利用极限的代数性质求极限

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 极限与连续性· 14 分钟阅读

1. 基础极限法则与直接代入法★☆☆☆☆⏱ 4 min

极限的基本代数性质称为极限法则，它可以让我们将复杂极限拆分为更简单、可求解的部分。所有法则都假设 $lim_{x \to a} f (x) = L$ 和 $lim_{x \to a} g (x) = M$ 都存在且为有限实数。

常数倍法则：对任意常数 $c$ ，有 $lim_{x \to a} c f (x) = c L$
和差法则： $lim_{x \to a} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$
乘积法则： $lim_{x \to a} [f (x) g (x)] = L M$
商法则：当且仅当 $M \neq = 0$ 时， $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{L}{M}$
幂/根法则： $lim_{x \to a} [f (x)]^{n} = L^{n}$ ，且 $lim_{x \to a} n f (x) = n L$ （n为偶数时要求 $L \geq 0$ )

📘 定义

直接代入法

对于任意在 $x = a$ 处连续的函数，有 $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ 。该方法成立的原因是连续的定义就是极限等于函数值，它适用于定义域内的所有标准函数。

📐 例题

利用极限的代数性质求 $lim_{x \to 2} (3 x^{2} - 5 x + 2 x + 1)$ 。

1
首先，确认函数在 $x = 2$ 处有定义：根号内的表达式为 $2 (2) + 1 = 5 > 0$ ，因此 $x = 2$ 在定义域内，可以使用直接代入法。
2
使用和差法则和常数倍法则拆分极限：
3
$\lim_{x \to 2} \left(3x^2 - 5x + \sqrt{2x + 1}\right) = 3\left(\lim_{x \to 2} x\right)^2 - 5\left(\lim_{x \to 2} x\right) + \sqrt{\lim_{x \to 2} (2x + 1)}$
4
利用基本恒等式 $lim_{x \to 2} x = 2$ 代入数值：
5
$= 3(2)^2 - 5(2) + \sqrt{2(2) + 1} = 12 - 10 + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$
6
最终极限为 $2 + 5$ 。

Exam tip:

使用直接代入前，务必先确认求值点在函数定义域内——如果在定义域内，就不需要额外计算了。

2. 0/0型未定式的因式分解与约分★★☆☆☆⏱ 3 min

当你把 $x = a$ 代入有理函数得到 $\frac{0}{0}$ 时，就得到了未定式。这不意味着极限不存在——仅说明商法则不能直接使用。 $\frac{0}{0}$ 几乎总是说明分子分母有公因子 $(x - a)$ 。因为我们求的是 $x \to a$ 的极限， $x$ 实际上永远不等于 $a$ ，所以我们可以安全地约去公因子，对化简后的表达式使用直接代入法。

📐 例题

求 $lim_{x \to - 3} \frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 9}$ 。

1
先尝试直接代入：在 $x = - 3$ 处，分子为 $(- 3)^{2} + (- 3) - 6 = 0$ ，分母为 $(- 3)^{2} - 9 = 0$ ，因此我们得到0/0型未定式，需要进行因式分解。
2
对分子和分母分别因式分解：
3
$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) \quad \text{and} \quad x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
4
约去公因子 $(x + 3)$ ，这是合法的，因为 $x \to - 3$ ，所以 $x \neq = - 3$ ，即 $(x + 3) \neq = 0$ 。化简后极限变为：
5
$\lim_{x \to -3} \frac{x - 2}{x - 3}$
6
对化简后的表达式使用直接代入法：
7
$\frac{-3 - 2}{-3 - 3} = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6}$
8
极限等于 $\frac{5}{6}$ 。

Exam tip:

如果代入后得到0/0，一定要先找公共一次因子——在AP考试中，十分之九的情况这个因子都能被完整约去。

3. 含根号未定式的有理化法★★★☆☆⏱ 3 min

当0/0型未定式包含根号时，因式分解无法直接使用，因此我们使用有理化方法。该方法利用平方差恒等式： $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ 。我们将分子分母同时乘以根式表达式的共轭式（共轭式改变根号项和常数项之间的符号，不改变根号内部的符号），消去根号，得到公因子，然后约分并代入。

📐 例题

求 $lim_{x \to 0} \frac{x + 4 - 2}{x}$ 。

1
尝试直接代入： $\frac{0 + 4 - 2}{0} = \frac{0}{0}$ ，属于未定式。由于存在根号，这里无法因式分解，因此我们使用有理化法。
2
将分子分母同乘以分子的共轭式 $x + 4 + 2$ ：
3
$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4} - 2)(\sqrt{x + 4} + 2)}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$
4
利用平方差展开分子：
5
$(x + 4) - (2)^2 = x + 4 - 4 = x$
6
表达式化简为：
7
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$
8
约去公因子 $x$ （合法，因为 $x \to 0$ ，所以 $x \neq = 0$ ），得到：
9
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$
10
直接代入得到最终结果：
11
$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$
12
极限等于 $\frac{1}{4}$ 。

Exam tip:

一定要把共轭式乘在含根号的那一侧：如果根号在分子，就乘以分子的共轭式；如果根号在分母，就乘以分母的共轭式。

4. 分段函数极限的代数求值★★★☆☆⏱ 4 min

当求x趋近于分段函数分段点的极限时，你需要使用适用于 $x < a$ 的表达式求左极限（ $x \to a^{-}$ ），使用适用于 $x > a$ 的表达式求右极限（ $x \to a^{+}$ ）。双侧极限存在当且仅当两个单侧极限相等。你可以使用相同的代数性质（直接代入、因式分解、有理化）分别计算每个单侧极限。

📐 例题

设 $f (x) = {\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} a x + 6 x < 2 x \geq 2$ ，求使 $lim_{x \to 2} f (x)$ 存在的 $a$ 的值。

1
计算左极限（ $x \to 2^{-}$ ），因此使用x<2的第一个表达式： $lim_{x \to 2^{-}} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ 。直接代入得到0/0，因此进行因式分解。
2
$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$
3
约去 $(x - 2)$ （对 $x \neq = 2$ 成立）后，左极限为 $2 + 2 = 4$ 。
4
计算右极限（ $x \to 2^{+}$ ），因此使用x≥2的第二个表达式：通过直接代入得到 $lim_{x \to 2^{+}} a x + 6 = 2 a + 6$ 。
5
要使双侧极限存在，令左极限等于右极限： $4 = 2 a + 6$ 。解得 $a$ ： $2 a = - 2$ ，因此 $a = - 1$ 。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

下列哪一项等于 $lim_{x \to 4} \frac{2 x - 8}{x ^{2} - 3 x - 4}$ ?
- $\frac{2}{5}$
- $\frac{1}{2}$
- $0$
- 极限不存在

Exam tip:

一定要反复核对哪一段对应哪一侧： $a^{-}$ 表示 $x < a$ ，因此使用 $x < a$ 对应的表达式，不要搞反。

5. 常见陷阱

错误做法:

直接代入得到0/0后立即得出极限不存在的结论。

原因:

学生将函数在a处无定义和极限在a处不存在混淆。0/0是未定式，不是最终结论。

正确做法:

如果得到0/0，在得出极限不存在的结论前，一定要先进行因式分解或有理化化简表达式。

错误做法:

约去 $(x - a)$ 因子后得出 $f (a)$ 等于化简后的值。

原因:

学生将 $x \to a$ 的极限和函数在a处的函数值混淆。

正确做法:

明确说明约分时 $x \neq = a$ ，因此等式仅对极限成立，不对a处的函数值成立。

错误做法:

分母极限为零时，未检查分子极限就使用商法则。

原因:

学生忘记0/0是未定式，而非零/零不存在有限极限。

正确做法:

如果分母极限为零，先检查分子：如果分子也为零，则化简；如果分子不为零，则极限不存在（或为无穷大）。

错误做法:

写错共轭式，改变了根号内部的符号而非项之间的符号。

原因:

学生混淆了共轭式中符号改变的位置。

正确做法:

记住 $A - B$ 的共轭式是 $A + B$ ：只改变两个项之间的符号，保留根号项不变。

错误做法:

分段函数求单侧极限时选错表达式，对 $x \to a^{-}$ 使用了 $x \geq a$ 的表达式。

原因:

学生混淆了左右极限的符号。

正确做法:

写一个快速提示： $a^{-}$ = 小于a， $a^{+}$ = 大于a，然后匹配到正确的分段表达式。

6. 速查表

类别	法则/公式	注意事项
基本常数/恒等法则	$lim_{x \to a} c = c$ , $lim_{x \to a} x = a$	对所有常数c和所有实数a都成立
和差法则	$lim_{x \to a} [f (x) \pm g (x)] = lim f (x) \pm lim g (x)$	要求两个极限都存在且有限
常数倍法则	$lim_{x \to a} [c f (x)] = c lim_{x \to a} f (x)$	要求 $f (x)$ 的极限存在
乘积/商法则	$lim [f g] = (lim f) (lim g)$ , $lim \frac{f}{g} = \frac{l i m f}{l i m g}$	商法则仅在 $lim g \neq = 0$ 时适用
幂/根法则	$lim [f (x)]^{n} = (lim f (x))^{n}$ , $lim n f (x) = n lim f (x)$	n为偶数时要求 $lim f (x) \geq 0$
直接代入法	若 $f$ 在a处连续， $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$	适用于定义域内所有连续函数
0/0型未定式	通过因式分解或有理化化简，约去 $(x - a)$ ，代入	合法，因为 $x \to a$ 意味着 $x \neq = a$
双侧极限存在条件	$lim_{x \to a} f (x) = L ⟺ lim_{x \to a^{-}} f (x) = lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$	所有分段函数极限问题都需要该条件

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求有理函数的极限
2022 · FRQ
求使极限存在的常数

下一步

本主题是AP微积分BC中所有后续基于极限的主题的基础代数工具。接下来，你将应用这些性质计算无穷极限和无穷远处的极限来求渐近线，之后还会用于级数收敛性检验。掌握这里的内容是学习核心主题的前提，比如通过极限定义求导数、计算反常积分，也为课程后续洛必达法则所需的未定式知识建立直觉。