# 表示为x函数的曲线间面积

> AP 微积分 AB · 积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-area-between-curves-expressed-as/

本指南讲解AP微积分AB中，表示为x函数的两曲线间正总面积的求解方法，包括核心公式、由交点求积分区间、处理边界交换，以及考试题目中积分的计算。

**先修:** x函数的定积分; 求两个函数的交点; [微积分基本定理第二部分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-fundamental-theorem-calculus/)

## 学习目标

- 推导并应用表示为x函数的两曲线间面积公式
- 求交点以确定积分区间
- 处理上下函数位置交换的区域
- 建立并计算曲线间总面积的积分

## 曲线间面积的核心定义

曲线$y=f(x)$与$y=g(x)$在竖直线$x=a$和$x=b$之间围成区域的总面积恒为正。该知识点占AP微积分AB考试总分的7-10%，会同时出现在选择题和自由作答题部分。与单曲线下的净面积（x轴下方的面积记为负值）不同，根据定义，两曲线间的面积始终为正。我们用宽度为$\Delta x$的竖条近似面积，再对黎曼和取极限得到定积分。

**两曲线间面积（x的函数形式）** — 由两曲线$y=f(x)$，$y=g(x)$，以及竖直边界$x=a$和$x=b$围成区域的正总面积，通过在区间上对上下函数的正差值积分计算得到。

> **note**
>
> AP考试题目会要求你既建立面积积分（常见于选择题），也计算精确或近似面积（常见于自由作答题），且常结合实际背景出题。

## 固定区间的基本面积公式

当一个函数在整个区间$[a,b]$上始终在另一个函数上方时，每个竖条的高度就是上函数y值减去下函数y值的差。对这些面积求和得到黎曼和，取极限后即为定积分：

$$A = \int_a^b \left[ f_{\text{upper}}(x) - g_{\text{lower}}(x) \right] dx$$

x轴本身就是曲线$y=0$，因此曲线与x轴之间的面积就是这个通用公式的特例。

**例题:** 求由$f(x) = x + 4$、$g(x) = x^2 + 2x - 2$围成的区域在$x=0$和$x=2$之间的面积。

1. 确认哪个函数在$[0,2]$上是上函数：代入$x=1$测试，得$f(1)=5$，$g(1)=1+2-2=1$，因此$f(x)$在整个区间上都大于$g(x)$。
2. 化简被积函数（上函数减下函数）：

   $$f(x) - g(x) = (x+4) - (x^2 + 2x - 2) = -x^2 - x + 6$$
3. 建立定积分：

   $$A = \int_0^2 (-x^2 - x + 6) dx$$
4. 求原函数：

   $$F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x$$
5. 用微积分基本定理计算结果：

   $$F(2) - F(0) = \left(-\frac{8}{3} - 2 + 12\right) - 0 = \frac{22}{3} \approx 7.33$$

> **考试提示:** 如果AP题目要求“仅建立积分不计算”，写完积分表达式后就停止，不要浪费时间做多余计算。

## 由交点求积分区间

很多AP题目不会给出明确的区间$[a,b]$，而是要求两曲线围成区域的面积。这种情况下，区间边界就是两曲线交点的x坐标。解方程$f(x) = g(x)$后，对解排序得到下限$a$（最小的x）和上限$b$（最大的x）。一定要确认交点之间区间上哪个是上函数，不要根据首项系数或其他一般性质直接假设。

**例题:** 求由$f(x) = 2x$和$g(x) = x^2 - 4x$围成区域的面积。

1. 令两函数相等求交点：

   $$2x = x^2 - 4x \implies 0 = x^2 - 6x = x(x-6)$$
2. 解为$x=0$和$x=6$，因此区间边界为$a=0$，$b=6$。确认$(0,6)$上的上函数：代入$x=1$测试，得$f(1)=2$，$g(1)=-3$，因此$f(x)$在整个区间上都大于$g(x)$。
3. 建立并化简面积积分：

   $$A = \int_0^6 \left[2x - (x^2 - 4x)\right] dx = \int_0^6 (6x - x^2) dx$$
4. 计算积分：

   $$\text{Antiderivative} = 3x^2 - \frac{x^3}{3}, \quad A = \left(3(6)^2 - \frac{6^3}{3}\right) - 0 = 36$$

> **考试提示:** 求解交点时一定要检查增根，遇到含平方根或有理函数的情况尤其要注意。将解用作区间边界前，一定要在两个原函数中验证。

## 上下边界变化的区域

如果两曲线在感兴趣区间内相交超过一次，上下函数的顺序会在相邻交点之间交换。我们不能对整个区间只用一个积分，因为一个子区间的负面积会抵消另一个子区间的正面积，得到错误的最终结果。正确做法是将所有交点按x排序，把原区间分割为上下顺序不变的子区间，分别计算每个子区间的面积，再相加得到结果。

**例题:** 求$f(x) = \sin x$和$g(x) = \cos x$在$x=0$到$x=\pi$之间围成区域的总面积。

1. 求$[0, \pi]$内的交点：

   $$\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$$
2. 分割为两个子区间：$[0, \frac{\pi}{4}]$和$[\frac{\pi}{4}, \pi]$。确认每个区间的上函数：在$[0, \frac{\pi}{4}]$上，$\cos x > \sin x$，因此$g(x)$是上函数。在$[\frac{\pi}{4}, \pi]$上，$\sin x > \cos x$，因此$f(x)$是上函数。
3. 拆分面积积分：

   $$A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^\pi (\sin x - \cos x) dx$$
4. 分别计算两个积分：第一个原函数$\sin x + \cos x$得到结果$\sqrt{2} - 1$。第二个原函数$-\cos x - \sin x$得到结果$1 + \sqrt{2}$。
5. 将面积相加：

   $$A = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \approx 2.83$$

**概念自测**

以下哪个选项是$y = x^3 - 4x$和$y = x$围成区域总面积的正确建立方式？

1. 哪个选项正确？

   - $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (x^3 - 5x) dx$
   - $\int_{-\sqrt{5}}^{0} \left[(x^3 - 4x) - x\right] dx + \int_{0}^{\sqrt{5}} \left[x - (x^3 - 4x)\right] dx$
   - $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \left|x^3 - 5x\right| dx$
   - B和C都对

   *答案:* B和C都对

   *解析:* 交点为$x=-\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}$。上函数在$x=0$处发生变化，因此B中的拆分积分是正确的。C中的绝对值形式自动处理了符号变化，因此也是正确的。所以D是正确答案。

> **考试提示:** 对多个子区间的面积求和时，一定要把所有结果相加，不要相减，因为每个积分本身已经得到对应子区间的正面积。

## 常见错误

- **错误做法:** 求得交点为$x=-2$和$x=3$后，从$3$到$-2$积分，并将负结果作为最终面积。
  - 原因: 学生搞反了区间顺序，忘记面积必须始终为正。
  - 正确做法: 始终按从小到大的x顺序排列区间边界，如果不小心颠倒了边界，就对负结果取绝对值。
- **错误做法:** 当曲线在区间内相交时，对整个区间只写一个$(f(x)-g(x))$的积分，导致面积相互抵消。
  - 原因: 学生忘记上下交换会改变被积函数的符号，导致正负面积错误抵消。
  - 正确做法: 找出区间内所有交点，按x值排序，将积分拆分为每对相邻交点之间的子区间分别积分。
- **错误做法:** 用较小函数减较大函数，导致被积函数为负，面积为负。
  - 原因: 学生急于建立积分，没有检查区间内哪个函数是上函数。
  - 正确做法: 确定边界后，在区间内测试一个x值，确认哪个函数输出更大，然后用大输出减小输出。
- **错误做法:** 题目已经给出$x=a$到$x=b$的明确边界，却用曲线交点作为边界，而非题目给出的$a$和$b$。
  - 原因: 学生混淆了“求完全围成区域的面积”和“求两条给定竖线之间的面积”两类问题。
  - 正确做法: 仔细读题：如果题目给出了明确的边界$a$和$b$，就用这些值，不需要再求解新的交点。
- **错误做法:** 求曲线$f(x)$和x轴之间的面积时，当$f(x)$延伸到x轴下方，只写$\int_a^b f(x) dx$而不拆分积分。
  - 原因: 学生忘记x轴就是曲线$y=0$，当$f(x)$为负时，x轴就是上函数。
  - 正确做法: 在$f(x)$穿过x轴的位置拆分积分，对$f(x) < 0$的区间积分$(0 - f(x))$。

## 速查表

| 类别 | 公式 / 规则 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 基本面积（顺序不变） | $A = \int_a^b \left[ f_{\text{upper}}(x) - g_{\text{lower}}(x) \right] dx$ | 适用于对所有$x \in [a,b]$都有$f(x) \geq g(x)$的情况；区间按$a < b$排列可得到正面积 |
| 由交点求区间 | Solve $f(x) = g(x)$ for $x$ | 区间边界是有效交点的x坐标；舍去定义域外的解 |
| 曲线与x轴之间的面积 | $A = \int_a^b \|f(x)\| dx$ | 在x截点处拆分积分；当$f(x) < 0$时用$(0 - f(x))$ |
| 多个交点 | $A = \sum_{i=1}^{n-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} \left[f_{\text{upper}} - g_{\text{lower}}\right] dx$ | 将交点按x排序；拆分为上下顺序不变的子区间 |
| 绝对值快捷方法 | $A = \int_a^b \|f(x) - g(x)\| dx$ | 适用于任意次数相交的情况；自动处理符号变化 |
| 总面积 vs 净面积 | Total = $\int \|f-g\| dx$, Net = $\int (f-g) dx$ | AP几乎总是要求总面积；净面积不等于曲线间面积 |

## 下一步

本知识点是AP微积分AB第8单元下一个核心知识点的基础：表示为y函数的曲线间面积求解，该知识点将你在这里学到的竖条切片逻辑推广到横条切片。掌握“上边界减下边界，被积函数恒正”的核心思想对该知识点至关重要，该知识点的核心原理变为“右边界减左边界”。本知识点还直接为旋转体体积和已知截面面积求体积做铺垫，后者是第8单元分值最高的子主题。你在这里用于面积计算的切片逻辑会被推广到体积截面面积计算，因此牢固掌握这里的积分建立方法对AP考试自由作答题拿高分至关重要。

- [相交超过两次的曲线间的面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-area-between-curves-intersecting-more/)
- [已知截面体积法：正方形与矩形](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-volumes-with-cross-sections-squares/)
- [截面法求体积：三角形与半圆形截面](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-volumes-with-cross-sections-triangles/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u8-area-between-curves-expressed-as/