和比值检验法都需要计算数列极限。