# 利用极限的代数性质求极限

> AP 微积分 BC · CED 第一单元：极限与连续性
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u1-determining-limits-using-algebraic-properties/

本模块讲解核心代数极限法则、直接代入法、通过因式分解和有理化求解0/0型未定式，以及分段函数极限求值，这些内容占AP微积分BC考试的约10-12%。

**先修:** 基础极限符号和极限的非正式定义; 多项式、有理函数和根式的代数变形; 单侧极限符号和双侧极限存在法则

## 学习目标

- 陈述所有核心代数极限法则
- 对连续函数使用直接代入法求极限
- 通过因式分解和约分求解0/0型未定式
- 通过有理化求解含根号的未定式
- 利用单侧极限求分段函数的双侧极限

## 基础极限法则与直接代入法

极限的基本代数性质称为极限法则，它可以让我们将复杂极限拆分为更简单、可求解的部分。所有法则都假设$\lim_{x \to a} f(x) = L$和$\lim_{x \to a} g(x) = M$都存在且为有限实数。

1. 常数倍法则：对任意常数$c$，有$\lim_{x \to a} c f(x) = cL$
2. 和差法则：$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
3. 乘积法则：$\lim_{x \to a} [f(x) g(x)] = LM$
4. 商法则：当且仅当$M \neq 0$时，$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$
5. 幂/根法则：$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$，且$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$（n为偶数时要求$L \geq 0$)

**直接代入法** — 对于任意在$x=a$处连续的函数，有$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。该方法成立的原因是连续的定义就是极限等于函数值，它适用于定义域内的所有标准函数。

**例题:** 利用极限的代数性质求$\lim_{x \to 2} \left(3x^2 - 5x + \sqrt{2x + 1}\right)$。

1. 首先，确认函数在$x=2$处有定义：根号内的表达式为$2(2) + 1 = 5 > 0$，因此$x=2$在定义域内，可以使用直接代入法。
2. 使用和差法则和常数倍法则拆分极限：
3. $$\lim_{x \to 2} \left(3x^2 - 5x + \sqrt{2x + 1}\right) = 3\left(\lim_{x \to 2} x\right)^2 - 5\left(\lim_{x \to 2} x\right) + \sqrt{\lim_{x \to 2} (2x + 1)}$$
4. 利用基本恒等式$\lim_{x \to 2} x = 2$代入数值：
5. $$= 3(2)^2 - 5(2) + \sqrt{2(2) + 1} = 12 - 10 + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$$
6. 最终极限为$2 + \sqrt{5}$。

> **考试提示:** 使用直接代入前，务必先确认求值点在函数定义域内——如果在定义域内，就不需要额外计算了。

## 0/0型未定式的因式分解与约分

当你把$x=a$代入有理函数得到$\frac{0}{0}$时，就得到了未定式。这不意味着极限不存在——仅说明商法则不能直接使用。$\frac{0}{0}$几乎总是说明分子分母有公因子$(x-a)$。因为我们求的是$x \to a$的极限，$x$实际上永远不等于$a$，所以我们可以安全地约去公因子，对化简后的表达式使用直接代入法。

**例题:** 求$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 9}$。

1. 先尝试直接代入：在$x=-3$处，分子为$(-3)^2 + (-3) - 6 = 0$，分母为$(-3)^2 - 9 = 0$，因此我们得到0/0型未定式，需要进行因式分解。
2. 对分子和分母分别因式分解：
3. $$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) \quad \text{and} \quad x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$$
4. 约去公因子$(x + 3)$，这是合法的，因为$x \to -3$，所以$x \neq -3$，即$(x+3) \neq 0$。化简后极限变为：
5. $$\lim_{x \to -3} \frac{x - 2}{x - 3}$$
6. 对化简后的表达式使用直接代入法：
7. $$\frac{-3 - 2}{-3 - 3} = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6}$$
8. 极限等于$\frac{5}{6}$。

> **考试提示:** 如果代入后得到0/0，一定要先找公共一次因子——在AP考试中，十分之九的情况这个因子都能被完整约去。

## 含根号未定式的有理化法

当0/0型未定式包含根号时，因式分解无法直接使用，因此我们使用有理化方法。该方法利用平方差恒等式：$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$。我们将分子分母同时乘以根式表达式的共轭式（共轭式改变根号项和常数项之间的符号，不改变根号内部的符号），消去根号，得到公因子，然后约分并代入。

**例题:** 求$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$。

1. 尝试直接代入：$\frac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \frac{0}{0}$，属于未定式。由于存在根号，这里无法因式分解，因此我们使用有理化法。
2. 将分子分母同乘以分子的共轭式$\sqrt{x + 4} + 2$：
3. $$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4} - 2)(\sqrt{x + 4} + 2)}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$$
4. 利用平方差展开分子：
5. $$(x + 4) - (2)^2 = x + 4 - 4 = x$$
6. 表达式化简为：
7. $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$$
8. 约去公因子$x$（合法，因为$x \to 0$，所以$x \neq 0$），得到：
9. $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$$
10. 直接代入得到最终结果：
11. $$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$$
12. 极限等于$\frac{1}{4}$。

> **考试提示:** 一定要把共轭式乘在含根号的那一侧：如果根号在分子，就乘以分子的共轭式；如果根号在分母，就乘以分母的共轭式。

## 分段函数极限的代数求值

当求x趋近于分段函数分段点的极限时，你需要使用适用于$x < a$的表达式求左极限（$x \to a^-$），使用适用于$x > a$的表达式求右极限（$x \to a^+$）。双侧极限存在当且仅当两个单侧极限相等。你可以使用相同的代数性质（直接代入、因式分解、有理化）分别计算每个单侧极限。

**例题:** 设$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & x < 2 \\ ax + 6 & x \geq 2 \end{cases}$，求使$\lim_{x \to 2} f(x)$存在的$a$的值。

1. 计算左极限（$x \to 2^-$），因此使用x<2的第一个表达式：$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。直接代入得到0/0，因此进行因式分解。
2. $$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$$
3. 约去$(x - 2)$（对$x \neq 2$成立）后，左极限为$2 + 2 = 4$。
4. 计算右极限（$x \to 2^+$），因此使用x≥2的第二个表达式：通过直接代入得到$\lim_{x \to 2^+} ax + 6 = 2a + 6$。
5. 要使双侧极限存在，令左极限等于右极限：$4 = 2a + 6$。解得$a$：$2a = -2$，因此$a = -1$。

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 下列哪一项等于$\lim_{x \to 4} \frac{2x - 8}{x^2 - 3x - 4}$?

   - $\frac{2}{5}$
   - $\frac{1}{2}$
   - $0$
   - 极限不存在

   *答案:* $\frac{2}{5}$

   *解析:* 回答正确！对分子分母因式分解得到$\frac{2(x-4)}{(x-4)(x+1)}$，约去公因子$(x-4)$，然后代入$x=4$得到$\frac{2}{5}$。

> **考试提示:** 一定要反复核对哪一段对应哪一侧：$a^-$表示$x < a$，因此使用$x < a$对应的表达式，不要搞反。

## 常见错误

- **错误做法:** 直接代入得到0/0后立即得出极限不存在的结论。
  - 原因: 学生将函数在a处无定义和极限在a处不存在混淆。0/0是未定式，不是最终结论。
  - 正确做法: 如果得到0/0，在得出极限不存在的结论前，一定要先进行因式分解或有理化化简表达式。
- **错误做法:** 约去$(x-a)$因子后得出$f(a)$等于化简后的值。
  - 原因: 学生将$x \to a$的极限和函数在a处的函数值混淆。
  - 正确做法: 明确说明约分时$x \neq a$，因此等式仅对极限成立，不对a处的函数值成立。
- **错误做法:** 分母极限为零时，未检查分子极限就使用商法则。
  - 原因: 学生忘记0/0是未定式，而非零/零不存在有限极限。
  - 正确做法: 如果分母极限为零，先检查分子：如果分子也为零，则化简；如果分子不为零，则极限不存在（或为无穷大）。
- **错误做法:** 写错共轭式，改变了根号内部的符号而非项之间的符号。
  - 原因: 学生混淆了共轭式中符号改变的位置。
  - 正确做法: 记住$A - B$的共轭式是$A + B$：只改变两个项之间的符号，保留根号项不变。
- **错误做法:** 分段函数求单侧极限时选错表达式，对$x \to a^-$使用了$x \geq a$的表达式。
  - 原因: 学生混淆了左右极限的符号。
  - 正确做法: 写一个快速提示：$a^-$ = 小于a，$a^+$ = 大于a，然后匹配到正确的分段表达式。

## 速查表

| 类别 | 法则/公式 | 注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 基本常数/恒等法则 | $\lim_{x \to a} c = c$, $\lim_{x \to a} x = a$ | 对所有常数c和所有实数a都成立 |
| 和差法则 | $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x)$ | 要求两个极限都存在且有限 |
| 常数倍法则 | $\lim_{x \to a} [c f(x)] = c \lim_{x \to a} f(x)$ | 要求$f(x)$的极限存在 |
| 乘积/商法则 | $\lim [f g] = (\lim f)(\lim g)$, $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ | 商法则仅在$\lim g \neq 0$时适用 |
| 幂/根法则 | $\lim [f(x)]^n = (\lim f(x))^n$, $\lim \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim f(x)}$ | n为偶数时要求$\lim f(x) \geq 0$ |
| 直接代入法 | 若$f$在a处连续，$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ | 适用于定义域内所有连续函数 |
| 0/0型未定式 | 通过因式分解或有理化化简，约去$(x-a)$，代入 | 合法，因为$x \to a$意味着$x \neq a$ |
| 双侧极限存在条件 | $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$ | 所有分段函数极限问题都需要该条件 |

## 下一步

本主题是AP微积分BC中所有后续基于极限的主题的基础代数工具。接下来，你将应用这些性质计算无穷极限和无穷远处的极限来求渐近线，之后还会用于级数收敛性检验。掌握这里的内容是学习核心主题的前提，比如通过极限定义求导数、计算反常积分，也为课程后续洛必达法则所需的未定式知识建立直觉。

- [利用代数变形求极限](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u1-determining-limits-using-algebraic-manipulation/)
- [选择求极限的方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u1-selecting-procedures-for-determining-limits/)
- [夹逼准则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u1-squeeze-theorem/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u1-determining-limits-using-algebraic-properties/