从图像估计极限值

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — 极限与连续性· 14 分钟阅读

1. 从图像求单侧极限★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

单侧极限

$lim_{x \to a^{-}} f (x)$ (左极限), $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ (右极限)

单侧极限描述了当 $x$ 仅从一个方向趋近 $a$ （ $x < a$ 为左侧， $x > a$ 为右侧）时，函数趋近的 $y$ 值，与 $x = a$ 处的实际函数值无关。

要从图像估计单侧极限，沿着趋近方向追踪图像，读取图像趋近 $x = a$ 时接近的 $y$ 值即可。空心点、实心点和无定义点都不影响极限，只有给定侧 $a$ 附近的图像趋势才决定极限值。

📐 例题

函数 $f (x)$ 的图像在 $x = 4$ 处存在跳跃间断点：当 $x < 4$ 时，图像趋近 $(4, 1)$ 处的空心点；当 $x > 4$ 时，图像趋近 $(4, - 5)$ 处的空心点； $f (4) = 1$ 由 $(4, 1)$ 处的实心点标出。估计 $lim_{x \to 4^{-}} f (x)$ 和 $lim_{x \to 4^{+}} f (x)$ 。

1
从 $x < 4$ 的方向趋近 $x = 4$ ，沿着图像向 $x = 4$ 追踪。
2
图像趋近 $(4, 1)$ 空心点处的 $y$ 值 $1$ ，因此左极限等于 $1$ 。
3
虽然此处实心点的位置和趋近值一致，但即使实心点在不同的 $y$ 值位置，结果也不会改变。
4
对于右极限，从 $x > 4$ 的方向趋近 $x = 4$ ，沿着图像向 $x = 4$ 追踪。
5
图像趋近 $(4, - 5)$ 空心点处的 $y$ 值 $- 5$ ，因此右极限等于 $- 5$ 。
6
最终估计结果：
7
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = 1 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 4^+} f(x) = -5$

Exam tip:

在AP自由问答题（FRQ）中，你需要在单侧极限的证明过程中明确提及'从左侧/右侧趋近'才能获得满分。

2. 从图像求双侧极限★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

双侧极限

$lim_{x \to a} f (x) = L$

当且仅当 $x$ 趋近 $a$ 时的左极限和右极限都存在且等于 $L$ 时，双侧极限存在且等于有限值 $L$ 。 $f (a)$ 的值或存在性不影响双侧极限的存在性或值。

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

要从图像估计双侧极限，始终先估计两个单侧极限，再检查它们是否相等。如果相等，该值就是双侧极限；如果不相等，双侧极限不存在（DNE）。极限可以在 $f (a)$ 无定义（孔洞/可去间断点）的点存在，也可以在 $f (a)$ 的定义值和极限值 $y$ 不同的点存在。

📐 例题

$g (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ 的图像除 $x = 3$ 外处处与直线 $y = x + 3$ 重合， $x = 3$ 处存在孔洞 $(3, 6)$ ，函数在此处无定义。估计 $lim_{x \to 3} g (x)$ 。

1
求左极限：从左侧（ $x < 3$ ）趋近 $x = 3$ ，图像趋近 $y = 6$ ，所以 $lim_{x \to 3^{-}} g (x) = 6$ 。
2
接下来求右极限：从右侧（ $x > 3$ ）趋近 $x = 3$ ，图像也趋近 $y = 6$ ，所以 $lim_{x \to 3^{+}} g (x) = 6$ 。
3
尽管 $g (3)$ 无定义，两个单侧极限都等于 $6$ 。
4
根据双侧极限存在法则：
5
$\lim_{x \to 3} g(x) = 6$

Exam tip:

如果选择题选项说极限不存在，请务必再次检查单侧极限是否真的不相等。很多学生错误地在'单侧极限相等但函数在该点无定义'的情况下选择了不存在（DNE）。

3. 无穷极限与无穷远处的极限★★☆☆☆⏱ 4 min

另外两种常见的需要从图像估计的极限类型是无穷极限（垂直渐近线附近）和无穷远处的极限（端点行为）。

📘 定义

无穷极限

$lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$

描述当 $x$ 趋近 $x = a$ 处的垂直渐近线时 $f (x)$ 的无界行为。尽管我们用 $\pm \infty$ 表示它，但无穷极限不存在有限实数值。

📘 定义

无穷远处的极限

$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L$

描述当 $x$ 向正方向或负方向无限增长时 $f (x)$ 的端点行为。如果图像趋近水平渐近线 $y = L$ ，则极限等于 $L$ 。如果函数无限增长，则极限为无穷（作为有限值不存在）。

📐 例题

$h (x) = \frac{2 x}{x - 4}$ 的图像在 $x = 4$ 处有垂直渐近线，在 $y = 2$ 处有水平渐近线。估计：(a) $lim_{x \to 4^{-}} h (x)$ ，(b) $lim_{x \to 4^{+}} h (x)$ ，(c) $lim_{x \to \infty} h (x)$ 。

1
(a) 从左侧（ $x < 4$ ）趋近 $x = 4$ 时，图像向坐标平面下方无限递减，因此：
2
$\lim_{x \to 4^-} h(x) = -\infty$
3
(b) 从右侧（ $x > 4$ ）趋近 $x = 4$ 时，图像向平面上方无限递增，因此：
4
$\lim_{x \to 4^+} h(x) = \infty$
5
(c) 当 $x$ 向右无限增长时，图像趋近水平渐近线 $y = 2$ ，因此：
6
$\lim_{x \to \infty} h(x) = 2$

Exam tip:

如果AP问题问到'无穷极限是否存在'，你必须回答不存在。写出 $lim_{x \to a} f (x) = \infty$ 只是描述函数行为，不代表极限作为有限值存在。

4. AP风格练习题检测★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

$f (x)$ 的图像在 $x = - 1$ 处有以下特征：当 $x < - 1$ 时，随着 $x \to - 1^{-}$ ，图像趋近 $(- 1, 4)$ 处的空心点；当 $x > - 1$ 时，随着 $x \to - 1^{+}$ ，图像趋近 $(- 1, - 2)$ 处的空心点；函数在 $x = - 1$ 处有定义， $f (- 1) = 4$ ，由 $(- 1, 4)$ 处的实心点标出。 $lim_{x \to - 1} f (x)$ 的值是多少？
- A) $4$
- B) $- 2$
- C) 极限不存在
- D) $0$
显示答案
C) 极限不存在 —
只有当左右单侧极限相等时，双侧极限才存在。本题中左极限为 $4$ ，右极限为 $- 2$ ，二者不相等。 $f (- 1)$ 的值不影响极限的存在性。

📐 例题

$g (x)$ 的图像有以下关键特征： $x = 1$ 处存在垂直渐近线； $x = 3$ 处存在孔洞 $(3, 5)$ ， $g (3) = 1$ 由 $(3, 1)$ 处的实心点标出；当 $x \to \infty$ 时存在水平渐近线 $y = 2$ 。(a) 估计 $lim_{x \to 3} g (x)$ ，证明你的结论。(b) 当 $x \to 1^{-}$ ， $g (x)$ 无限递增，当 $x \to 1^{+}$ ， $g (x)$ 无限递减。用正确的符号写出单侧极限，并说明 $lim_{x \to 1} g (x)$ 是否作为有限值存在。(c) 估计 $lim_{x \to \infty} g (x)$ ，并解释这在图像端点行为方面的含义。

1
(a) 当 $x$ 从左侧和右侧都趋近3时，图像趋近 $(3, 5)$ 处的孔洞，因此两个单侧极限都等于5。由于单侧极限相等：
2
$\lim_{x \to 3} g(x) = 5$
3
$g (3) = 1$ 的值不改变极限，因为极限取决于 $x = 3$ 附近的行为，而非 $x = 3$ 处的行为。
4
(b) 单侧极限写为：
5
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \infty \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 1^+} g(x) = -\infty$
6
单侧极限不相等，且都不是有限值，因此 $lim_{x \to 1} g (x)$ 不作为有限值存在。
7
(c) 当 $x$ 向右无限增长时，图像趋近 $y = 2$ 处的水平渐近线，因此：
8
$\lim_{x \to \infty} g(x) = 2$
9
这意味着当 $x$ 越来越大时， $g (x)$ 的值会任意接近2。

5. 常见陷阱

错误做法:

当图像在 $(a, L)$ 处有孔洞，且 $f (a) = M \neq = L$ ，你认为 $lim_{x \to a} f (x) = M$ 。

原因:

学生混淆了函数在 $a$ 处的实际值和函数在 $a$ 附近趋近的值。

正确做法:

计算极限时始终忽略 $f (a)$ 的值（实心点标出的）；只使用空心点的 $y$ 值或 $x = a$ 附近的图像趋势。

错误做法:

当两个单侧极限都等于 $2$ ，你因为 $f (a)$ 无定义就认为极限不存在。

原因:

学生错误地认为如果函数在该点不存在，极限就不能存在。

正确做法:

$a$ 处极限的存在性仅取决于 $a$ 附近的单侧极限是否相等，与 $f (a)$ 是否有定义无关。如果单侧极限相等，无论 $f (a)$ 如何，极限都存在。

错误做法:

对于跳跃间断点，左极限 $3$ ，右极限 $3$ ，但一侧的实心点在 $y = 4$ ，你就得出极限不存在的结论。

原因:

学生混淆了实心点的位置（函数值）和图像趋势的极限。

正确做法:

只需要检查图像趋势给出的单侧极限；如果二者都趋近 $3$ ，无论实心点在哪里，极限都是 $3$ 。

错误做法:

你写出 $lim_{x \to a} f (x) = \infty$ ，然后声称极限存在。

原因:

学生认为将行为标记为无穷就意味着极限存在。

正确做法:

在AP考试中，如果被问到极限是否存在，你必须说明无穷极限不存在有限实数值，即使你可以用 $\pm \infty$ 描述它们的行为。

错误做法:

对于 $x \to \infty$ 的极限，你用图像上最大可见 $x$ 处的值近似，忽略了水平渐近线的趋势。

原因:

学生使用最近的可见点，而不是遵循端点行为。

正确做法:

对于无穷远处的极限，始终沿着图像向最左或最右的趋势找到水平渐近线，不要只读取最大可见 $x$ 处的值。

6. 速查表

类别	法则/符号	要点
左极限	$lim_{x \to a^{-}} f (x)$	$x$ 从 $x < a$ 趋近 $a$ 时 $f (x)$ 趋近的值；仅取决于 $a$ 左侧的行为
右极限	$lim_{x \to a^{+}} f (x)$	$x$ 从 $x > a$ 趋近 $a$ 时 $f (x)$ 趋近的值；仅取决于 $a$ 右侧的行为
双侧极限存在性	$lim_{x \to a} f (x) = L ⟺ lim_{x \to a^{-}} f (x) = lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$	当且仅当单侧极限相等时，极限存在且等于 $L$ ； $f (a)$ 不需要在 $a$ 处有定义
无穷极限（垂直渐近线）	$lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$	描述 $x = a$ 附近的无界增长；不存在有限值
无穷远处的极限	$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L$	等于 $x \to \pm \infty$ 时图像趋近的水平渐近线的 $y$ 值
孔洞（可去间断点）	$lim_{x \to a} f (x) =$ 孔洞的y坐标	$f (a)$ 在孔洞处无定义，但极限仍等于 $y$ 坐标
跳跃间断点	双侧极限不存在	单侧极限有限但不相等，因此双侧极限不存在
函数值 vs 极限	$f (a) \neq = L ⟹$ 无法推出极限不存在	极限与 $a$ 处的实际函数值无关

下一步

从图像估计极限值建立了对极限的核心直观理解，这是所有后续微积分学习的基础。学完本主题后，你接下来会学习计算极限的代数技巧，你在这里获得的图形直观理解将帮助你发现代数计算错误，并且在函数仅以图形给出的情况下（这是AP考试中常见的情况）解读结果。本主题也是第1单元下一个主要主题——分类间断类型和检验连续性的先修内容。长期来看，这种从图形理解极限行为的能力会支持你后续课程中学习导数定义、反常积分和有理函数的端点行为。不掌握这项技能，你会很难在考试题目中将抽象的极限定义和具体的函数行为联系起来。