# 相交超过两次的曲线间的面积

> AP 微积分 AB · AP 微积分 AB CED 第8单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-area-between-curves-intersecting-more/

本主题讲解如何计算相交三次及以上的两条曲线之间的总有界面积。你将学习如何寻找交点、分割区间、识别上下曲线，以及正确建立和计算总面积的积分。

**先修:** 求两条曲线的交点; 通过微积分基本定理计算定积分; 比较函数在闭区间上的取值

## 学习目标

- 求出两条相交曲线的所有交点
- 对交点排序并正确分割积分区间
- 确定每个子区间的上下曲线
- 计算有3个及以上交点的曲线之间的总有界面积

## 核心概念：多交点下的面积计算

当两条曲线的交点超过两个时，上下曲线的位置会在相邻交点之间互换。与只有两个交点的情况不同，你必须将最左交点到最右交点之间的整个区间分割为多个子区间，每个子区间内一条曲线始终保持在另一条上方。本主题属于第8单元，占AP微积分AB考试总分的10-15%，会出现在选择题和自由问答题中。

## 寻找并排序所有交点

多交点面积问题的第一个关键步骤是求出$f(x) = g(x)$的所有解，然后按$x$从小到大排序。哪怕只漏掉一个交点，都会导致区间分割错误，最终面积结果错误。一定要先整理方程为$f(x) - g(x) = 0$，然后对结果因式分解（AP AB中最常见的是多项式）来找到所有根。分解前千万不要除以$x$这类变量项，这会消去$x=0$这个根，而它是很常见的交点。

> **常见错误提醒**
>
> 提前除以变量项是AP考试中漏掉交点的最常见原因。

**例题:** 求$f(x) = x^3 - 4x$和$g(x) = x$所有交点按顺序排列的$x$坐标。

1. 令两个函数相等，整理为等于零的形式：
2. $$x^3 - 4x = x \implies x^3 - 5x = 0$$
3. 对结果因式分解：
4. $$x(x^2 - 5) = 0$$
5. 求解所有根: $x=0$, $x^2=5 \implies x = -\sqrt{5}$ or $x = \sqrt{5}$
6. 将根从左到右排序: 有序交点: $x = -\sqrt{5} \approx -2.236$, $x=0$, $x= \sqrt{5} \approx 2.236$

> **考试提示:** 求根前一定要先提出公变量项，这样才能抓住多数学生因提前除$x$而漏掉的$x=0$交点。

## 确定每个子区间的上下曲线

将交点排序得到$x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n$后，最左交点$x_0$到最右交点$x_n$之间的整个区间会被分割为$n$个子区间: $[x_0, x_1], [x_1, x_2], ..., [x_{n-1}, x_n]$。在两个相邻交点之间，整个子区间内总有一条曲线严格在另一条上方。要确认哪条是上曲线哪条是下曲线，在子区间内任选一个测试$x$值，计算$f(x) - g(x)$。如果差值为正，则$f(x)$是上曲线；如果差值为负，则$g(x)$是上曲线。虽然多项式在每个交点后通常会交替上下位置，但对于非多项式或有重根的函数这并不一定成立，因此测试总是必要的。

**例题:** 已知$f(x) = x^3 - 4x$和$g(x) = x$的排序交点为$-\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}$，确定每个子区间的上下曲线。

1. 第一个子区间 $[-\sqrt{5}, 0]$: 选测试点 $x=-1$:
2. $$f(-1) - g(-1) = ((-1)^3 - 4(-1)) - (-1) = (-1 +4) +1 = 4 > 0$$
3. 所以 $f(x)$ 是上曲线，$g(x)$ 是下曲线在这个区间。
4. 第二个子区间 $[0, \sqrt{5}]$: 选测试点 $x=1$:
5. $$f(1) - g(1) = (1 - 4(1)) - 1 = (-3) - 1 = -4 < 0$$
6. 所以 $g(x)$ 是上曲线，$f(x)$ 是下曲线在这个区间。

> **考试提示:** 如果你有图形计算器，可以绘图来验证测试结果，但在FRQ中一定要写出测试步骤，才能拿到建立积分的全部分数。

## 建立并计算总面积

两条曲线之间的总面积总是正数，因为它测量的是曲线之间的实际空间，不是净符号面积。要得到每个子区间的正面积，你只需要在每个子区间对（上函数减下函数）积分，然后把结果相加。总面积的通用公式是：

$$\text{Total Area} = \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} \left( \text{upper}(x) - \text{lower}(x) \right) dx = \int_{x_0}^{x_n} |f(x) - g(x)| dx$$

第二个公式中的绝对值保证了结果为正，在交点处分区间可以让我们通过正确排序差值来去掉绝对值，让积分变得简单。对于AP微积分AB，建立积分之后，你只需要应用幂法则和微积分基本定理计算每个积分，再把结果相加即可。

**例题:** 利用前序例题得到的交点和上下曲线分配，计算$f(x) = x^3 - 4x$和$g(x) = x$之间的总有界面积。

1. 建立积分和，化简被积函数：
2. $$A = \int_{-\sqrt{5}}^{0} (x^3 - 5x) dx + \int_{0}^{\sqrt{5}} (-x^3 + 5x) dx$$
3. 求原函数: 第一个积分: $\frac{x^4}{4} - \frac{5x^2}{2}$; 第二个积分: $-\frac{x^4}{4} + \frac{5x^2}{2}$
4. 计算第一个积分:
5. $$\left(0 - 0\right) - \left(\frac{25}{4} - \frac{25}{2}\right) = \frac{25}{4}$$
6. 计算第二个积分:
7. $$\left(-\frac{25}{4} + \frac{25}{2}\right) - 0 = \frac{25}{4}$$
8. 将结果相加得到总面积:
9. $$A = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{25}{2} = 12.5$$

**概念自测**

测试你对积分建立的理解：

1. 曲线 $y = x^3 - 5x$ 和 $y = 3x$ 相交于 $x = -2\sqrt{2}$, $x = 0$, and $x = 2\sqrt{2}$. 以下哪个是两条曲线之间总有界面积的正确积分建立？

   - A) $\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} (x^3 - 8x) dx$
   - B) $\int_{-2\sqrt{2}}^{0} (x^3 - 8x) dx + \int_{0}^{2\sqrt{2}} (8x - x^3) dx$
   - C) $\int_{-2\sqrt{2}}^{0} (8x - x^3) dx + \int_{0}^{2\sqrt{2}} (x^3 - 8x) dx$
   - D) $\int_{0}^{2\sqrt{2}} (x^3 - 8x)^2 dx$

   *答案:* B) $\int_{-2\sqrt{2}}^{0} (x^3 - 8x) dx + \int_{0}^{2\sqrt{2}} (8x - x^3) dx$

   *解析:* 正确！你正确分割了区间，测试了上下曲线，并且正确建立了被积函数。选项A计算的是净符号面积（此处结果为0），选项C颠倒了上下曲线，选项D使用了错误的面积公式。

**例题:** 设 $f(x) = x^4 - 5x^2$ and $g(x) = -4$. 求两条曲线之间所有有界区域的总面积。

1. 寻找并排序所有交点:
2. $$x^4 - 5x^2 = -4 \implies (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0$$
3. 排序后的交点: $x = -2, -1, 1, 2$
4. 测试得到每个子区间的上函数:  
- $[-2, -1]$: $g(x)$ 是上曲线  
- $[-1, 1]$: $f(x)$ 是上曲线  
- $[1, 2]$: $g(x)$ 是上曲线
5. 建立总面积积分:
6. $$A = \int_{-2}^{-1} (-x^4 + 5x^2 - 4) dx + \int_{-1}^{1} (x^4 - 5x^2 + 4) dx + \int_{1}^{2} (-x^4 + 5x^2 - 4) dx$$
7. 利用对称性化简计算: 总面积 $A = 8$

> **考试提示:** 在FRQ中，正确的积分建立就能拿到全部分数，哪怕还没有计算结果，所以优先保证积分和正确，不要急着算出最终结果。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 因式分解前将$f(x) = g(x)$两边同时除以$x$
  - 原因: 急于化简会消去$x=0$这个根，导致交点数量少于实际需要。
  - 正确做法: 一定要先整理为$f(x) - g(x) = 0$，先提出所有公因子，再求所有根。
- **错误做法:** 直接在最左交点到最右交点的整个区间上积分$f(x) - g(x)$，不在中间交点处分区间
  - 原因: 混淆了净符号面积和总面积；位置互换后产生的负面积会抵消正面积，导致最终结果偏小。
  - 正确做法: 一定要在每个交点处分区间，每个子区间分别积分上函数减下函数。
- **错误做法:** 默认每个交点后上函数会自动交替，跳过测试步骤
  - 原因: 非多项式或有重根的函数不会交替，会导致上下曲线分配错误。
  - 正确做法: 建立积分前，一定要在每个子区间内测试一个点，确认哪个函数是上曲线。
- **错误做法:** 子区间内写（下函数 - 上函数）
  - 原因: 差值符号错误会导致面积贡献为负，最终总面积偏小。
  - 正确做法: 积分前确认测试点处（上 - 下）的差值为正。
- **错误做法:** 只分别计算相邻交点对之间的面积
  - 原因: 对总有界面积的误解会导致重复计数或包含无界面积。
  - 正确做法: 一定要以最左和最右交点作为积分的外边界，在所有中间交点处分割区间。

## 速查表

| 分类 | 公式/规则 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 多交点总面积 | $A = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} (\text{upper}(x) - \text{lower}(x)) dx$ | 排序后的交点$x_0 < ... <x_n$；得到总正面积，而非净符号面积 |
| 绝对值形式 | $A = \int_{x_0}^{x_n} \|f(x) - g(x)\| dx$ | 与求和公式等价；分割区间后可去掉绝对值，简化积分计算 |
| 寻找交点 | $f(x) = g(x) \implies f(x) - g(x) = 0$ | 因式分解前先整理为等于零；不要除以变量项避免漏根 |
| 测试上下曲线 | 如果 $f(x_{test}) - g(x_{test}) > 0$, $f$ 是上曲线 | 适用于所有函数类型；不需要依赖交替假设 |
| 对称性技巧 | 关于y轴对称的函数，积分从$0$到$x_n$后结果翻倍 | 减少计算量，降低算术错误概率 |
| 总有界面积 | 从最左交点积分到最右交点，在中间点分割区间 | 得到所有有界面积，不包含无界区域 |
| FRQ建立得分 | 正确的积分和在计算前就能拿到完整的建立分数 | 限时考试中不要在化简建立上浪费时间 |

## 下一步

本主题是第8单元后续更高级积分应用的基础，这些应用从计算旋转体体积和已知截面体积开始。这些主题都需要你计算两条曲线之间的距离，这依赖于在多交点区间正确识别上下曲线后再进行体积积分。如果没有掌握多交点分区间和跟踪上下曲线的方法，你就无法正确建立这些体积积分，而体积积分占第8单元考试分数的很大比例。本主题也强化了净符号面积和总面积之间的关键区别，这对于所有情境下的累积问题都至关重要。

- [已知截面体积法：正方形与矩形](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-volumes-with-cross-sections-squares/)
- [截面法求体积：三角形与半圆形截面](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-volumes-with-cross-sections-triangles/)
- [绕x轴或y轴旋转的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-disc-method-around-the-x/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-area-between-curves-intersecting-more/