通过积分求位置、速度与加速度

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 积分的应用· 14 分钟阅读

1. 利用初始条件还原速度与位置★★☆☆☆⏱ 4 min

我们从你已经了解的基本导数关系开始：速度是位置的变化率，加速度是速度的变化率。积分是微分的逆运算，因此我们可以对加速度积分得到速度，再对速度积分得到位置，利用初始条件求解未知的积分常数。

v(t) = \frac{ds}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt}

v(t) = \int a(t) dt + C \\ s(t) = \int v(t) dt + D

📘 定义

积分常数

不定积分产生的未知常数。无论起始时间是否为 $t = 0$ ，我们都需要在每一步积分后，利用对应的初始条件分别求解每个常数。

📐 例题

一个沿x轴运动的质点，加速度为 $a (t) = 6 t - 2$ m/s²。在 $t = 1$ 时，速度为 $v (1) = 4$ m/s，位置为 $s (1) = - 2$ m。求位置函数 $s (t)$ 。

1
首先对加速度积分，得到 $v (t)$ 的通式：
$v(t) = \int (6t - 2) dt = 3t^2 - 2t + C$
2
使用初始速度条件求解 $C$ ：
$3(1)^2 - 2(1) + C = 4 \implies 1 + C = 4 \implies C = 3$
3
这样就得到了完整的速度函数： $v (t) = 3 t^{2} - 2 t + 3$ 。接下来对速度积分，得到 $s (t)$ 的通式：
$s(t) = \int (3t^2 - 2t + 3) dt = t^3 - t^2 + 3t + D$
4
使用 $t = 1$ 处的位置条件求解 $D$ ：
$1^3 - 1^2 + 3(1) + D = -2 \implies 3 + D = -2 \implies D = -5$
5
最终位置函数：
$s(t) = t^3 - t^2 + 3t - 5$

Exam tip:

两次积分时一定要分别标记常数 $C$ 和 $D$ ，得到所需初始条件后立刻求解对应常数。不要等到最后再一起求解两个常数，这通常会导致代入错误。

2. 净位移 vs 总路程★★★☆☆⏱ 5 min

得到速度函数 $v (t)$ 后，你可以计算区间 $[a, b]$ 上两个容易在AP考试中混淆的不同物理量。净位移是区间起点到终点位置的净变化，考虑运动方向；而总路程是走过的路径总长度，与方向无关。

📘 定义

净位移

s(b) - s(a)

区间内位置的净变化，等于速度的带符号积分。负速度（沿负方向运动）产生的负位移会抵消正位移。

计算总路程时，所有运动都计为正值，因此我们对速度的绝对值积分。首先找出 $[a, b]$ 内所有满足 $v (t) = 0$ 的点（方向改变点），在这些点拆分积分，对 $v (t)$ 为负的区间调整符号，再将结果相加。

\text{Net Displacement} = \int_a^b v(t) dt

\text{Total Distance Traveled} = \int_a^b |v(t)| dt

📐 例题

质点在 $t \in [0, 5]$ 秒内的速度为 $v (t) = t^{2} - 4$ m/s。求(a) 净位移，(b) 区间内的总路程。

1
直接计算净位移：
$\int_0^5 (t^2 - 4) dt = \left[\frac{t^3}{3} - 4t\right]_0^5 = \frac{125}{3} - 20 = \frac{65}{3} \approx 21.67 \text{ m}$
2
计算总路程时，首先找出 $[0, 5]$ 上满足 $v (t) = 0$ 的点：
$t^2 - 4 = 0 \implies t = 2 \text{ (discard } t=-2 \text{ for non-negative time)}$
3
检查符号： $v (t) < 0$ 在 $[0, 2]$ 上，因此 $∣ v (t) ∣ = - (t^{2} - 4)$ 在这个区间，在 $[2, 5]$ 上 $∣ v (t) ∣ = v (t)$ 。拆分积分：
$\begin{align*} \int_0^5 |t^2 - 4| dt &= \int_0^2 -(t^2 - 4) dt + \int_2^5 (t^2 - 4) dt \\ &= \left[-\frac{t^3}{3} + 4t\right]_0^2 + \left[\frac{t^3}{3} - 4t\right]_2^5 \\ &= \frac{16}{3} + 27 = \frac{97}{3} \approx 32.33 \text{ m} \end{align*}$
4
最终结果：净位移 = $\frac{65}{3}$ m，总路程 = $\frac{97}{3}$ m。

Exam tip:

永远要验证总路程大于等于净位移的绝对值，如果你的计算结果相反，说明拆分积分时符号出错了。

3. 利用微积分基本定理求某点的函数值★★☆☆☆⏱ 3 min

AP考试中一种常见题型是：给定初始值，求特定时间的速度或位置，不需要完整的函数表达式。这种情况下你可以直接使用微积分基本定理，无需求解积分常数，节省时间同时减少错误。

v(b) = v(a) + \int_a^b a(t) dt \\ s(b) = s(a) + \int_a^b v(t) dt

📐 例题

竖直向上发射的火箭在 $t$ 秒时的加速度为 $a (t) = 2 e^{0.1 t}$ m/s²。若 $t = 0$ 时速度为100 m/s， $t = 10$ 秒时的速度是多少？

1
我们只需要 $v (10)$ ，不需要完整函数，因此直接使用FTC形式：
$v(10) = v(0) + \int_0^{10} 2e^{0.1t} dt$
2
计算定积分： $2 e^{0.1 t}$ 的原函数是 $20 e^{0.1 t}$ ：
$20e^{1} - 20e^{0} = 20(e-1) \approx 34.36$
3
加上初始速度得到最终结果：
$v(10) \approx 100 + 34.36 = 134.36 \text{ m/s}$

Exam tip:

如果题目只要求特定时间的速度/位置值，跳过求完整函数的步骤，直接使用微积分基本定理的形式，可以在考试中节省1–2分钟。

4. 概念检查★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

通过这道AP风格的选择题测试你的理解：

沿x轴运动的质点在 $t \geq 0$ 时的加速度为 $a (t) = - sin t$ 。若初始速度 $v (0) = 2$ ，初始位置 $s (0) = 5$ ， $t = π$ 时的位置是多少？
- $3 + π$
- $5 + π$
- $5 - π$
- $1 + 3 π$
显示答案
1 —
首先对加速度积分得到 $v (t) = cos t + 1$ ，再积分得到 $s (t) = sin t + t + 5$ 。代入 $t = π$ 计算得 $0 + π + 5 = 5 + π$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

在积分 $∣ v (t) ∣$ 时，忘记对 $v (t)$ 为负区间的速度翻转符号。

原因:

学生记得在 $v (t)$ 的零点拆分积分，但不检查符号就直接去掉绝对值，默认所有区间都满足 $∣ v (t) ∣ = v (t)$ 。

正确做法:

拆分后一定要检查每个子区间内 $v (t)$ 的符号，对 $v (t)$ 为负的区间添加负号后再积分。

错误做法:

从加速度积分两次得到位置后，只求解一个积分常数。

原因:

学生混淆了常数，两次积分都用同一个 $C$ ，只求解一次，不在第二次积分后求解新的常数。

正确做法:

积分加速度后的常数记为 $C_{1}$ ，积分速度后的常数记为 $C_{2}$ ，分别利用对应的初始条件单独求解。

错误做法:

直接对速度积分计算总路程，而不是对速度的绝对值积分。

原因:

学生混淆了净位移和总路程，尤其是对新手来说，问题问'质点运动了多远'看起来可能模棱两可。

正确做法:

一定要仔细读题：'位置的变化量是多少'或'位移是多少'意味着对 $v (t)$ 积分；'质点运动了多远'或'总路程是多少'意味着对 $∣ v (t) ∣$ 积分。

错误做法:

拆分总路程的积分时，包含了积分区间外 $v (t) = 0$ 的根。

原因:

学生自动求解所有根并在所有根处拆分，即使根在区间外，导致多余不必要的子区间和计算错误。

正确做法:

找到 $v (t) = 0$ 的所有根后，拆分区间时只保留严格位于 $a$ 和 $b$ 之间的根。

错误做法:

用初始位置求速度的积分常数，或用初始速度求位置的积分常数。

原因:

学生混淆了哪个初始条件对应哪一步积分。

正确做法:

按照导数阶数匹配：加速度积分得速度，因此用速度的初始条件求速度的 $C$ ；速度积分得位置，因此用位置的初始条件求位置的 $D$ 。

6. 速查表

类别	公式	说明
由加速度求速度	$v (t) = \int a (t) d t + C$	利用初始速度 $v (t_{0}) = v_{0}$ 求解 $C$
由速度求位置	$s (t) = \int v (t) d t + D$	利用初始位置 $s (t_{0}) = s_{0}$ 求解 $D$
速度变化量	$v (b) - v (a) = \int_{a}^{b} a (t) d t$	不需要求解 $C$ ，适用于任意区间
净位移	$s (b) - s (a) = \int_{a}^{b} v (t) d t$	带符号，考虑运动方向
总路程	$\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$	始终非负，所有运动都计入
$b$ 时刻的位置	$s (b) = s (a) + \int_{a}^{b} v (t) d t$	使用FTC，无需推导完整函数
拆分绝对值积分	$\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t = \sum \int_{c_{i}}^{c_{i + 1}} v (t) d t$	仅在 $[a, b]$ 内的根处拆分

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · AB
FRQ 直线运动问题
2022 · AB
MCQ 路程计算

下一步

本主题是AP微积分AB中所有净变化问题应用积分的基础示例，不仅限于直线运动。在第8单元的后续内容中，你会将本主题的核心逻辑——从变化率求净变化——推广到其他应用场景，比如人口增长、流体流动和累计成本。没有掌握这个关系，你会很难将这个逻辑推广到其他变化率问题，而这类问题在AP考试的选择题和自由回答部分都很常见。本主题也巩固了微分和积分之间的核心逆关系，这是整个课程的核心。