已知截面体积法：正方形与矩形

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Applications of Integration· 14 分钟阅读

1. 核心概念：截面体积切片法★★☆☆☆⏱ 2 min

该知识点在AP微积分AB考试总分中约占4-6%，会出现在选择题和自由问答题两种题型中。

核心思路是将不规则立体切割为无穷多个薄平行切片，每个切片都有已知的截面形状。根据AP考试的惯例，立体的基底始终是xy平面内的有界区域，截面垂直于x轴或y轴。

📘 定义

截面体积法

V = \int_a^b A(x) \, dx

总体积通过累加所有薄切片的体积得到。每个切片的体积等于截面面积乘以切片厚度（垂直切片厚度为dx，水平切片厚度为dy）。

例:

对于位置 $x$ 处的垂直切片，体积≈ $A (x) d x$ ，因此总体积是 $A (x)$ 在整个区间上的积分。

2. 垂直于x轴的正方形截面★★☆☆☆⏱ 4 min

当截面垂直于x轴时，切片是垂直的，因此我们对x积分。首先确定积分区间，也就是覆盖整个基底区域的x取值范围。

s(x) = y_{top}(x) - y_{bottom}(x)

A(x) = [s(x)]^2 = \left(y_{top}(x) - y_{bottom}(x)\right)^2

V = \int_a^b \left(y_{top}(x) - y_{bottom}(x)\right)^2 dx

📐 例题

某立体的基底由 $y = x^{2}$ 、 $y = 4$ 和y轴围成，其中 $x \geq 0$ 。垂直于x轴的截面为正方形，求该立体的体积。

1
确定x的积分区间
$x^2 = 4 \implies x = 2 \ (x \geq 0), \text{ so } a=0, b=2$
2
计算正方形截面的边长
$s(x) = 4 - x^2$
3
展开边长的平方，计算截面面积
$A(x) = (4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4$
4
建立并计算定积分
$V = \int_0^2 (16 - 8x^2 + x^4) dx = \left[16x - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5}\right]_0^2$
5
化简得到最终体积
$V = 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} = \frac{256}{15} \approx 17.07$

Exam tip:

积分前一定要展开正方形截面的二项式平方——未展开的二项式几乎总会导致积分错误。

3. 垂直于y轴的正方形截面★★★☆☆⏱ 4 min

当截面垂直于y轴时，切片是水平的，因此我们对y积分。核心逻辑和x轴的情况完全相同，只是坐标轴交换了。所有边界曲线都必须改写为y的函数，这是很多学生容易遗漏的步骤。

s(y) = x_{right}(y) - x_{left}(y)

V = \int_c^d \left(x_{right}(y) - x_{left}(y)\right)^2 dy

📐 例题

某立体的基底由 $y = x^{2}$ 、 $y = 4$ 和y轴围成，其中 $x \geq 0$ 。垂直于y轴的截面为正方形，求该立体的体积。

1
将所有边界曲线改写为y的函数
$y = x^2 \implies x = \sqrt{y} \ (x \geq 0), \text{ left bound } x=0$
2
基底从 $y = 0$ （原点）延伸到 $y = 4$ ，所以 $c = 0$ ， $d = 4$
3
计算边长和截面面积
$s(y) = \sqrt{y} - 0 = \sqrt{y}, \quad A(y) = (\sqrt{y})^2 = y$
4
积分求解总体积
$V = \int_0^4 y dy = \left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^4 = 8$

Exam tip:

计算垂直于y轴的截面的边长前，一定要显式解出x，避免积分中出现混合变量。

4. 一般矩形截面★★★☆☆⏱ 6 min

正方形是矩形截面的特殊情况，此时矩形的高等于底长（也就是穿过基底区域的距离）。AP考试经常考查一般矩形，其高可以是常数、底的倍数，或是位置的函数。对任意矩形，面积等于底 × 高：

垂直于x轴：底 $b (x) = y_{t o p} (x) - y_{b o tt o m} (x)$ ，体积 $V = \int_{a}^{b} b (x) \cdot h (x) d x$
垂直于y轴：底 $b (y) = x_{r i g h t} (y) - x_{l e f t} (y)$ ，体积 $V = \int_{c}^{d} b (y) \cdot h (y) d y$

📐 例题

某立体的基底由 $y = sin x$ 、 $y = 0$ 、 $x = 0$ 和 $x = π$ 围成。垂直于x轴的截面为矩形，每个矩形的高是底长的3倍，求该立体的体积。

1
$a = 0$ ， $b = π$
2
计算矩形的底长
$b(x) = \sin x - 0 = \sin x$
3
计算高和截面面积
$h(x) = 3 \sin x, \quad A(x) = (\sin x)(3 \sin x) = 3 \sin^2 x$
4
使用降幂公式计算积分
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \\ V = \int_0^\pi 3 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{3}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^\pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

某立体的基底是由 $y = 2 x$ 和 $y = x^{2}$ 围成的区域，垂直于x轴的截面为正方形，该立体的体积是多少？
- $\frac{8}{15}$
- $\frac{16}{15}$
- $\frac{32}{15}$
- $8$
显示答案
1 —
正确！展开积分后计算结果为 $\frac{16}{15}$ 。如果你得到了不同的结果，请检查你是否正确展开了 $(2 x - x^{2})^{2}$ ，并在区间端点正确计算了原函数。

Exam tip:

不要自动默认截面是正方形——写出面积公式前，一定要核对题目描述，确认底和高的关系。

5. 常见陷阱

错误做法:

对于垂直于y轴的截面，将边界保留为 $y = f (x)$ 的形式，并用垂直距离计算边长。

原因:

你依赖肌肉记忆，没有确认截面的方向。

正确做法:

写出面积公式前，先标记截面垂直的坐标轴，再确认边长是垂直（垂直x轴时）还是水平（垂直y轴时）的。

错误做法:

不展开 $(y_{t o p} - y_{b o tt o m})^{2}$ ，错误地将其积分算为 $\frac{( y _{t o p} - y _{b o tt o m} ) ^{3}}{3 ( y _{t o p}^{'} - y _{b o tt o m}^{'} )}$ 。

原因:

你错误地将幂积分法则应用于复合函数，没有检查换元条件。

正确做法:

积分前一定要逐项展开二项式平方。

错误做法:

对于矩形截面，只将给定的高作为面积，忽略了基底区域的底长。

原因:

你读错题目，误以为给定的高就是整个面积。

正确做法:

对任意矩形，一定要先计算出穿过基底区域的底长，再乘以给定的高得到面积。

错误做法:

当基底由三条曲线围成时，自动使用两条曲线的交点作为积分区间，忽略了第三条边界（如y轴或x轴）。

原因:

你没有画出基底区域，因此遗漏了额外的边界线。

正确做法:

建立积分前，一定要画出基底区域并标记所有边界，确认积分区间。

错误做法:

对y积分但仍将边界曲线保留为 $y = f (x)$ ，导致积分中出现混合变量。

原因:

你记得要对y积分，但忘记将所有曲线改写为 $x = f (y)$ 的形式。

正确做法:

写出边长表达式前，一定要将所有边界解为x关于y的函数。

6. 速查表

类别	公式	说明
正方形截面（垂直于x轴）	$V = \int_a^b (y_{top}(x) - y_{bottom}(x))^2 dx	$a$ = 左x边界， $b$ = 右x边界；边长 = 曲线间的垂直距离
正方形截面（垂直于y轴）	$V = \int_c^d (x_{right}(y) - x_{left}(y))^2 dy	$c$ = 下y边界， $d$ = 上y边界；所有曲线改写为 $x = f (y)$ 的形式
矩形截面（垂直于x轴）	$V = \int_a^b b(x) h(x) dx	$b (x)$ = 底长 = 垂直距离； $h (x)$ = 高，题目给定
矩形截面（垂直于y轴）	$V = \int_c^d b(y) h(y) dy	$b (y)$ = 底长 = 水平距离；所有曲线改写为 $x = f (y)$ 的形式
作为特殊矩形的正方形	$A = b(x) \cdot b(x) = [b(x)]^2	正方形是高等于底长的矩形
缩放后的截面	$V_{new} = s^2 V_{old}	如果所有边长缩放比例为 $s$ ，体积缩放比例为 $s^{2}$
等高矩形	$V = h \cdot (\text{Area of base region})	如果高为常数，可以将高提出来，乘以基底区域的面积

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · AB MCQ
正方形截面体积计算
2019 · AB FRQ
矩形截面的积分建立

下一步

掌握截面体积法是第8单元下一个核心知识点——旋转体体积的关键先修内容。旋转体体积可以看作截面体积法的特殊情况，其截面是垂直于坐标轴的圆（或圆环）。你在这里学到的技能——确定积分区间、求边界曲线之间的距离、建立积分累加截面面积得到体积——可以直接应用到旋转体体积的圆盘/圆环法。如果不掌握这里的截面建立方法，你会很难正确建立旋转体问题的体积积分，而旋转体是AP考试自由问答题中非常常见的考点。