# 已知截面体积法：正方形与矩形

> AP 微积分 AB · 第8单元：积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-volumes-with-cross-sections-squares/

本模块将教你求解已知截面形状（垂直于x轴或y轴的正方形与矩形）的不规则立体体积。你将学习推导面积公式、建立并计算积分，以及确定基底区域的正确积分区间。

**先修:** [求两条曲线之间的面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-area-between-curves/); 计算定积分; 将函数改写为关于另一坐标轴变量的形式

## 学习目标

- 确定截面体积问题中正确的积分区间
- 计算垂直于x轴或y轴的正方形、矩形的截面面积
- 建立并计算定积分以求解总体积
- 避免截面体积问题中的常见考试错误

## 核心概念：截面体积切片法

该知识点在AP微积分AB考试总分中约占4-6%，会出现在选择题和自由问答题两种题型中。

核心思路是将不规则立体切割为无穷多个薄平行切片，每个切片都有已知的截面形状。根据AP考试的惯例，立体的基底始终是xy平面内的有界区域，截面垂直于x轴或y轴。

**截面体积法** — 总体积通过累加所有薄切片的体积得到。每个切片的体积等于截面面积乘以切片厚度（垂直切片厚度为dx，水平切片厚度为dy）。

*记法:* V = \int_a^b A(x) \, dx

*例:* 对于位置$x$处的垂直切片，体积≈$A(x)dx$，因此总体积是$A(x)$在整个区间上的积分。

## 垂直于x轴的正方形截面

当截面垂直于x轴时，切片是垂直的，因此我们对x积分。首先确定积分区间，也就是覆盖整个基底区域的x取值范围。

$$s(x) = y_{top}(x) - y_{bottom}(x)$$

$$A(x) = [s(x)]^2 = \left(y_{top}(x) - y_{bottom}(x)\right)^2$$

$$V = \int_a^b \left(y_{top}(x) - y_{bottom}(x)\right)^2 dx$$

**例题:** 某立体的基底由$y = x^2$、$y = 4$和y轴围成，其中$x \geq 0$。垂直于x轴的截面为正方形，求该立体的体积。

1. 确定x的积分区间

   $$x^2 = 4 \implies x = 2 \ (x \geq 0), \text{ so } a=0, b=2$$
2. 计算正方形截面的边长

   $$s(x) = 4 - x^2$$
3. 展开边长的平方，计算截面面积

   $$A(x) = (4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4$$
4. 建立并计算定积分

   $$V = \int_0^2 (16 - 8x^2 + x^4) dx = \left[16x - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5}\right]_0^2$$
5. 化简得到最终体积

   $$V = 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} = \frac{256}{15} \approx 17.07$$

> **考试提示:** 积分前一定要展开正方形截面的二项式平方——未展开的二项式几乎总会导致积分错误。

## 垂直于y轴的正方形截面

当截面垂直于y轴时，切片是水平的，因此我们对y积分。核心逻辑和x轴的情况完全相同，只是坐标轴交换了。所有边界曲线都必须改写为y的函数，这是很多学生容易遗漏的步骤。

$$s(y) = x_{right}(y) - x_{left}(y)$$

$$V = \int_c^d \left(x_{right}(y) - x_{left}(y)\right)^2 dy$$

**例题:** 某立体的基底由$y = x^2$、$y = 4$和y轴围成，其中$x \geq 0$。垂直于y轴的截面为正方形，求该立体的体积。

1. 将所有边界曲线改写为y的函数

   $$y = x^2 \implies x = \sqrt{y} \ (x \geq 0), \text{ left bound } x=0$$
2. 基底从$y=0$（原点）延伸到$y=4$，所以$c=0$，$d=4$
3. 计算边长和截面面积

   $$s(y) = \sqrt{y} - 0 = \sqrt{y}, \quad A(y) = (\sqrt{y})^2 = y$$
4. 积分求解总体积

   $$V = \int_0^4 y dy = \left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^4 = 8$$

> **考试提示:** 计算垂直于y轴的截面的边长前，一定要显式解出x，避免积分中出现混合变量。

## 一般矩形截面

正方形是矩形截面的特殊情况，此时矩形的高等于底长（也就是穿过基底区域的距离）。AP考试经常考查一般矩形，其高可以是常数、底的倍数，或是位置的函数。对任意矩形，面积等于底 × 高：

- 垂直于x轴：底 $b(x) = y_{top}(x) - y_{bottom}(x)$，体积 $V = \int_a^b b(x) \cdot h(x) dx$
- 垂直于y轴：底 $b(y) = x_{right}(y) - x_{left}(y)$，体积 $V = \int_c^d b(y) \cdot h(y) dy$

**例题:** 某立体的基底由$y = \sin x$、$y = 0$、$x=0$和$x = \pi$围成。垂直于x轴的截面为矩形，每个矩形的高是底长的3倍，求该立体的体积。

1. $a=0$，$b=\pi$
2. 计算矩形的底长

   $$b(x) = \sin x - 0 = \sin x$$
3. 计算高和截面面积

   $$h(x) = 3 \sin x, \quad A(x) = (\sin x)(3 \sin x) = 3 \sin^2 x$$
4. 使用降幂公式计算积分

   $$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \\ V = \int_0^\pi 3 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{3}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^\pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$$

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 某立体的基底是由$y = 2x$和$y = x^2$围成的区域，垂直于x轴的截面为正方形，该立体的体积是多少？

   - $\frac{8}{15}$
   - $\frac{16}{15}$
   - $\frac{32}{15}$
   - $8$

   *答案:* $\frac{16}{15}$

   *解析:* 正确！展开积分后计算结果为$\frac{16}{15}$。如果你得到了不同的结果，请检查你是否正确展开了$(2x - x^2)^2$，并在区间端点正确计算了原函数。

> **考试提示:** 不要自动默认截面是正方形——写出面积公式前，一定要核对题目描述，确认底和高的关系。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于垂直于y轴的截面，将边界保留为$y=f(x)$的形式，并用垂直距离计算边长。
  - 原因: 你依赖肌肉记忆，没有确认截面的方向。
  - 正确做法: 写出面积公式前，先标记截面垂直的坐标轴，再确认边长是垂直（垂直x轴时）还是水平（垂直y轴时）的。
- **错误做法:** 不展开$(y_{top} - y_{bottom})^2$，错误地将其积分算为$\frac{(y_{top} - y_{bottom})^3}{3(y'_{top} - y'_{bottom})}$。
  - 原因: 你错误地将幂积分法则应用于复合函数，没有检查换元条件。
  - 正确做法: 积分前一定要逐项展开二项式平方。
- **错误做法:** 对于矩形截面，只将给定的高作为面积，忽略了基底区域的底长。
  - 原因: 你读错题目，误以为给定的高就是整个面积。
  - 正确做法: 对任意矩形，一定要先计算出穿过基底区域的底长，再乘以给定的高得到面积。
- **错误做法:** 当基底由三条曲线围成时，自动使用两条曲线的交点作为积分区间，忽略了第三条边界（如y轴或x轴）。
  - 原因: 你没有画出基底区域，因此遗漏了额外的边界线。
  - 正确做法: 建立积分前，一定要画出基底区域并标记所有边界，确认积分区间。
- **错误做法:** 对y积分但仍将边界曲线保留为$y=f(x)$，导致积分中出现混合变量。
  - 原因: 你记得要对y积分，但忘记将所有曲线改写为$x=f(y)$的形式。
  - 正确做法: 写出边长表达式前，一定要将所有边界解为x关于y的函数。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 正方形截面（垂直于x轴） | $V = \int_a^b (y_{top}(x) - y_{bottom}(x))^2 dx | $a$ = 左x边界，$b$ = 右x边界；边长 = 曲线间的垂直距离 |
| 正方形截面（垂直于y轴） | $V = \int_c^d (x_{right}(y) - x_{left}(y))^2 dy | $c$ = 下y边界，$d$ = 上y边界；所有曲线改写为$x = f(y)$的形式 |
| 矩形截面（垂直于x轴） | $V = \int_a^b b(x) h(x) dx | $b(x)$ = 底长 = 垂直距离；$h(x)$ = 高，题目给定 |
| 矩形截面（垂直于y轴） | $V = \int_c^d b(y) h(y) dy | $b(y)$ = 底长 = 水平距离；所有曲线改写为$x = f(y)$的形式 |
| 作为特殊矩形的正方形 | $A = b(x) \cdot b(x) = [b(x)]^2 | 正方形是高等于底长的矩形 |
| 缩放后的截面 | $V_{new} = s^2 V_{old} | 如果所有边长缩放比例为$s$，体积缩放比例为$s^2$ |
| 等高矩形 | $V = h \cdot (\text{Area of base region}) | 如果高为常数，可以将高提出来，乘以基底区域的面积 |

## 下一步

掌握截面体积法是第8单元下一个核心知识点——旋转体体积的关键先修内容。旋转体体积可以看作截面体积法的特殊情况，其截面是垂直于坐标轴的圆（或圆环）。你在这里学到的技能——确定积分区间、求边界曲线之间的距离、建立积分累加截面面积得到体积——可以直接应用到旋转体体积的圆盘/圆环法。如果不掌握这里的截面建立方法，你会很难正确建立旋转体问题的体积积分，而旋转体是AP考试自由问答题中非常常见的考点。

- [截面法求体积：三角形与半圆形截面](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-volumes-with-cross-sections-triangles/)
- [绕x轴或y轴旋转的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-disc-method-around-the-x/)
- [绕非坐标轴旋转的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-disc-method-around-other-axes/)

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