# 通过积分求位置、速度与加速度

> AP 微积分 AB · 积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-position-velocity-acceleration-via-integration/

本模块将直线运动变量与积分联系起来，涵盖从加速度还原位置/速度、利用初始条件求解积分常数，以及区分净位移和总路程，这是AP考试的高频考点。

**先修:** 位置、速度和加速度之间的导数关系; 多项式、三角函数和指数函数的基本积分法则; 微积分基本定理计算定积分

## 学习目标

- 利用积分和初始条件从加速度还原速度函数和位置函数
- 区分区间内的净位移和总路程
- 通过对速度取绝对值积分计算总路程
- 利用微积分基本定理在不推导完整函数的情况下求某点的速度/位置

## 利用初始条件还原速度与位置

我们从你已经了解的基本导数关系开始：速度是位置的变化率，加速度是速度的变化率。积分是微分的逆运算，因此我们可以对加速度积分得到速度，再对速度积分得到位置，利用初始条件求解未知的积分常数。

$$v(t) = \frac{ds}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt}$$

$$v(t) = \int a(t) dt + C \\ s(t) = \int v(t) dt + D$$

**积分常数** — 不定积分产生的未知常数。无论起始时间是否为$t=0$，我们都需要在每一步积分后，利用对应的初始条件分别求解每个常数。

**例题:** 一个沿x轴运动的质点，加速度为$a(t) = 6t - 2$ m/s²。在$t=1$时，速度为$v(1) = 4$ m/s，位置为$s(1) = -2$ m。求位置函数$s(t)$。

1. 首先对加速度积分，得到$v(t)$的通式：

   $$v(t) = \int (6t - 2) dt = 3t^2 - 2t + C$$
2. 使用初始速度条件求解$C$：

   $$3(1)^2 - 2(1) + C = 4 \implies 1 + C = 4 \implies C = 3$$
3. 这样就得到了完整的速度函数：$v(t) = 3t^2 - 2t + 3$。接下来对速度积分，得到$s(t)$的通式：

   $$s(t) = \int (3t^2 - 2t + 3) dt = t^3 - t^2 + 3t + D$$
4. 使用$t=1$处的位置条件求解$D$：

   $$1^3 - 1^2 + 3(1) + D = -2 \implies 3 + D = -2 \implies D = -5$$
5. 最终位置函数：

   $$s(t) = t^3 - t^2 + 3t - 5$$

> **考试提示:** 两次积分时一定要分别标记常数$C$和$D$，得到所需初始条件后立刻求解对应常数。不要等到最后再一起求解两个常数，这通常会导致代入错误。

## 净位移 vs 总路程

得到速度函数$v(t)$后，你可以计算区间$[a,b]$上两个容易在AP考试中混淆的不同物理量。净位移是区间起点到终点位置的净变化，考虑运动方向；而总路程是走过的路径总长度，与方向无关。

**净位移** — 区间内位置的净变化，等于速度的带符号积分。负速度（沿负方向运动）产生的负位移会抵消正位移。

*记法:* s(b) - s(a)

计算总路程时，所有运动都计为正值，因此我们对速度的绝对值积分。首先找出$[a,b]$内所有满足$v(t)=0$的点（方向改变点），在这些点拆分积分，对$v(t)$为负的区间调整符号，再将结果相加。

$$\text{Net Displacement} = \int_a^b v(t) dt$$

$$\text{Total Distance Traveled} = \int_a^b |v(t)| dt$$

**例题:** 质点在$t \in [0, 5]$秒内的速度为$v(t) = t^2 - 4$ m/s。求(a) 净位移，(b) 区间内的总路程。

1. 直接计算净位移：

   $$\int_0^5 (t^2 - 4) dt = \left[\frac{t^3}{3} - 4t\right]_0^5 = \frac{125}{3} - 20 = \frac{65}{3} \approx 21.67 \text{ m}$$
2. 计算总路程时，首先找出$[0,5]$上满足$v(t) = 0$的点：

   $$t^2 - 4 = 0 \implies t = 2 \text{ (discard } t=-2 \text{ for non-negative time)}$$
3. 检查符号：$v(t) < 0$在$[0,2]$上，因此$|v(t)| = -(t^2 - 4)$在这个区间，在$[2,5]$上$|v(t)| = v(t)$。拆分积分：

   $$\begin{align*} \int_0^5 |t^2 - 4| dt &= \int_0^2 -(t^2 - 4) dt + \int_2^5 (t^2 - 4) dt \\ &= \left[-\frac{t^3}{3} + 4t\right]_0^2 + \left[\frac{t^3}{3} - 4t\right]_2^5 \\ &= \frac{16}{3} + 27 = \frac{97}{3} \approx 32.33 \text{ m} \end{align*}$$
4. 最终结果：净位移 = $\frac{65}{3}$ m，总路程 = $\frac{97}{3}$ m。

> **考试提示:** 永远要验证总路程大于等于净位移的绝对值，如果你的计算结果相反，说明拆分积分时符号出错了。

## 利用微积分基本定理求某点的函数值

AP考试中一种常见题型是：给定初始值，求特定时间的速度或位置，不需要完整的函数表达式。这种情况下你可以直接使用微积分基本定理，无需求解积分常数，节省时间同时减少错误。

$$v(b) = v(a) + \int_a^b a(t) dt \\ s(b) = s(a) + \int_a^b v(t) dt$$

**例题:** 竖直向上发射的火箭在$t$秒时的加速度为$a(t) = 2e^{0.1t}$ m/s²。若$t=0$时速度为100 m/s，$t=10$秒时的速度是多少？

1. 我们只需要$v(10)$，不需要完整函数，因此直接使用FTC形式：

   $$v(10) = v(0) + \int_0^{10} 2e^{0.1t} dt$$
2. 计算定积分：$2e^{0.1t}$的原函数是$20e^{0.1t}$：

   $$20e^{1} - 20e^{0} = 20(e-1) \approx 34.36$$
3. 加上初始速度得到最终结果：

   $$v(10) \approx 100 + 34.36 = 134.36 \text{ m/s}$$

> **考试提示:** 如果题目只要求特定时间的速度/位置值，跳过求完整函数的步骤，直接使用微积分基本定理的形式，可以在考试中节省1–2分钟。

## 概念检查

**概念自测**

通过这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 沿x轴运动的质点在$t \geq 0$时的加速度为$a(t) = -\sin t$。若初始速度$v(0) = 2$，初始位置$s(0) = 5$，$t = \pi$时的位置是多少？

   - $3 + \pi$
   - $5 + \pi$
   - $5 - \pi$
   - $1 + 3\pi$

   *答案:* $5 + \pi$

   *解析:* 首先对加速度积分得到$v(t) = \cos t + 1$，再积分得到$s(t) = \sin t + t + 5$。代入$t = \pi$计算得$0 + \pi + 5 = 5 + \pi$。

## 常见错误

- **错误做法:** 在积分$|v(t)|$时，忘记对$v(t)$为负区间的速度翻转符号。
  - 原因: 学生记得在$v(t)$的零点拆分积分，但不检查符号就直接去掉绝对值，默认所有区间都满足$|v(t)|=v(t)$。
  - 正确做法: 拆分后一定要检查每个子区间内$v(t)$的符号，对$v(t)$为负的区间添加负号后再积分。
- **错误做法:** 从加速度积分两次得到位置后，只求解一个积分常数。
  - 原因: 学生混淆了常数，两次积分都用同一个$C$，只求解一次，不在第二次积分后求解新的常数。
  - 正确做法: 积分加速度后的常数记为$C_1$，积分速度后的常数记为$C_2$，分别利用对应的初始条件单独求解。
- **错误做法:** 直接对速度积分计算总路程，而不是对速度的绝对值积分。
  - 原因: 学生混淆了净位移和总路程，尤其是对新手来说，问题问'质点运动了多远'看起来可能模棱两可。
  - 正确做法: 一定要仔细读题：'位置的变化量是多少'或'位移是多少'意味着对$v(t)$积分；'质点运动了多远'或'总路程是多少'意味着对$|v(t)|$积分。
- **错误做法:** 拆分总路程的积分时，包含了积分区间外$v(t)=0$的根。
  - 原因: 学生自动求解所有根并在所有根处拆分，即使根在区间外，导致多余不必要的子区间和计算错误。
  - 正确做法: 找到$v(t)=0$的所有根后，拆分区间时只保留严格位于$a$和$b$之间的根。
- **错误做法:** 用初始位置求速度的积分常数，或用初始速度求位置的积分常数。
  - 原因: 学生混淆了哪个初始条件对应哪一步积分。
  - 正确做法: 按照导数阶数匹配：加速度积分得速度，因此用速度的初始条件求速度的$C$；速度积分得位置，因此用位置的初始条件求位置的$D$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 由加速度求速度 | $v(t) = \int a(t) dt + C$ | 利用初始速度$v(t_0) = v_0$求解$C$ |
| 由速度求位置 | $s(t) = \int v(t) dt + D$ | 利用初始位置$s(t_0) = s_0$求解$D$ |
| 速度变化量 | $v(b) - v(a) = \int_a^b a(t) dt$ | 不需要求解$C$，适用于任意区间 |
| 净位移 | $s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) dt$ | 带符号，考虑运动方向 |
| 总路程 | $\int_a^b \|v(t)\| dt$ | 始终非负，所有运动都计入 |
| $b$时刻的位置 | $s(b) = s(a) + \int_a^b v(t) dt$ | 使用FTC，无需推导完整函数 |
| 拆分绝对值积分 | $\int_a^b \|v(t)\| dt = \sum \left\|\int_{c_i}^{c_{i+1}} v(t) dt\right\|$ | 仅在$[a,b]$内的根处拆分 |

## 下一步

本主题是AP微积分AB中所有净变化问题应用积分的基础示例，不仅限于直线运动。在第8单元的后续内容中，你会将本主题的核心逻辑——从变化率求净变化——推广到其他应用场景，比如人口增长、流体流动和累计成本。没有掌握这个关系，你会很难将这个逻辑推广到其他变化率问题，而这类问题在AP考试的选择题和自由回答部分都很常见。本主题也巩固了微分和积分之间的核心逆关系，这是整个课程的核心。

- [函数的平均值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-average-value-of-a-function/)
- [实际应用场景中的累积函数与定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-accumulation-functions-and-definite-integrals/)
- [表示为x函数的曲线间面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-area-between-curves-expressed-as/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-position-velocity-acceleration-via-integration/