# 绕非坐标轴旋转的圆盘法

> AP 微积分 AB · CED 第8单元：积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-disc-method-around-other-axes/

本小节将圆盘法应用于计算绕非坐标水平轴和垂直轴旋转的旋转体体积，涵盖有界平面区域的正确半径计算和定积分建立方法。

**先修:** 绕x轴和y轴旋转的基础圆盘法; 求两个函数的交点; [利用微积分基本定理计算定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u6-fundamental-theorem-calculus/)

## 学习目标

- 运用圆盘法计算绕非坐标轴旋转的旋转体体积
- 正确计算绕任意水平或垂直轴旋转的旋转半径
- 使用圆盘法建立并计算体积的定积分
- 确定两条相交曲线围成区域的积分区间

## 核心概念：绕非坐标轴旋转的圆盘法

圆盘法是一种计算平面区域绕固定轴旋转形成的立体体积的积分方法，垂直于轴的每个截面都是一个实心圆盘。在AP微积分AB考试中，你经常会被要求计算绕非坐标任意水平线或竖直线旋转的体积。

无论绕哪条轴旋转，圆盘法的核心思想都是一样的：体积是截面圆盘面积的积分。与基础圆盘法唯一的关键区别在于半径$r$的计算方式，半径等于边界函数与旋转轴之间的距离。

$$V = 
int \pi r^2 dx \quad (\text{integrate with respect to } x) \\ V = \int \pi r^2 dy \quad (\text{integrate with respect to } y)$$

> **info**
>
> 该知识点在大多数多分自由问答题的体积题中占3-4分，并且经常出现在选择题部分。

## 绕水平轴旋转（$y = k$, $k \neq 0$）

当绕形式为$y = k$（$k \neq 0$）的水平线旋转时，我们始终对$x$积分。这是因为垂直于水平轴的截面是竖直切片，沿$x$轴积分。

半径是边界曲线和旋转轴之间的竖直距离。由于半径必须为正，所以$r = |f(x) - k|$，平方后会消去绝对值，因此无论曲线在轴的上方还是下方，都有$r^2 = (f(x) - k)^2$。

**绕水平轴$y=k$旋转的体积公式** — 旋转体体积由以下公式给出：

*记法:* $a \leq x \leq b$, curve $y = f(x)$

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x) - k \right]^2 dx$$

**例题:** 求由$y = x + 2$、$x=0$、$x=2$和$y=-1$围成的区域绕直线$y = -1$旋转形成的立体体积。

1. 确认旋转轴是水平线$y = k = -1$，因此我们对$x$积分，积分区间为$x=0$到$x=2$。
2. 计算半径：区域上方由$y = x+2$边界，下方以旋转轴$y=-1$为界，因此距离为：

   $$r = (x + 2) - (-1) = x + 3$$
3. 写出体积积分：

   $$V = \pi \int_{0}^{2} (x + 3)^2 dx$$
4. 展开并计算积分：$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$，因此：

   $$\int_{0}^{2} x^2 + 6x + 9 dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_0^2 = \frac{8}{3} + 12 + 18 = \frac{98}{3}$$
5. 乘以$\pi$得到最终体积：

   $$V = \frac{98}{3}\pi$$

> **tip**
>
> 平方前一定要检查半径是否为正。即使交换两项后平方也会碰巧得到正确结果，但AP考试阅卷老师会对自由问答题中错误的建立扣除分数，所以首先要确认减法的顺序。

## 绕竖直轴旋转（$x = c$, $c \neq 0$）

当绕形式为$x = c$（$c \neq 0$）的竖直线旋转时，旋转轴是竖直的，因此垂直于轴的截面是水平切片，这意味着我们对$y$积分。

这里的半径是曲线$x = g(y)$（表示为y的函数）与旋转轴$x=c$之间的水平距离。同样，$r = |g(y) - c|$，因此无论曲线在轴的哪一侧，都有$r^2 = (g(y)-c)^2$。如果原函数给出的是$y = f(x)$，你需要重新整理得到x关于y的函数。

$$V = \pi \int_{d}^{e} \left[ g(y) - c \right]^2 dy$$

**例题:** 求第一象限中由$y = x^2$、$y=0$、$y=4$围成的区域绕直线$x = 3$旋转形成的立体体积。

1. 旋转轴是竖直线$x = c = 3$，因此我们对$y$积分，积分区间为$y=0$到$y=4$。
2. 改写函数得到x关于y的函数：

   $$y = x^2 \implies x = \sqrt{y} \quad (\text{first quadrant})$$
3. 计算半径：对于$0 \leq y \leq 4$，曲线$x = \sqrt{y}$始终在轴$x=3$的左侧，因此距离为：

   $$r = 3 - \sqrt{y}$$
4. 建立并展开积分：

   $$V = \pi \int_{0}^{4} (3 - \sqrt{y})^2 dy = \pi \int_{0}^{4} (9 - 6y^{1/2} + y) dy$$
5. 计算积分：

   $$\int_{0}^{4} 9 - 6y^{1/2} + y dy = \left[ 9y - 4y^{3/2} + \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = 36 - 32 + 8 = 12$$
6. 乘以$\pi$得到最终体积：

   $$V = 12\pi$$

> **tip**
>
> 如果绕竖直轴旋转，你必须对$y$积分。一个常见错误是试图保持积分以$x$为变量，这会导致错误的建立。记住：切片垂直于旋转轴，因此垂直于竖直轴的切片是水平的，即积分变量为$dy$。

## 两条相交曲线围成区域的圆盘法

许多AP考试题要求你将两条相交曲线围成的区域（而非曲线与给定坐标边界围成的区域）绕非坐标轴旋转。当区域的一侧为旋转轴时，圆盘法仍然适用（此时立体中心没有空洞，因此内半径为零，这与垫圈法不同）。

这里额外的关键步骤是通过求解两条曲线的交点来确定积分区间。得到区间后，你需要确定哪条曲线构成区域的外边界，然后计算半径，即外边界曲线与旋转轴之间的距离。

> **tip**
>
> 计算半径前，一定要快速花10秒画出区域和轴的草图。草图可以防止你不小心用错曲线计算半径，这是考试中非常常见的错误。

**例题:** 求由$y = x^2$和$y = 2x$围成的区域绕直线$y = 4$旋转形成的立体体积。

1. 求两条曲线的交点得到x的积分区间：

   $$x^2 = 2x \implies x(x-2) = 0 \implies x = 0, x = 2$$
2. 确认区域位置：对于$0 < x < 2$，$2x > x^2$，因此整个区域都在轴$y=4$的下方。
3. 计算半径：区域上边缘（$y=2x$）与轴$y=4$之间的距离为：

   $$r = 4 - 2x$$
4. 建立并计算积分：

   $$V = \pi \int_{0}^{2} (4 - 2x)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} (16 - 16x + 4x^2) dx = \pi \left[ 16x - 8x^2 + \frac{4x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{32}{3}\pi$$

**概念自测**

为以下问题选择正确的积分建立：

1. 第一象限中由$y = \ln x$、$y=0$、$y=1$围成的区域绕直线$x=-2$旋转形成的立体体积是多少？

   - $\pi \int_{0}^{1} (\ln x + 2)^2 dx$
   - $\pi \int_{0}^{1} (e^y + 2)^2 dy$
   - $\pi \int_{0}^{e} (e^y + 2)^2 dy$
   - $\pi \int_{0}^{1} (\ln y + 2)^2 dy$

   *答案:* $\pi \int_{0}^{1} (e^y + 2)^2 dy$

   *解析:* 正确！旋转轴是竖直的，因此我们对$y$积分，将$y=\ln x$改写为$x=e^y$，半径为$e^y - (-2) = e^y + 2$，积分区间为$0 \leq y \leq 1$。

## 常见错误

- **错误做法:** 绕$y=k$旋转时，使用$r = f(x)$而非$r = f(x) - k$。
  - 原因: 学生记住了绕$y=0$旋转的基础圆盘公式，因此忘记了对非零轴调整半径。
  - 正确做法: 始终用函数值减去轴的值得到距离；即使对于$y=0$这也成立，因为$f(x) - 0 = f(x)$。
- **错误做法:** 绕非坐标竖直轴旋转时，对$x$积分。
  - 原因: 学生习惯了总是对$x$积分，忘记了切片始终垂直于旋转轴。
  - 正确做法: 对于任意水平轴，对$x$积分；对于任意竖直轴，对$y$积分。
- **错误做法:** 计算半径时，使用两条边界曲线之间的距离，而非外边界曲线与旋转轴之间的距离。
  - 原因: 学生将双曲线区域的圆盘法与垫圈法混淆，错误识别了半径测量的对象。
  - 正确做法: 对于圆盘法，半径始终是圆盘边缘（外边界曲线）到圆盘中心（旋转轴）的距离。
- **错误做法:** 绕竖直轴旋转时，忘记将$y=f(x)$改写为$x=g(y)$，使积分仍以$x$为变量。
  - 原因: 学生回避反函数整理，错误地保留了原变量。
  - 正确做法: 建立绕竖直轴旋转的积分前，一定要先解出x关于y的函数。
- **错误做法:** 减法后保留半径为负值，导致对最终体积的符号产生混淆。
  - 原因: 学生不把半径看作正距离，只是按读题的顺序做减法。
  - 正确做法: 平方前检查$r > 0$；如果为负，交换减法的顺序。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 绕水平轴$y=k$旋转 | $V = \pi \int_a^b (f(x) - k)^2 dx$ | 对$x$积分；$r = \|f(x)-k\|$是曲线与轴之间的距离 |
| 绕竖直轴$x=c$旋转 | $V = \pi \int_d^e (g(y) - c)^2 dy$ | 对$y$积分；先将$y=f(x)$改写为$x=g(y)$ |
| 半径计算 | $r = \|\text{曲线位置} - \text{轴位置}\|$ | 半径始终为正；平方会消去绝对值 |
| 水平轴积分变量 | $dx$ | 垂直于水平轴的切片是竖直切片，因此积分变量为$dx$ |
| 竖直轴积分变量 | $dy$ | 垂直于竖直轴的切片是水平切片，因此积分变量为$dy$ |
| 相交曲线的积分区间 | Solve $f(x) = g(x)$ for $x$ bounds | 建立积分前一定要先求交点 |
| 圆盘法使用条件 | One boundary = axis of rotation | 如果曲线和轴之间存在第二条边界，使用垫圈法 |

## 下一步

掌握绕非坐标轴旋转的圆盘法是AP微积分AB中更高级体积问题的关键先决条件。本知识点直接建立在你之前学习的基础圆盘法之上，是第8单元“求旋转体体积”这一核心学习目标的组成部分，该知识点是AP考试中占比很高的考点。如果不能正确计算非坐标轴的半径，你就无法为更复杂的体积问题建立正确的积分，而这类问题通常占一整道自由问答题。你在这里练习的半径计算和积分建立技能，可以直接应用到你接下来将要学习的所有其他旋转体体积方法中。

- [绕其他轴旋转的垫圈法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-washer-method-around-other-axes/)
- [绕x轴或y轴旋转的垫圈法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-washer-method-around-the-x/)

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