# 绕x轴或y轴旋转的圆盘法

> AP 微积分 AB · 积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-disc-method-around-the-x/

本模块讲解计算绕水平轴、垂直轴（包括平移轴）旋转的旋转体体积的圆盘法，你将学习如何列积分、避开常见考试陷阱，并通过AP风格的例题练习。

**先修:** 计算定积分的值; 换元法中整理函数表达式; 黎曼和的核心性质

## 学习目标

- 推导旋转体体积的圆盘法公式
- 计算绕x轴、y轴和平移轴旋转的旋转体体积
- 为圆盘法问题正确列出定积分
- 判断何时适合使用圆盘法

## 什么是圆盘法？

圆盘法（两种拼写disk/disc在AP考试中均被接受）是积分学中用于求旋转体体积的方法：旋转体是由曲线围成的二维区域绕水平或竖直轴旋转得到的三维立体。

该方法得名于我们用来近似立体总体积的薄圆形圆盘状横截面，类似于用细矩形近似曲线下的面积。

**圆盘法核心思路** — 每个薄圆盘的体积等于其圆形面的面积($\pi r^2$)乘以圆盘的厚度。随后我们对整个立体上所有单个圆盘的体积进行积分（求和），得到总体积。

*例:* 对于绕x轴旋转的立体，厚度为$dx$，因此总体积是区域左右边界之间$\pi r^2 dx$的积分。

> **info**
>
> 本主题属于AP微积分AB CED的第8单元，占AP考试总分的10–15%，它经常出现在选择题和自由作答题部分。

## 绕x轴旋转的圆盘法

当$y = f(x)$上方、x轴下方、$x=a$和$x=b$之间的区域绕x轴旋转时，我们垂直于旋转轴切片。x轴是水平的，因此垂直切片是竖直的，厚度为$dx$。对于$a$和$b$之间的任意$x$，该位置圆盘的半径是x轴到曲线的垂直距离：$r = f(x)$。

$$V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$$

这个公式直接来自黎曼和：当切片数趋近于无穷大时，所有单个圆盘体积的和就变成了定积分。该方法仅适用于区域与旋转轴相邻、区域和轴之间没有间隙的情况。圆盘法就是内半径为0的垫圈法的特殊情况。

**例题:** 求由$y = 2\sqrt{x}$、$y = 0$和$x = 4$围成的区域绕x轴旋转得到的立体体积。

1. 确认区域与旋转轴相邻，积分区间为$x=0$（曲线与$y=0$的交点）到$x=4$。
2. 任意$x$处的半径为$r = f(x) = 2\sqrt{x}$。
3. 使用绕x轴旋转的圆盘法公式列体积积分：

   $$V = \pi \int_0^4 \left(2\sqrt{x}\right)^2 dx$$
4. 化简被积函数：

   $$\left(2\sqrt{x}\right)^2 = 4x \implies V = 4\pi \int_0^4 x dx$$
5. 计算定积分：

   $$V = 4\pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 4\pi \left(\frac{16}{2} - 0\right) = 32\pi$$

> **考试提示:** 积分前一定要对整个半径平方，而不是只对变量项平方。一个常见错误是将$(2\sqrt{x})^2$写成$2x$而不是$4x$，漏掉了常数系数的平方。

*计算器:* allowed

## 绕y轴旋转的圆盘法

绕竖直y轴旋转时，我们垂直于旋转轴切片，因此切片是水平的，厚度为$dy$。这意味着我们必须将半径表示为y的函数（而非x的函数），并对y积分。

$$V = \pi \int_c^d \left[g(y)\right]^2 dy$$

对于由$x = g(y)$在右、y轴在左、$y = c$和$y = d$之间围成的区域，每个圆盘的半径是y轴到曲线的水平垂直距离，因此$r = g(y)$。与绕x轴旋转的唯一关键区别是，在列积分前需要将原函数整理为x关于y的表达式。

**例题:** 求由$y = 2\sqrt{x}$、$y = 0$和$x = 4$围成的区域绕y轴旋转得到的立体体积。

1. 确认区域与旋转轴相邻，y的积分区间为$0$到$4$（即$x=4$处y的值）。
2. 整理$y = 2\sqrt{x}$，得到x关于y的表达式：

   $$\frac{y}{2} = \sqrt{x} \implies x = \frac{y^2}{4} = g(y)$$
3. 列体积积分：

   $$V = \pi \int_0^4 \left(\frac{y^2}{4}\right)^2 dy$$
4. 化简并计算：

   $$\left(\frac{y^2}{4}\right)^2 = \frac{y^4}{16} \implies V = \frac{\pi}{16} \int_0^4 y^4 dy = \frac{\pi}{16} \left[\frac{y^5}{5}\right]_0^4 = \frac{64\pi}{5}$$

> **考试提示:** 绕y轴旋转时，请再次检查你是对y积分，而不是对x积分。即使你的所有算术都正确，绕y轴旋转时对dx积分也一定会得到错误结果。

*计算器:* allowed

## 绕平移轴旋转的圆盘法

圆盘法适用于任意水平或竖直旋转轴，不仅限于x轴（$y=0$）或y轴（$x=0$）。核心原则始终不变：半径$r$始终是曲线与旋转轴之间的垂直距离。

对于水平旋转轴$y = k$，我们仍然对x积分，半径为$r = |f(x) - k|$。平方会消除符号，因此$r^2 = (f(x) - k)^2$。对于竖直旋转轴$x = h$，我们对y积分，$r^2 = (g(y) - h)^2$。

**例题:** 求由$y = x^2$、$y=0$、$x=0$和$x=2$围成的区域绕水平轴$y = -1$旋转得到的立体体积。

1. 轴$y=-1$是水平的，因此对x积分，区间为$x=0$到$x=2$。
2. 半径为曲线与轴之间的垂直距离，计算得：

   $$r = x^2 - (-1) = x^2 + 1$$
3. 列体积积分：

   $$V = \pi \int_0^2 (x^2 + 1)^2 dx$$
4. 展开被积函数：

   $$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$$
5. 计算定积分：

   $$V = \pi \left[\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x\right]_0^2 = \frac{206\pi}{15}$$

> **考试提示:** 当轴平移到x轴下方或y轴右侧时，距离会增大，因此计算半径时不要忘记加上平移量。

*计算器:* allowed

## AP风格练习

**概念自测**

通过这道选择题测试你的理解：

1. 区域$R$由$y = \ln x$、$y = 0$和$x = e$围成。$R$绕x轴旋转得到的立体体积是多少？

   - $\pi(e - 1)$
   - $\pi(e - 2)$
   - $\pi(e + 1)$
   - $\pi\left(\frac{e^2}{2} - 1\right)$

   *答案:* $\pi(e - 2)$

   *解析:* 区域的范围是$x=1$到$x=e$，因此$V = \pi \int_1^e (\ln x)^2 dx = \pi(e-2)$，分部积分后得到该结果，这是正确答案。

**例题:** 设$R$是由$y = \sqrt{4 - x^2}$、x轴和y轴围成的区域。(a) 列出$R$绕x轴旋转的体积定积分（无需计算）。(b) 列出绕y轴旋转的定积分。(c) 计算(a)中的体积，并用几何方法验证。

1. (a) 绕x轴（水平轴）旋转，对x积分，区间为$0$到$2$：

   $$V = \pi \int_0^2 (4 - x^2) dx$$
2. (b) 绕y轴（竖直轴）旋转，改写为$x = \sqrt{4 - y^2}$，对y积分，区间为$0$到$2$：

   $$V = \pi \int_0^2 (4 - y^2) dy$$
3. (c) 计算(a)中的积分：

   $$V = \pi \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{16\pi}{3}$$
4. 几何验证：将半径为2的四分之一圆绕x轴旋转得到半个球体。整个球体的体积是$\frac{32\pi}{3}$，因此一半体积与我们的结果一致。

**例题:** 一位土木工程师设计了一根高度为10m的锥形抛物线支撑柱。距离地面x米高度处的半径为$r(x) = \frac{(10 - x)^2}{100}$米，其中$0 \leq x \leq 10$。求所需混凝土的总体积，结果保留两位小数。

1. 该柱体由半径函数绕中心x轴旋转得到，区域与轴相邻，因此适用圆盘法：
2. 列体积积分：

   $$V = \pi \int_0^{10} \left(\frac{(10 - x)^2}{100}\right)^2 dx = \frac{\pi}{10000} \int_0^{10} (10 - x)^4 dx$$
3. 使用换元法$u = 10-x$，$du=-dx$计算：

   $$V = \frac{\pi}{10000} \left[\frac{u^5}{5}\right]_0^{10} = 2\pi \approx 6.28$$
4. 该柱体大约需要6.28立方米混凝土。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 绕y轴旋转时，仍将函数保留为x的表达式，并对x积分
  - 原因: 学生习惯了绕x轴旋转时对dx积分，绕y轴旋转时忘记换变量
  - 正确做法: 始终让积分变量匹配旋转轴：水平轴→对$dx$积分；竖直轴→对$dy$积分，因此先把x改写为y的函数。
- **错误做法:** 忘记对整个半径平方，例如将$(2f(x))^2$算成$2f(x)^2$而不是$4f(x)^2$
  - 原因: 学生求平方时太匆忙，只对变量项平方，忘记对常数系数平方
  - 正确做法: 求平方前始终将整个半径写在括号内，然后逐步展开，避免漏掉常数项。
- **错误做法:** 绕平移轴旋转时，用原函数值作为半径，而不是曲线和轴之间的距离
  - 原因: 学生记住了绕x轴旋转时$r = f(x)$，没有对平移轴调整公式
  - 正确做法: 对于任意轴，无论轴在哪里，半径都等于（曲线位置 - 轴位置）的绝对值，然后对这个差平方。
- **错误做法:** 区域和旋转轴之间存在间隙时仍使用圆盘法，导致体积计算结果偏小
  - 原因: 学生混淆了圆盘法（适用于与轴相邻的区域）和垫圈法（适用于有间隙的区域）
  - 正确做法: 列积分前，检查区域和旋转轴之间是否存在面积。如果存在，则改用垫圈法。
- **错误做法:** 使用错误的积分区间，例如绕y轴旋转时将x的区间用作y的区间
  - 原因: 学生直接抄题目给的区间，没有检查区间对应哪个变量
  - 正确做法: 将积分用正确变量表示后，把区间转换为该变量的区间，得到正确的上下限。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 绕x轴（$y=0$）的圆盘法 | $V = \pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2 dx$ | 适用于与x轴相邻的区域，对x积分 |
| 绕任意水平轴$y=k$的圆盘法 | $V = \pi \int_a^b \left(f(x) - k\right)^2 dx$ | 半径=垂直距离，平方后符号抵消，对$dx$积分 |
| 绕y轴（$x=0$）的圆盘法 | $V = \pi \int_c^d \left[g(y)\right]^2 dy$ | 先改写为$x = g(y)$，适用于与y轴相邻的区域，对$dy$积分 |
| 绕任意竖直轴$x=h$的圆盘法 | $V = \pi \int_c^d \left(g(y) - h\right)^2 dy$ | 半径=垂直距离，平方后符号抵消，对$dy$积分 |
| 核心微元体积 | $dV = \pi r^2 \cdot (\text{厚度})$ | $r$ = 到旋转轴的垂直距离。厚度：水平轴为$dx$，竖直轴为$dy$ |
| 何时使用圆盘法 | N/A | 仅当旋转区域与旋转轴相邻（无间隙）时使用 |
| 与垫圈法的关系 | N/A | 圆盘法是内半径为0的垫圈法的特殊情况 |

## 下一步

掌握圆盘法是学习AP微积分AB第8单元后续主题（更复杂的旋转体体积）的关键前提。计算横截面积并积分得到总体积的核心逻辑可以直接推广到垫圈法，垫圈法用于解决旋转区域与旋转轴之间存在间隙的问题。之后你将学习圆柱壳法，这是另一种计算旋转体体积的方法，它避免了绕竖直轴旋转时需要换变量的问题。除了旋转体体积，将三维立体切割成无穷小横截面并对其面积积分的核心思想，也是已知横截面面积求体积的基础，这是AP考试中另一个常见主题，经常出现在自由作答题中。

- [绕非坐标轴旋转的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-disc-method-around-other-axes/)
- [绕x轴或y轴旋转的垫圈法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-washer-method-around-the-x/)
- [绕非坐标轴旋转的垫圈法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-washer-method-around-other-axes/)

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