实际应用场景中的累积函数与定积分

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 积分的应用· 14 分钟阅读

1. 什么是累积函数？★★☆☆☆⏱ 3 min

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累积函数的定义为 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，其中 $a$ 是固定的起点常数。在实际问题中， $f (t)$ 几乎总是某个可测量实际物理量的变化率。累积函数可以让你计算任意可变上界 $x$ 处的净变化，将抽象的积分与实际问题解决联系起来。该知识点占AP微积分AB考试总分的9–13%，会在选择题和自由问答题部分都出现。

📘 定义

累积函数

$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ , $a$ constant

表示某一物理量从固定起点 $a$ 到可变上界 $x$ 的净累积变化的函数，其中被积函数是该物理量的变化率。

例:

$P (x) = \int_{10}^{x} r (t) d t$ ，2020年到 $x$ 年的总人口增长

2. 利用微积分基本定理第一部分（FTC 1）求累积函数的导数★★☆☆☆⏱ 4 min

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根据微积分基本定理第一部分（FTC 1），下界为常数的累积函数的导数就是被积函数在 $x$ 处的值：

\frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{x} r(t) dt \right) = r(x)

常数下界 $a$ 不影响导数，因为常数的导数为零。如果下界是 $x$ 的函数而上界是常数，交换积分上下限并添加负号： $\frac{d}{d x} (\int_{x}^{b} r (t) d t) = - r (x)$ 。如果上下限都是 $x$ 的函数，在某个常数处拆分积分，然后对每个限应用链式法则：

\frac{d}{dx} \left( \int_{u(x)}^{v(x)} r(t) dt \right) = r(v(x)) \cdot v'(x) - r(u(x)) \cdot u'(x)

📐 例题

某城市人口的年增长率为 $r (t) = 250 + 10 t - 0.1 t^{2}$ 人/年，其中 $t \geq 0$ 是2010年之后的年数。设 $P (x) = \int_{10}^{x} r (t) d t$ 为2020年到 $x$ 年的总人口增长，求 $P^{'} (20)$ ，即2030年的人口增长率。

1
根据定义， $P (x)$ 是下界为常数、上界为可变 $x$ 的累积函数，因此FTC 1给出 $P^{'} (x) = r (x)$ ，与常数下界无关。
2
将 $x = 20$ 代入速率函数：
$P'(20) = r(20) = 250 + 10(20) - 0.1(20)^2$
3
化简计算：
$250 + 200 - 0.1(400) = 450 - 40 = 410$
4
结果为 410 人/年，与原速率的单位一致。

Exam tip:

如果题目要求求累积函数的导数，你几乎不需要先计算积分 —— 直接应用FTC 1可以在考试中节省时间。

3. 净变化定理★★★☆☆⏱ 4 min

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净变化定理是速率函数定积分在实际应用中的核心结论，它是微积分基本定理第二部分的直接推论。该定理指出：如果 $r (t)$ 是物理量 $Q (t)$ 的变化率，那么 $Q$ 在区间 $[a, b]$ 上的总净变化等于 $r (t)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分：

\text{Net Change in } Q = Q(b) - Q(a) = \int_{a}^{b} r(t) dt

这里的关键词是净：积分将正变化（增加）和负变化（减少）相加减，得到最终量和初始量的总差值，而不是变化的总绝对量。例如，如果 $r (t)$ 是速度，那么积分得到的是位移（位置的净变化），而总路程需要对速度的绝对值 $∣ v (t) ∣$ 积分。如果你已知初始量 $Q (a)$ ，要求 $b$ 时刻物理量的总量，可以将公式整理为 $Q (b) = Q (a) + \int_{a}^{b} r (t) d t$ 。该公式在AP考试的大多数积分应用类自由问答题中都会用到。

📘 定义

净变化定理

如果 $r (t)$ 是物理量 $Q (t)$ 的变化率， $r (t)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分等于 $Q (t)$ 从 $t = a$ 到 $t = b$ 的净变化。

📐 例题

患者服用退烧药后，体温的变化率为 $r (t) = - 0.4 t + 1$ 华氏度/小时，其中 $t$ 是服药后的小时数。如果患者在 $t = 0$ 时的初始体温为 102.4°F，那么服药 6 小时后患者的体温是多少？

1
使用整理后的净变化定理： $T (6) = T (0) + \int_{0}^{6} r (t) d t$ ，其中 $T (t)$ 是 $t$ 时刻的体温。
2
求 $r (t)$ 的原函数：
$\int (-0.4t + 1) dt = -0.2t^2 + t + C$
3
计算定积分：
$\left(-0.2(6)^2 + 6\right) - \left(-0.2(0)^2 + 0\right) = -7.2 + 6 = -1.2°F$
4
将净变化加到初始体温上：
$T(6) = 102.4 + (-1.2) = 101.2°F$

Exam tip:

永远记住，要得到最终总量，需要将初始量加到积分结果上 —— 积分只给出净变化，不是总量。

4. 在实际场景中解释定积分的含义★★☆☆☆⏱ 3 min

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AP考试中一种常见的非计算题会要求你结合问题场景解释给定的速率函数定积分的含义。要拿到解释题的全部分数，你必须包含三个必要要素：(1) 发生变化的物理量的具体名称，(2) 说明这是净变化（如果是绝对值积分则是总变化），(3) 结合问题场景说明变化发生的区间。积分的单位总是速率函数单位乘以自变量单位，你可以用这一点验证你的解释是否合理。

📐 例题

某电力公司测得一户家庭的用电速率为 $P (t) = 120 + 40 sin (\frac{π t}{12})$ 千瓦，其中 $t$ 是午夜之后的小时数。结合场景解释 $\int_{0}^{12} P (t) d t$ 的含义，并说明它的单位。

1
识别出 $P (t)$ 是能量相对于时间的消耗速率，因此速率的积分就是总消耗能量的净变化。
2
将上下限对应到场景中： $t = 0$ 是午夜， $t = 12$ 是当天中午。
3
写出包含所有必要要素的完整解释：积分 $\int_{0}^{12} P (t) d t$ 是该家庭在午夜到中午之间消耗的总净电能。
4
计算单位： $P (t)$ 的单位是千瓦， $t$ 的单位是小时，因此积分的单位是千瓦时，这是电能的标准单位。

Exam tip:

在自由问答解释题中，永远不要只说"它是曲线下的面积" —— 你必须结合问题场景作答才能拿到满分。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算出 $\int_{a}^{b} r (t) d t$ 得到净变化后，就停止计算，直接把积分值作为 $b$ 处物理量的最终总量。

原因:

学生混淆了净变化和总量，忘记该物理量的初始值不为零。

正确做法:

永远要检查题目问的是净变化还是总量；如果问的是总量，把初始量加到积分结果上。

错误做法:

对 $\frac{d}{d x} \int_{x}^{5} r (t) d t$ 求导时，你写出的结果是 $r (x)$ 而不是 $- r (x)$ 。

原因:

学生只记住了变量在上界的FTC 1，忘记交换积分上下限需要变号。

正确做法:

只要变量在积分下界，就先交换上下限把变量移到上界，添加负号后再应用FTC 1。

错误做法:

你把 $\int_{a}^{b} ∣ r (t) ∣ d t$ 和 $\int_{a}^{b} r (t) d t$ 都解释为净变化。

原因:

学生混淆了总累积变化（分别计入所有增加和减少）和净变化（增加减去减少）。

正确做法:

永远要注意被积函数是不是速率的绝对值；绝对值的积分是总变化，不是净变化，因此需要相应调整你的解释或计算。

错误做法:

对 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{v (x)} r (t) d t$ 求导时，你只写出 $r (v (x))$ ，忘记乘以 $v^{'} (x)$ 。

原因:

学生只记住了FTC 1的规则，忘记非线性可变上下限需要应用链式法则。

正确做法:

只要上下限是 $x$ 的函数（不只是 $x$ 本身），就要根据链式法则乘以该限的导数。

错误做法:

你得到的顾客数量、水量这类总物理量是负数，而这类量不可能为负。

原因:

你交换积分上下限时出错，或者计算净变化时符号搞错了。

正确做法:

永远要检查你的最终答案在场景中是否合理；得到不可能为负的负值就是一个明确信号，说明你需要修正符号错误。

6. 速查表

类别	公式	说明
基础累积函数	$A (x) = \int_{a}^{x} r (t) d t$	$a$ = 固定起点， $r (t)$ = 变化率， $A (x)$ = 从 $a$ 到 $x$ 的净变化
常数下界的FTC 1	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} r (t) d t = r (x)$	常数下界不影响导数
可变上下限的FTC 1	$\frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{v (x)} r (t) d t = r (v (x)) v^{'} (x) - r (u (x)) u^{'} (x)$	永远乘以每个可变限的导数
净变化定理	$Q (b) - Q (a) = \int_{a}^{b} r (t) d t$	变化率的积分等于物理量的净变化
最终总物理量	$Q (b) = Q (a) + \int_{a}^{b} r (t) d t$	题目问总量而非净变化时使用这个公式
定积分含义释	$\int_{a}^{b} r (t) d t$	必须包含：1) 净变化，2) 物理量名称，3) 区间从 $t = a$ 到 $t = b$
总（非净）变化	$Total Change = \int_{a}^{b} ∣ r (t) ∣ d t$	用于总路程、总顾客数等场景

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · AB
FRQ：累积函数实际场景问题
2022 · AB
MCQ：累积函数的导数

下一步

本知识点是第8单元后续所有积分应用问题的基础，也是积分应用另外两个核心知识点（曲线间面积、旋转体体积）的前置知识。掌握净变化定理和累积函数是解决连接位置、速度、加速度的运动学问题的必要条件，而运动学问题是AP自由问答题非常常见的考点；同时它也能帮助你理解积分如何在课程所有领域中表示累积变化。如果不能扎实掌握如何在场景中解释和求导累积函数，你会很难在结合积分和导数解释的多问自由问答题中拿到满分。