相交超过两次的曲线间的面积

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 积分的应用· 14 分钟阅读

1. 核心概念：多交点下的面积计算★★☆☆☆⏱ 2 min

当两条曲线的交点超过两个时，上下曲线的位置会在相邻交点之间互换。与只有两个交点的情况不同，你必须将最左交点到最右交点之间的整个区间分割为多个子区间，每个子区间内一条曲线始终保持在另一条上方。本主题属于第8单元，占AP微积分AB考试总分的10-15%，会出现在选择题和自由问答题中。

2. 寻找并排序所有交点★★☆☆☆⏱ 3 min

多交点面积问题的第一个关键步骤是求出 $f (x) = g (x)$ 的所有解，然后按 $x$ 从小到大排序。哪怕只漏掉一个交点，都会导致区间分割错误，最终面积结果错误。一定要先整理方程为 $f (x) - g (x) = 0$ ，然后对结果因式分解（AP AB中最常见的是多项式）来找到所有根。分解前千万不要除以 $x$ 这类变量项，这会消去 $x = 0$ 这个根，而它是很常见的交点。

📐 例题

求 $f (x) = x^{3} - 4 x$ 和 $g (x) = x$ 所有交点按顺序排列的 $x$ 坐标。

1
令两个函数相等，整理为等于零的形式：
2
$x^3 - 4x = x \implies x^3 - 5x = 0$
3
对结果因式分解：
4
$x(x^2 - 5) = 0$
5
求解所有根: $x = 0$ , $x^{2} = 5 ⟹ x = - 5$ or $x = 5$
6
将根从左到右排序: 有序交点: $x = - 5 \approx - 2.236$ , $x = 0$ , $x = 5 \approx 2.236$

Exam tip:

求根前一定要先提出公变量项，这样才能抓住多数学生因提前除 $x$ 而漏掉的 $x = 0$ 交点。

3. 确定每个子区间的上下曲线★★☆☆☆⏱ 3 min

将交点排序得到 $x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n}$ 后，最左交点 $x_{0}$ 到最右交点 $x_{n}$ 之间的整个区间会被分割为 $n$ 个子区间: $[x_{0}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], ..., [x_{n - 1}, x_{n}]$ 。在两个相邻交点之间，整个子区间内总有一条曲线严格在另一条上方。要确认哪条是上曲线哪条是下曲线，在子区间内任选一个测试 $x$ 值，计算 $f (x) - g (x)$ 。如果差值为正，则 $f (x)$ 是上曲线；如果差值为负，则 $g (x)$ 是上曲线。虽然多项式在每个交点后通常会交替上下位置，但对于非多项式或有重根的函数这并不一定成立，因此测试总是必要的。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{3} - 4 x$ 和 $g (x) = x$ 的排序交点为 $- 5, 0, 5$ ，确定每个子区间的上下曲线。

1
第一个子区间 $[- 5, 0]$ : 选测试点 $x = - 1$ :
2
$f(-1) - g(-1) = ((-1)^3 - 4(-1)) - (-1) = (-1 +4) +1 = 4 > 0$
3
所以 $f (x)$ 是上曲线， $g (x)$ 是下曲线在这个区间。
4
第二个子区间 $[0, 5]$ : 选测试点 $x = 1$ :
5
$f(1) - g(1) = (1 - 4(1)) - 1 = (-3) - 1 = -4 < 0$
6
所以 $g (x)$ 是上曲线， $f (x)$ 是下曲线在这个区间。

Exam tip:

如果你有图形计算器，可以绘图来验证测试结果，但在FRQ中一定要写出测试步骤，才能拿到建立积分的全部分数。

4. 建立并计算总面积★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

两条曲线之间的总面积总是正数，因为它测量的是曲线之间的实际空间，不是净符号面积。要得到每个子区间的正面积，你只需要在每个子区间对（上函数减下函数）积分，然后把结果相加。总面积的通用公式是：

\text{Total Area} = \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} \left( \text{upper}(x) - \text{lower}(x) \right) dx = \int_{x_0}^{x_n} |f(x) - g(x)| dx

第二个公式中的绝对值保证了结果为正，在交点处分区间可以让我们通过正确排序差值来去掉绝对值，让积分变得简单。对于AP微积分AB，建立积分之后，你只需要应用幂法则和微积分基本定理计算每个积分，再把结果相加即可。

📐 例题

利用前序例题得到的交点和上下曲线分配，计算 $f (x) = x^{3} - 4 x$ 和 $g (x) = x$ 之间的总有界面积。

1
建立积分和，化简被积函数：
2
$A = \int_{-\sqrt{5}}^{0} (x^3 - 5x) dx + \int_{0}^{\sqrt{5}} (-x^3 + 5x) dx$
3
求原函数: 第一个积分: $\frac{x ^{4}}{4} - \frac{5 x ^{2}}{2}$ ; 第二个积分: $- \frac{x ^{4}}{4} + \frac{5 x ^{2}}{2}$
4
计算第一个积分:
5
$\left(0 - 0\right) - \left(\frac{25}{4} - \frac{25}{2}\right) = \frac{25}{4}$
6
计算第二个积分:
7
$\left(-\frac{25}{4} + \frac{25}{2}\right) - 0 = \frac{25}{4}$
8
将结果相加得到总面积:
9
$A = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{25}{2} = 12.5$

✓ 快速检测

测试你对积分建立的理解：

曲线 $y = x^{3} - 5 x$ 和 $y = 3 x$ 相交于 $x = - 22$ , $x = 0$ , and $x = 22$ . 以下哪个是两条曲线之间总有界面积的正确积分建立？
- A) $\int_{- 22}^{22} (x^{3} - 8 x) d x$
- B) $\int_{- 22}^{0} (x^{3} - 8 x) d x + \int_{0}^{22} (8 x - x^{3}) d x$
- C) $\int_{- 22}^{0} (8 x - x^{3}) d x + \int_{0}^{22} (x^{3} - 8 x) d x$
- D) $\int_{0}^{22} (x^{3} - 8 x)^{2} d x$
显示答案
1 —
正确！你正确分割了区间，测试了上下曲线，并且正确建立了被积函数。选项A计算的是净符号面积（此处结果为0），选项C颠倒了上下曲线，选项D使用了错误的面积公式。

📐 例题

设 $f (x) = x^{4} - 5 x^{2}$ and $g (x) = - 4$ . 求两条曲线之间所有有界区域的总面积。

1
寻找并排序所有交点:
2
$x^4 - 5x^2 = -4 \implies (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0$
3
排序后的交点: $x = - 2, - 1, 1, 2$
4
测试得到每个子区间的上函数:
- $[- 2, - 1]$ : $g (x)$ 是上曲线
- $[- 1, 1]$ : $f (x)$ 是上曲线
- $[1, 2]$ : $g (x)$ 是上曲线
5
建立总面积积分:
6
$A = \int_{-2}^{-1} (-x^4 + 5x^2 - 4) dx + \int_{-1}^{1} (x^4 - 5x^2 + 4) dx + \int_{1}^{2} (-x^4 + 5x^2 - 4) dx$
7
利用对称性化简计算: 总面积 $A = 8$

Exam tip:

在FRQ中，正确的积分建立就能拿到全部分数，哪怕还没有计算结果，所以优先保证积分和正确，不要急着算出最终结果。

5. 常见陷阱

错误做法:

因式分解前将 $f (x) = g (x)$ 两边同时除以 $x$

原因:

急于化简会消去 $x = 0$ 这个根，导致交点数量少于实际需要。

正确做法:

一定要先整理为 $f (x) - g (x) = 0$ ，先提出所有公因子，再求所有根。

错误做法:

直接在最左交点到最右交点的整个区间上积分 $f (x) - g (x)$ ，不在中间交点处分区间

原因:

混淆了净符号面积和总面积；位置互换后产生的负面积会抵消正面积，导致最终结果偏小。

正确做法:

一定要在每个交点处分区间，每个子区间分别积分上函数减下函数。

错误做法:

默认每个交点后上函数会自动交替，跳过测试步骤

原因:

非多项式或有重根的函数不会交替，会导致上下曲线分配错误。

正确做法:

建立积分前，一定要在每个子区间内测试一个点，确认哪个函数是上曲线。

错误做法:

子区间内写（下函数 - 上函数）

原因:

差值符号错误会导致面积贡献为负，最终总面积偏小。

正确做法:

积分前确认测试点处（上 - 下）的差值为正。

错误做法:

只分别计算相邻交点对之间的面积

原因:

对总有界面积的误解会导致重复计数或包含无界面积。

正确做法:

一定要以最左和最右交点作为积分的外边界，在所有中间交点处分割区间。

6. 速查表

分类	公式/规则	说明
多交点总面积	$A = \sum_{i = 1}^{n} \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} (upper (x) - lower (x)) d x$	排序后的交点 $x_{0} < ... < x_{n}$ ；得到总正面积，而非净符号面积
绝对值形式	$A = \int_{x_{0}}^{x_{n}} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$	与求和公式等价；分割区间后可去掉绝对值，简化积分计算
寻找交点	$f (x) = g (x) ⟹ f (x) - g (x) = 0$	因式分解前先整理为等于零；不要除以变量项避免漏根
测试上下曲线	如果 $f (x_{t es t}) - g (x_{t es t}) > 0$ , $f$ 是上曲线	适用于所有函数类型；不需要依赖交替假设
对称性技巧	关于y轴对称的函数，积分从 $0$ 到 $x_{n}$ 后结果翻倍	减少计算量，降低算术错误概率
总有界面积	从最左交点积分到最右交点，在中间点分割区间	得到所有有界面积，不包含无界区域
FRQ建立得分	正确的积分和在计算前就能拿到完整的建立分数	限时考试中不要在化简建立上浪费时间

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · AB MCQ
识别正确的积分建立
2021 · AB FRQ
计算总有界面积

深入阅读

syllabus官方 AP 微积分 AB CED完整的第8单元主题大纲

下一步

本主题是第8单元后续更高级积分应用的基础，这些应用从计算旋转体体积和已知截面体积开始。这些主题都需要你计算两条曲线之间的距离，这依赖于在多交点区间正确识别上下曲线后再进行体积积分。如果没有掌握多交点分区间和跟踪上下曲线的方法，你就无法正确建立这些体积积分，而体积积分占第8单元考试分数的很大比例。本主题也强化了净符号面积和总面积之间的关键区别，这对于所有情境下的累积问题都至关重要。