表示为x函数的曲线间面积

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Applications of Integration· 14 分钟阅读

1. 曲线间面积的核心定义★★☆☆☆⏱ 3 min

曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在竖直线 $x = a$ 和 $x = b$ 之间围成区域的总面积恒为正。该知识点占AP微积分AB考试总分的7-10%，会同时出现在选择题和自由作答题部分。与单曲线下的净面积（x轴下方的面积记为负值）不同，根据定义，两曲线间的面积始终为正。我们用宽度为 $Δ x$ 的竖条近似面积，再对黎曼和取极限得到定积分。

📘 定义

两曲线间面积（x的函数形式）

由两曲线 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ ，以及竖直边界 $x = a$ 和 $x = b$ 围成区域的正总面积，通过在区间上对上下函数的正差值积分计算得到。

2. 固定区间的基本面积公式★★☆☆☆⏱ 4 min

当一个函数在整个区间 $[a, b]$ 上始终在另一个函数上方时，每个竖条的高度就是上函数y值减去下函数y值的差。对这些面积求和得到黎曼和，取极限后即为定积分：

A = \int_a^b \left[ f_{\text{upper}}(x) - g_{\text{lower}}(x) \right] dx

x轴本身就是曲线 $y = 0$ ，因此曲线与x轴之间的面积就是这个通用公式的特例。

📐 例题

求由 $f (x) = x + 4$ 、 $g (x) = x^{2} + 2 x - 2$ 围成的区域在 $x = 0$ 和 $x = 2$ 之间的面积。

1
确认哪个函数在 $[0, 2]$ 上是上函数：代入 $x = 1$ 测试，得 $f (1) = 5$ ， $g (1) = 1 + 2 - 2 = 1$ ，因此 $f (x)$ 在整个区间上都大于 $g (x)$ 。
2
化简被积函数（上函数减下函数）：
$f(x) - g(x) = (x+4) - (x^2 + 2x - 2) = -x^2 - x + 6$
3
建立定积分：
$A = \int_0^2 (-x^2 - x + 6) dx$
4
求原函数：
$F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x$
5
用微积分基本定理计算结果：
$F(2) - F(0) = \left(-\frac{8}{3} - 2 + 12\right) - 0 = \frac{22}{3} \approx 7.33$

Exam tip:

如果AP题目要求“仅建立积分不计算”，写完积分表达式后就停止，不要浪费时间做多余计算。

3. 由交点求积分区间★★★☆☆⏱ 3 min

很多AP题目不会给出明确的区间 $[a, b]$ ，而是要求两曲线围成区域的面积。这种情况下，区间边界就是两曲线交点的x坐标。解方程 $f (x) = g (x)$ 后，对解排序得到下限 $a$ （最小的x）和上限 $b$ （最大的x）。一定要确认交点之间区间上哪个是上函数，不要根据首项系数或其他一般性质直接假设。

📐 例题

求由 $f (x) = 2 x$ 和 $g (x) = x^{2} - 4 x$ 围成区域的面积。

1
令两函数相等求交点：
$2x = x^2 - 4x \implies 0 = x^2 - 6x = x(x-6)$
2
解为 $x = 0$ 和 $x = 6$ ，因此区间边界为 $a = 0$ ， $b = 6$ 。确认 $(0, 6)$ 上的上函数：代入 $x = 1$ 测试，得 $f (1) = 2$ ， $g (1) = - 3$ ，因此 $f (x)$ 在整个区间上都大于 $g (x)$ 。
3
建立并化简面积积分：
$A = \int_0^6 \left[2x - (x^2 - 4x)\right] dx = \int_0^6 (6x - x^2) dx$
4
计算积分：
$\text{Antiderivative} = 3x^2 - \frac{x^3}{3}, \quad A = \left(3(6)^2 - \frac{6^3}{3}\right) - 0 = 36$

Exam tip:

求解交点时一定要检查增根，遇到含平方根或有理函数的情况尤其要注意。将解用作区间边界前，一定要在两个原函数中验证。

4. 上下边界变化的区域★★★★☆⏱ 4 min

如果两曲线在感兴趣区间内相交超过一次，上下函数的顺序会在相邻交点之间交换。我们不能对整个区间只用一个积分，因为一个子区间的负面积会抵消另一个子区间的正面积，得到错误的最终结果。正确做法是将所有交点按x排序，把原区间分割为上下顺序不变的子区间，分别计算每个子区间的面积，再相加得到结果。

📐 例题

求 $f (x) = sin x$ 和 $g (x) = cos x$ 在 $x = 0$ 到 $x = π$ 之间围成区域的总面积。

1
求 $[0, π]$ 内的交点：
$\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$
2
分割为两个子区间： $[0, \frac{π}{4}]$ 和 $[\frac{π}{4}, π]$ 。确认每个区间的上函数：在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上， $cos x > sin x$ ，因此 $g (x)$ 是上函数。在 $[\frac{π}{4}, π]$ 上， $sin x > cos x$ ，因此 $f (x)$ 是上函数。
3
拆分面积积分：
$A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^\pi (\sin x - \cos x) dx$
4
分别计算两个积分：第一个原函数 $sin x + cos x$ 得到结果 $2 - 1$ 。第二个原函数 $- cos x - sin x$ 得到结果 $1 + 2$ 。
5
将面积相加：
$A = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \approx 2.83$

✓ 快速检测

以下哪个选项是 $y = x^{3} - 4 x$ 和 $y = x$ 围成区域总面积的正确建立方式？

哪个选项正确？
- $\int_{- 5}^{5} (x^{3} - 5 x) d x$
- $\int_{- 5}^{0} [(x^{3} - 4 x) - x] d x + \int_{0}^{5} [x - (x^{3} - 4 x)] d x$
- $\int_{- 5}^{5} x^{3} - 5 x d x$
- B和C都对
显示答案
3 —
交点为 $x = - 5, 0, 5$ 。上函数在 $x = 0$ 处发生变化，因此B中的拆分积分是正确的。C中的绝对值形式自动处理了符号变化，因此也是正确的。所以D是正确答案。

Exam tip:

对多个子区间的面积求和时，一定要把所有结果相加，不要相减，因为每个积分本身已经得到对应子区间的正面积。

5. 常见陷阱

错误做法:

求得交点为 $x = - 2$ 和 $x = 3$ 后，从 $3$ 到 $- 2$ 积分，并将负结果作为最终面积。

原因:

学生搞反了区间顺序，忘记面积必须始终为正。

正确做法:

始终按从小到大的x顺序排列区间边界，如果不小心颠倒了边界，就对负结果取绝对值。

错误做法:

当曲线在区间内相交时，对整个区间只写一个 $(f (x) - g (x))$ 的积分，导致面积相互抵消。

原因:

学生忘记上下交换会改变被积函数的符号，导致正负面积错误抵消。

正确做法:

找出区间内所有交点，按x值排序，将积分拆分为每对相邻交点之间的子区间分别积分。

错误做法:

用较小函数减较大函数，导致被积函数为负，面积为负。

原因:

学生急于建立积分，没有检查区间内哪个函数是上函数。

正确做法:

确定边界后，在区间内测试一个x值，确认哪个函数输出更大，然后用大输出减小输出。

错误做法:

题目已经给出 $x = a$ 到 $x = b$ 的明确边界，却用曲线交点作为边界，而非题目给出的 $a$ 和 $b$ 。

原因:

学生混淆了“求完全围成区域的面积”和“求两条给定竖线之间的面积”两类问题。

正确做法:

仔细读题：如果题目给出了明确的边界 $a$ 和 $b$ ，就用这些值，不需要再求解新的交点。

错误做法:

求曲线 $f (x)$ 和x轴之间的面积时，当 $f (x)$ 延伸到x轴下方，只写 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 而不拆分积分。

原因:

学生忘记x轴就是曲线 $y = 0$ ，当 $f (x)$ 为负时，x轴就是上函数。

正确做法:

在 $f (x)$ 穿过x轴的位置拆分积分，对 $f (x) < 0$ 的区间积分 $(0 - f (x))$ 。

6. 速查表

类别	公式 / 规则	说明
基本面积（顺序不变）	$A = \int_{a}^{b} [f_{upper} (x) - g_{lower} (x)] d x$	适用于对所有 $x \in [a, b]$ 都有 $f (x) \geq g (x)$ 的情况；区间按 $a < b$ 排列可得到正面积
由交点求区间	Solve $f (x) = g (x)$ for $x$	区间边界是有效交点的x坐标；舍去定义域外的解
曲线与x轴之间的面积	$A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$	在x截点处拆分积分；当 $f (x) < 0$ 时用 $(0 - f (x))$
多个交点	$A = \sum_{i = 1}^{n - 1} \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} [f_{upper} - g_{lower}] d x$	将交点按x排序；拆分为上下顺序不变的子区间
绝对值快捷方法	$A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$	适用于任意次数相交的情况；自动处理符号变化
总面积 vs 净面积	Total = $\int ∣ f - g ∣ d x$ , Net = $\int (f - g) d x$	AP几乎总是要求总面积；净面积不等于曲线间面积

下一步

本知识点是AP微积分AB第8单元下一个核心知识点的基础：表示为y函数的曲线间面积求解，该知识点将你在这里学到的竖条切片逻辑推广到横条切片。掌握“上边界减下边界，被积函数恒正”的核心思想对该知识点至关重要，该知识点的核心原理变为“右边界减左边界”。本知识点还直接为旋转体体积和已知截面面积求体积做铺垫，后者是第8单元分值最高的子主题。你在这里用于面积计算的切片逻辑会被推广到体积截面面积计算，因此牢固掌握这里的积分建立方法对AP考试自由作答题拿高分至关重要。