# 截面法求体积：三角形与半圆形截面

> AP 微积分 AB · 积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-volumes-with-cross-sections-triangles/

本模块将讲解如何使用通用切片法计算已知三角形和半圆形截面的不规则三维立体体积，覆盖AP微积分AB考试中垂直于两种坐标轴的切片情况。

**先修:** [定积分求曲线间面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-area-between-curves/); 基础几何面积公式; 将$x$的函数改写为$y$的函数

## 学习目标

- 应用通用切片法计算已知截面形状立体的体积
- 计算带有三角形截面（等边三角形、等腰直角三角形）的立体体积
- 计算带有半圆形截面的立体体积
- 为垂直于x轴或y轴的切片正确建立积分表达式

## 已知截面体积的通用求解方法

截面法求体积（常称为切片法求体积）是定积分的一类应用，用于计算不规则三维立体的体积，这类立体垂直于固定轴切割得到的任意截面都是已知形状。该知识点占AP微积分AB考试总分的2-4%，会在选择题和自由问答题部分都出现。核心思路是将立体分割为无穷多个薄平行切片，每个切片的体积≈截面积×切片厚度，再通过积分得到精确的总体积。

**切片法求体积** — 一种求解已知截面形状立体体积的方法，通过定积分对无穷多个薄切片的体积求和。

*例:* 垂直于x轴切割得到半圆形截面的立体

对于区间$[a,b]$上垂直于$x$-轴的截面：

$$V = \int_a^b A(x) dx$$

对于区间$[c,d]$上垂直于$y$-轴的截面：

$$V = \int_c^d A(y) dy$$

1. 确定切片方向，明确需要$A(x)$还是$A(y)$
2. 根据底区域的边界求出截面的边长/直径长度
3. 计算截面面积
4. 在整个区间上积分

**例题:** 某立体的底由圆$x^2 + y^2 = 25$围成，垂直于$x$-轴的截面为直径落在底上的半圆，请建立该立体体积的积分（不要求计算）。

1. 确定切片方向：截面垂直于$x$-轴，因此我们需要$A(x)$，对$x$积分。
2. 求直径长度：解出$y$得到边界：$y = \pm \sqrt{25 - x^2}$，直径就是上下边界之间的距离：
3. $$d(x) = \sqrt{25-x^2} - (-\sqrt{25-x^2}) = 2\sqrt{25-x^2}$$
4. 求截面面积：半径$r = d(x)/2 = \sqrt{25-x^2}$，半圆的面积为：
5. $$A(x) = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (25-x^2)$$
6. 圆的范围是$x=-5$到$x=5$，因此体积的最终积分表达式为：
7. $$V = \int_{-5}^5 \frac{1}{2}\pi (25-x^2) dx$$

> **考试提示:** 建立积分前，一定要明确标注面积是$x$还是$y$的函数；积分变量与面积函数匹配可以避免常见的变量混淆错误。

## 三角形截面的体积

三角形截面总有一条边落在立体的底区域上。任意三角形的通用面积公式是$A = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$。对于考试中常考的三角形类型，我们可以根据落在底上的边长$s$推导出固定面积公式：

- **边长为$s$的等边三角形**：高 = $\frac{\sqrt{3}}{2}s$，因此面积 $A = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$
- **直角边$s$落在底上的等腰直角三角形**：高 = $s$，因此面积 $A = \frac{1}{2}s^2$
- **斜边$s$落在底上的等腰直角三角形**：直角边长 = $\frac{s}{\sqrt{2}}$，因此面积 $A = \frac{1}{4}s^2$

底边长$s$的计算永远是底区域两条边界曲线之间的距离：沿x轴切片时，$s(x) = y_{\text{上}} - y_{\text{下}}$；沿y轴切片时，$s(y) = x_{\text{右}} - x_{\text{左}}$。

**例题:** 某立体的底由$y = x^2$和$y = 4x$围成的区域，垂直于$x$-轴的截面是底边落在两条曲线之间的等边三角形，求该立体的体积。

1. 通过求解曲线交点得到积分区间：
2. $$x^2 = 4x \implies x(x-4) = 0 \implies x=0, x=4$$
3. 等边三角形的底边长为：
4. $$s(x) = 4x - x^2$$
5. 计算截面面积：
6. $$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}s(x)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(4x - x^2)^2 = \sqrt{3}\left(4x^2 - 2x^3 + \frac{x^4}{4}\right)$$
7. 在区间上积分得到总体积：
8. $$\begin{align*}V &= \sqrt{3} \int_0^4 \left(4x^2 - 2x^3 + \frac{x^4}{4}\right) dx \\&= \sqrt{3} \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{20} \right]_0^4 \\&= \frac{128\sqrt{3}}{15} \approx 14.78\end{align*}$$

> **考试提示:** 一定要确认三角形的底边还是斜边落在底区域上；搞混会得到错误的面积公式，这是选择题中最常见的干扰项设置。

## 半圆形截面的体积

半圆形截面几乎总是直径落在底区域上，因此直径长度等于底区域两条边界曲线之间的距离。从半圆面积公式出发，我们可以得到一个节省时间的实用结论：

$$A = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}$$

如果你忘记了这个结论，随时可以重新推导。对于垂直于y轴的切片，只需要将$d(y)$计算为左右x值的差，再对y积分即可。

**例题:** 某立体的底由$y = x^2$、$x=0$和$y=9$围成的区域，垂直于$y$-轴的截面是直径落在底上的半圆，求该立体的体积。

1. 切片垂直于y轴，因此将$y = x^2$改写为$x \geq 0$时的$x = \sqrt{y}$，使用$A(y)$计算。
2. y的范围是0到9，直径为：
3. $$d(y) = \sqrt{y} - 0 = \sqrt{y}$$
4. 使用结论计算截面面积：
5. $$A(y) = \frac{\pi d(y)^2}{8} = \frac{\pi (\sqrt{y})^2}{8} = \frac{\pi y}{8}$$
6. 积分得到总体积：
7. $$V = \int_0^9 \frac{\pi y}{8} dy = \frac{\pi}{8} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^9 = \frac{81\pi}{16} \approx 15.90$$

> **考试提示:** 记住半圆面积是整圆面积的一半；使用整圆面积公式会得到两倍于正确值的体积，这是非常常见的错误。

## AP风格练习题

**概念自测**

用这道AP风格选择题测试你的理解：

1. 某立体的底由$y = \sqrt{x}$、$y = 0$和$x = 4$围成，垂直于$x$-轴的截面是直径落在底上的半圆，该立体的体积是多少？

   - (A) $2\pi$
   - (B) $4\pi$
   - (C) $\pi$
   - (D) $\frac{\pi}{2}$

   *解析:* 切片垂直于x轴，区间为0到4，直径$d(x) = \sqrt{x}$，面积$A(x) = \frac{\pi x}{8}$，积分得到$V = \pi$。

**例题:** 某立体的底是由$y = -x^2 + 4$和x轴围成的区域$R$。(a) 垂直于$x$-轴的截面是一条直角边落在底上的等腰直角三角形，求体积。(b) 垂直于$y$-轴的截面是直径落在底上的半圆，请建立积分。(c) 如果垂直于x轴的截面是等边三角形，请建立积分。

1. （a）问：令$-x^2 + 4 = 0 \implies x = \pm 2$得到积分区间，因此$x \in [-2, 2]$。直角边长$s(x) = -x^2 + 4$，面积$A(x) = \frac{1}{2}(-x^2 + 4)^2$。
2. 利用对称性简化积分：
3. $$\begin{align*}V &= \int_{-2}^2 \frac{1}{2}(x^4 - 8x^2 + 16) dx = \int_0^2 (x^4 - 8x^2 + 16) dx \\&= \frac{256}{15} \approx 17.07\end{align*}$$
4. （b）问：改写为y的函数：$x = \pm \sqrt{4 - y}$，$y \in [0,4]$。直径$d(y) = 2\sqrt{4-y}$，面积$A(y) = \frac{\pi}{2}(4-y)$，积分表达式为：
5. $$V = \int_0^4 \frac{\pi}{2}(4 - y) dy$$
6. （c）问：对于边长为$s(x) = -x^2 + 4$的等边三角形，积分表达式为：
7. $$V = \int_{-2}^2 \frac{\sqrt{3}}{4}(-x^2 + 4)^2 dx$$

**例题:** 一位土木工程师设计了一座曲线人行天桥，垂直于长度方向的截面为半圆形。天桥跨度为x从0到20米，位置x处的截面直径为$d(x) = 4 + 0.1x$米，直径落在地面上。所需混凝土的总体积是多少（保留到小数点后一位，单位立方米）？

1. 切片垂直于x轴，区间从0到20，截面面积为：
2. $$A(x) = \frac{\pi (4 + 0.1x)^2}{8} = \frac{\pi}{8}(16 + 0.8x + 0.01x^2)$$
3. 积分得到总体积：
4. $$\begin{align*}V &= \frac{\pi}{8} \int_0^{20} (16 + 0.8x + 0.01x^2) dx \\&= \frac{\pi}{8} \left[ 16x + 0.4x^2 + \frac{0.01x^3}{3} \right]_0^{20} \\&\approx 199.0\end{align*}$$
5. 所需混凝土的总体积约为199.0立方米。

## 常见错误

- **错误做法:** 斜边$s$落在底上的等腰直角三角形，错误地使用$\frac{1}{2}s^2$作为面积。
  - 原因: 学生记住了直角边在底上的公式，当斜边在底上时忘记调整。
  - 正确做法: 永远根据给定的边的位置，从$\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$推导出面积，而不是依赖记忆的公式。
- **错误做法:** 半圆形截面将半径错误取为直径$r = d$（整个直径长度）。
  - 原因: 学生写面积公式时太匆忙，忘记将直径除以2。
  - 正确做法: 即使你记得结论，也要每次都一步步写：先直径，再半径，再面积。
- **错误做法:** 当截面垂直于$y$-轴时，错误地写出$A(x)$并对$x$积分。
  - 原因: 学生习惯了沿$x$-轴切片，忘记切换变量。
  - 正确做法: 确定切片方向后，在答题开头明确标注'垂直于$x$ → 对$x$积分'或'垂直于$y$ → 对$y$积分'。
- **错误做法:** 当底区域从负$y$延伸到正$y$时，错误地仅将$y$的上边界值作为底边长，而不是用上$y$减下$y$。
  - 原因: 当一个边界是$x$-轴（$y=0$）时，学生习惯了直接取上$y$，忘记对原点中心对称区域调整。
  - 正确做法: 无论下边界是不是零，底边长都永远等于上边界减下边界。
- **错误做法:** 原点中心对称的底范围是$-a$到$a$，错误地仅从$0$到$a$积分。
  - 原因: 学生只考虑了区域的正半部分，漏掉了负半部分。
  - 正确做法: 永远要找到边界曲线的所有交点，得到完整的积分区间。
- **错误做法:** 错误地将半圆面积结论记为$A = \frac{\pi r^2}{8}$，正确应为$A = \frac{\pi d^2}{8}$。
  - 原因: 学生混淆了这个结论是用直径还是半径表示的。
  - 正确做法: 如果你记不清结论，从头重新推导面积公式即可。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 通用体积公式（垂直于$x$-轴） | $V = \int_a^b A(x) dx$ | $A(x)$ = x处的截面面积，$a,b$是底的x方向边界 |
| 通用体积公式（垂直于$y$-轴） | $V = \int_c^d A(y) dy$ | $A(y)$ = y处的截面面积，$c,d$是底的y方向边界 |
| 等边三角形（边长$s$在底上） | $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ | 适用于所有等边三角形截面 |
| 等腰直角三角形（直角边$s$在底上） | $A = \frac{1}{2} s^2$ | $s$ = 落在底区域上的直角边长度 |
| 等腰直角三角形（斜边$s$在底上） | $A = \frac{1}{4} s^2$ | $s$ = 落在底区域上的斜边长度 |
| 半圆（直径$d$在底上） | $A = \frac{\pi d^2}{8}$ | 由$A = \frac{1}{2}\pi r^2$推导得到，$r = d/2$ |
| 底边长（沿x轴切片） | $s(x) = y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}$ | 永远上减下，即使下边界是$y=0$ |
| 底边长（沿y轴切片） | $s(y) = x_{\text{right}} - x_{\text{left}}$ | 永远右减左，即使左边界是$x=0$ |

## 下一步

截面切片法求体积是第8单元积分应用中下一个核心知识点——旋转体体积的直接前置知识。旋转体体积只是已知截面体积的特殊情况，每个截面都是圆或圆环，因此掌握这里$A(x)$的建立和积分变量匹配，会让旋转体体积的学习直观得多。本知识点还巩固了定积分的核心思想：对无穷多个小量求和得到总量，建立在你之前学习的曲线间面积知识基础上。这种通用切片方法可以推广到其他积分应用中，如果你继续学习AP微积分BC，弧长和表面积的计算也需要该方法。

- [绕x轴或y轴旋转的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-disc-method-around-the-x/)
- [绕非坐标轴旋转的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-disc-method-around-other-axes/)
- [绕x轴或y轴旋转的垫圈法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-washer-method-around-the-x/)

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