绕x轴或y轴旋转的垫圈法

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 积分的应用· 14 分钟阅读

1. 什么是垫圈法？★☆☆☆☆⏱ 2 min

垫圈法是一种积分技巧，用于计算两条曲线之间的区域绕轴旋转形成的带中空内核的旋转体体积。垂直于旋转轴的每个截面都是一个"垫圈"（中心挖去一个小圆孔的扁平圆盘），该方法因此得名，它是实心旋转体圆盘法的扩展。

根据AP微积分AB课程和考试描述，本主题属于第8单元，占AP考试总分的10–15%。垫圈法题目会出现在选择题和自由问答题部分，考试中经常要求你在FRQ中建立或计算体积积分，因此这是一个高分值考点。

📘 定义

旋转体

由二维区域绕固定轴（旋转轴）旋转形成的三维立体

例:

两条曲线围成的区域绕x轴旋转

2. 绕x轴旋转（水平轴）★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当绕任意水平轴（形式为 $y = k$ ，包括x轴 $y = 0$ ）旋转时，垂直于轴的截面是竖直切片，因此我们对 $x$ 积分。一个垫圈的面积等于外圆面积减去内圆面积：

A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi\left(R^2 - r^2\right)

其中 $R (x)$ 是外半径（旋转轴到离轴更远曲线的距离），和 $r (x)$ 是内半径（旋转轴到离轴更近曲线的距离）。总体积是区域边界之间所有横截面积的积分：

V = \pi \int_a^b \left(\left[R(x)\right]^2 - \left[r(x)\right]^2\right)dx

绕x轴（ $y = 0$ ）旋转时，公式简化为 $R (x) = y_{upper} (x)$ 且 $r (x) = y_{lower} (x)$ ，因为 $y = 0$ 到曲线的距离就是曲线的 $y$ -值。

📐 例题

求由 $y = 2 x$ ， $y = x^{2}$ ， $0 \leq x \leq 2$ 围成的区域绕x轴旋转形成的立体体积。

1
确认旋转轴是水平轴（ $y = 0$ ），因此我们对 $x$ 积分，积分限为 $a = 0$ ， $b = 2$ 。
2
确定半径：在 $0$ 和 $2$ 之间， $2 x \geq x^{2}$ ，因此离x轴更远的曲线是 $y = 2 x$ ，更近的曲线是 $y = x^{2}$ 。因此：
3
$R(x) = 2x, \quad r(x) = x^2$
4
建立体积积分：
5
$V = \pi \int_0^2 \left((2x)^2 - (x^2)^2\right)dx = \pi \int_0^2 \left(4x^2 - x^4\right)dx$
6
计算定积分：
7
$V = \pi \left[\frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \pi \left(\frac{32}{3} - \frac{32}{5}\right) = \frac{64\pi}{15}$

Exam tip:

一定要先分别对每个半径平方再相减。千万不要先相减再平方，这总会得到错误的体积。

3. 绕y轴旋转（竖直轴）★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当绕任意竖直轴（形式为 $x = k$ ，包括y轴 $x = 0$ ）旋转时，垂直于轴的截面是水平切片，因此我们对 $y$ 积分。这意味着我们必须先把所有边界曲线改写为 $y$ 的函数，而不是把 $y$ 写成 $x$ 的函数。半径和面积的推导逻辑与水平轴的情况完全相同：

V = \pi \int_c^d \left(\left[R(y)\right]^2 - \left[r(y)\right]^2\right)dy

绕y轴（ $x = 0$ ）旋转时， $R (y) = x_{right} (y)$ （离轴更远）且 $r (y) = x_{left} (y)$ （离轴更近）。

📐 例题

求由 $y = 2 x$ ， $y = x^{2}$ ， $0 \leq y \leq 4$ 围成的区域绕y轴旋转形成的立体体积。

1
确认旋转轴是竖直轴（ $x = 0$ ），因此我们对 $y$ 积分，积分限为 $c = 0$ ， $d = 4$ 。将两条曲线都改写为 $x$ 关于 $y$ 的函数。
2
改写函数：
3
$y = 2x \implies x = \frac{y}{2}; \quad y = x^2 \implies x = \sqrt{y} \quad (\text{positive root for this region})$
4
确定半径：在 $0$ 和 $4$ 之间， $y \geq \frac{y}{2}$ ，因此 $R (y) = y$ （离y轴更远）， $r (y) = \frac{y}{2}$ （离y轴更近）。
5
建立并计算积分：
6
$V = \pi \int_0^4 \left((\sqrt{y})^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2\right)dy = \pi \int_0^4 \left(y - \frac{y^2}{4}\right)dy$
7
$V = \pi \left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{12}\right]_0^4 = \pi \left(8 - \frac{64}{12}\right) = \frac{8\pi}{3}$

Exam tip:

计算半径前一定要把所有函数改写为积分变量的形式。在同一个积分中混合 $x$ 和 $y$ 会在FRQ中直接失分。

4. 绕非坐标轴旋转★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

AP微积分AB考试题目经常要求绕不是x轴或y轴的轴旋转（例如 $y = 2$ ， $x = - 1$ ）。核心逻辑保持不变，但你必须正确将半径计算为曲线与平移后轴之间的距离，而不只是曲线的值。

📐 例题

求由 $y = 2 x$ ， $y = x^{2}$ ， $0 \leq x \leq 2$ 围成的区域绕水平线 $y = 5$ 旋转形成的立体体积。

1
旋转轴是水平轴（ $y = 5$ ），因此对 $x$ 积分，积分限为 $0$ 到 $2$ 。整个区域都在 $y = 5$ 下方，因此所有距离都是 $5 - y$ 。
2
确定半径：下曲线 $y = x^{2}$ 离 $y = 5$ 更远，因此它是外半径，上曲线 $y = 2 x$ 离 $y = 5$ 更近，因此它是内半径：
3
$R(x) = 5 - x^2, \quad r(x) = 5 - 2x$
4
建立积分：
5
$V = \pi \int_0^2 \left((5 - x^2)^2 - (5 - 2x)^2\right)dx$
6
化简并计算积分：
7
$(25 - 10x^2 + x^4) - (25 - 20x + 4x^2) = x^4 - 14x^2 + 20x$
8
$V = \pi \int_0^2 (x^4 - 14x^2 + 20x)dx = \pi \left[\frac{x^5}{5} - \frac{14x^3}{3} + 10x^2\right]_0^2 = \frac{136\pi}{15}$

Exam tip:

在区间内取一个测试点来确认 $R > r$ ：如果你的被积函数是负的，说明你交换了外半径和内半径。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这些AP风格的选择题测试你的理解：

区域 $R$ 由 $y = x$ ， $y = 2$ ，和 $x = 0$ 围成。以下哪个选项给出了 $R$ 绕y轴旋转形成的立体体积？
- A) $π \int_{0}^{4} ((y^{2})^{2} - 0^{2}) d y$
- B) $π \int_{0}^{2} (2^{2} - (x)^{2}) d x$
- C) $π \int_{0}^{2} ((y^{2})^{2} - 0^{2}) d y$
- D) $π \int_{0}^{4} (y - 4) d x$
显示答案
2 —
正确。绕竖直y轴旋转需要对 $y$ 积分，积分限从 $y = 0$ 到 $y = 2$ ，符合本选项。A的积分限错误，B使用了错误的积分变量，D不正确。
设 $R$ 是由 $y = x^{2} + 1$ ， $y = x + 3$ ， $x \geq 0$ 围成的区域。使用垫圈法求 $R$ 绕水平线 $y = - 1$ 旋转的体积，以下哪个积分是正确的？
- A) $π \int_{0}^{2} ((x + 3)^{2} - (x^{2} + 1)^{2}) d x$
- B) $π \int_{- 1}^{2} ((x + 4)^{2} - (x^{2} + 2)^{2}) d x$
- C) $π \int_{0}^{2} ((x + 4)^{2} - (x^{2} + 2)^{2}) d x$
- D) $π \int_{0}^{2} ((x + 2)^{2} - (x^{2} + 1)^{2}) d x$
显示答案
2 —
正确。曲线交点在 $x = 2$ ，因此积分限为 $x = 0$ 到 $x = 2$ 。半径是到 $y = - 1$ 的距离：外半径是 $(x + 3) - (- 1) = x + 4$ ，内半径是 $(x^{2} + 1) - (- 1) = x^{2} + 2$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

写 $(R - r)^{2}$ 而不是 $R^{2} - r^{2}$ ，先减半径再平方。

原因:

学生把因式分解规则和圆面积公式弄混，或者建立时赶时间。

正确做法:

始终先分别对每个半径平方，然后用外半径平方减去内半径平方。

错误做法:

绕竖直轴旋转时对 $x$ 积分，绕水平轴旋转时对 $y$ 积分。

原因:

学生忘记截面必须垂直于旋转轴，这决定了积分变量。

正确做法:

任意水平轴都对 $x$ 积分；任意竖直轴都对 $y$ 积分，并且先改写所有函数。

错误做法:

非坐标轴的半径直接取函数值，例如绕 $y = 2$ 旋转时，写 $R (x) = x^{2}$ 而不是 $∣2 - x^{2} ∣$ 。

原因:

学生习惯了绕x轴（ $y = 0$ ）旋转，忘记平移轴需要调整半径。

正确做法:

始终将半径计算为曲线与轴之间的绝对差： $∣ 曲线 - 轴 ∣$ 。

错误做法:

交换外半径和内半径，导致被积函数为负。

原因:

学生搞不清哪条曲线离轴更远，尤其是当轴在区域上方或左侧时。

正确做法:

确定半径后，在区间内测试一个点，确认 $R > r$ 且被积函数为正。

错误做法:

即使要求数值体积，也忘记给整个积分乘 $π$ 。

原因:

学生记住了核心被积函数，但遗漏了圆面积公式中的常数。

正确做法:

建立积分时先在积分外写上 $π$ ，再进行其他步骤。

错误做法:

绕竖直轴旋转对 $y$ 积分时，仍然把函数保留为 $x$ 的形式。

原因:

学生更习惯把 $y$ 写成 $x$ 的函数，忘记反解。

正确做法:

一旦确认要对 $y$ 积分，在计算半径前先把所有函数反解得到 $x$ 关于 $y$ 的函数。

7. 速查表

类别	公式	注释
一般垫圈横截面积	$A = π (R^{2} - r^{2})$	$R$ = 外半径（离轴最远）， $r$ = 内半径（离轴最近），均为正
体积，绕水平轴 $y = k$ 旋转	$V = π \int_{a}^{b} ([R (x)]^{2} - [r (x)]^{2}) d x$	对 $x$ 积分； $R (x) = ∣ y_{farthest} - k ∣$ ， $r (x) = ∣ y_{closest} - k ∣$
体积，绕x轴（ $y = 0$ ）	$V = π \int_{a}^{b} ([y_{upper} (x)]^{2} - [y_{lower} (x)]^{2}) d x$	水平轴的特殊情况， $k = 0$ ，半径等于函数 $y$ 值
体积，绕竖直轴 $x = k$	$V = π \int_{c}^{d} ([R (y)]^{2} - [r (y)]^{2}) d y$	对 $y$ 积分；先把所有函数改写为 $x (y)$
体积，绕y轴（ $x = 0$ ）	$V = π \int_{c}^{d} ([x_{right} (y)]^{2} - [x_{left} (y)]^{2}) d y$	竖直轴的特殊情况， $k = 0$ ，半径等于函数 $x$ 值
平移非坐标轴的半径	$R a d i u s = ∣ curve - axis ∣$	绝对值保证半径为正；离轴最远的曲线 = 外半径
圆盘法（垫圈法的特殊情况）	$V = π \int R^{2} d (variable)$	当区域与旋转轴相切时，内半径 $r = 0$ ，垫圈变为实心圆盘

下一步

垫圈法建立在你对两条曲线间面积的知识基础上，将二维积分扩展到计算三维旋转体的体积，这是AP微积分AB考试中被大量考察的核心应用。掌握该方法是圆柱壳法（另一种旋转体体积的主要方法）的前提，并且与你接下来要学习的已知截面体积使用相同的截面积分逻辑。错误的半径设置或错误的积分变量是第8单元自由问答题失分的首要原因，因此持续练习可以帮助你拿到满分。

→绕非坐标轴旋转的垫圈法