使用微分方程对实际场景建模

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分方程· 14 分钟阅读

1. 什么是微分方程建模？★★☆☆☆⏱ 3 min

微分方程是指包含未知函数的一个或多个导数的方程。微分方程建模的核心过程是：将关于某一量及其变化率之间关系的文字、情境或图形描述转化为正式的数学方程。这几乎是AP考试中所有微分方程问题的第一步：如果不能根据给定描述正确写出微分方程，就无法求解它。

根据AP 微积分 AB CED，第7单元（微分方程）占考试总分的6-12%，本专题是学习该单元所有其他微分方程技能（包括斜率场、分离变量法、指数增长/衰减）的基础。它会同时出现在选择题和自由作答题中，几乎总是作为较长FRQ的第一问，之后才会要求求解微分方程或解释其解。

2. 转化情境中的变化率描述★★★☆☆⏱ 4 min

这项技能的核心思想是：任何关于量如何变化的描述都可以直接转化为该量的导数。最常见的情况是变化率与量本身成正比，但也会遇到变化率与该量和某个常数的差成正比、与量的幂成正比，或是等于多个项的组合的情况。

明确识别因变量（发生变化的量）和自变量（在AP题目中几乎总是时间 $t$ ）。
将"[因变量]的变化率"这句话直接转化为因变量对自变量的导数。
"与X成正比"总是意味着"等于 $k$ 乘以X"，按照惯例， $k > 0$ 是比例常数。
添加正确的符号：如果量在减小，即使 $k > 0$ ，导数也要带负号。

📐 例题

封闭种群中感染病毒的人数 $N$ 的增长速率与已感染人数和总人口（5000）减去已感染人数的差的乘积成正比。写出描述该场景的微分方程。

1
1. 识别变量：因变量是 $N$ （时刻 $t$ 的感染人数），自变量是时间 $t$ 。
2
1. 转化描述：" $N$ 的变化率"即为：
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$\frac{dN}{dt}$
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速率与 $N$ 和 $(5000 - N)$ 的乘积成正比，因此得到 $k \cdot N (5000 - N)$ 。
5
1. 确认符号：题目说明 $N$ 在增长，因此导数为正。当 $0 < N < 5000$ 、 $k > 0$ 时，所有项都是正的，因此不需要负号。
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1. 最终微分方程：
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$\frac{dN}{dt} = kN(5000 - N) \quad \text{for } k>0$

Exam tip:

务必逐字逐句翻译题目，不要添加额外假设。如果题目说" $y$ 与100的差"，就写 $(y - 100)$ ，除非题目明确说明变化方向，否则不要调换为 $(100 - y)$ 。

3. 按阶数分类微分方程★★☆☆☆⏱ 3 min

微分方程的阶数定义为方程中出现的最高阶导数的阶数。例如，一阶微分方程只包含未知函数的一阶导数，二阶微分方程包含二阶导数。AP 微积分 AB几乎只处理一阶微分方程，但要求你能正确识别任意微分方程的阶数，这是选择题中常见的考点陷阱。

阶数很重要，因为微分方程通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数，因此一阶微分方程需要一个初始条件来求特解，这是AP考试的典型问题。

📐 例题

微分方程 $\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - 4 t (\frac{d y}{d t})^{3} + 7 y = cos t$ 的阶数是多少？证明你的结论。

1
1. 回忆：阶数由方程中所有导数的最高阶数决定，和导数的幂次无关。
2
1. 列出所有出现的导数及其阶数： $\frac{d y}{d t}$ 是一阶， $\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}}$ 是二阶。
3
1. 注意 $\frac{d y}{d t}$ 虽然取了三次幂，但这不会改变它作为一阶导数的阶数。
4
1. 方程中出现的最高阶导数是二阶，因此该微分方程是二阶的。

Exam tip:

当题目要求确定阶数时，把微分方程中的每个导数圈出来，在旁边写出它的阶数，然后选最大的那个数。这样可以避免把阶数和幂次混淆的常见错误。

4. 验证微分方程的解★★★☆☆⏱ 4 min

要确认给定的候选函数是微分方程的解，你需要将该函数及其所有要求的导数代入微分方程，检查方程两边在定义域内所有自变量取值下都相等。这是选择题和自由作答题都常考的技能，通常出现在建立微分方程之后，作为题目的第二部分。

计算候选函数在微分方程中出现的所有导数（对于一阶微分方程，只需要一阶导数）。
将候选函数 $y$ 及其导数代入微分方程的左边和右边。
化简两边。如果两边恒等，那么该候选函数就是解；否则不是。

📐 例题

验证 $y = 3 e^{2 x} + 4 x + 1$ 是微分方程 $\frac{d y}{d x} = 2 y - 8 x - 6$ 的解。

1
1. 计算候选解的一阶导数：
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$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(3e^{2x} + 4x + 1\right) = 6e^{2x} + 4$
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1. 将 $y$ 代入微分方程的右边并化简：
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$2y - 8x - 6 = 2\left(3e^{2x} + 4x + 1\right) - 8x - 6 = 6e^{2x} + 8x + 2 - 8x - 6 = 6e^{2x} - 4$
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1. 比较左边（ $\frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x} + 4$ ）和化简后的右边。两边不相等。
6
1. 结论：由于对所有 $x$ 都有 $LHS \neq = RHS$ ，因此 $y = 3 e^{2 x} + 4 x + 1$ 不是该微分方程的解。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

以下哪个微分方程正确描述了该命题：沿 $x$ 轴运动的质点的加速度与质点到原点的位移 $x$ 成正比，当 $x$ 为正时加速度为负。设位移 $x$ 是时间 $t$ 的函数， $k > 0$ 为常数。
- $\frac{d x}{d t} = - k x$
- $\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = - k x$
- $\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = k x$
- $\frac{d x}{d t} = k x$
显示答案
1 —
正确：加速度是位移对时间的二阶导数，负号在 $k > 0$ 的情况下给出了题目要求的正确关系。

Exam tip:

验证解时要反复检查求导和计算：小小的符号错误就会导致你错误地拒绝有效解或接受无效解。

5. 常见陷阱

错误做法:

对于体积减小的泄漏水箱，写出 $\frac{d V}{d t} = k V$ ，遗漏了负号。

原因:

学生记住了"成正比"，但忘记考虑题目中描述的变化方向。

正确做法:

写出比例关系后，明确问自己：这个量是增加还是减少？如果是减少，给导数加上负号，按照惯例保持 $k > 0$ 。

错误做法:

将 $(\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}})^{3} + \frac{d y}{d x} = 0$ 分类为三阶，因为最高阶导数做了三次方。

原因:

学生混淆了导数的阶数（求导的次数）和导数的幂次。

正确做法:

把微分方程中的每个导数圈出来，写下每个导数的阶数，然后选最大的数，忽略导数的幂次和系数。

错误做法:

验证解时，只把 $y$ 代入微分方程，忘记代入导数。

原因:

学生做题太快，忘记微分方程需要代入导数。

正确做法:

遵循明确的两步验证规则：1) 先计算候选解所有需要的导数，2) 再把 $y$ 和所有导数都代入微分方程，之后检查等式是否成立。

错误做法:

题目说" $y$ 的变化率与 $y$ 和100的差成正比"，却写出 $\frac{d y}{d t} = k (100 - y)$ 。

原因:

学生假设 $y$ 总是趋近于100，所以调换了顺序，但题目明确说明了差的顺序。

正确做法:

逐字逐句翻译："A和B的差" = $A - B$ ，除非题目明确说明是绝对值差。

错误做法:

题目说"人口 $P$ 的变化率与 $P$ 成正比"，却写出 $\frac{d P}{d t} = P$ ，遗漏了比例常数 $k$ 。

原因:

学生知道成正比意味着相乘，但忘记成正比需要比例常数，而不是变量本身。

正确做法:

当题目说"成正比"时，一定要引入比例常数（通常是 $k$ ），除非题目已经明确给出了常数。

6. 速查表

类别	规则/公式	注释
$y$ 的变化率与 $y$ 成正比	$\frac{d y}{d t} = k y$	$k > 0$ 对应增长， $- k$ 对应衰减；按照惯例取 $k > 0$
变化率与 $y$ 和 $C$ 的差成正比	$\frac{d y}{d t} = k (y - C)$	逐字逐句翻译"A和B的差"
微分方程的阶数	等于方程中最高阶导数的阶数	忽略导数的幂次，只统计求导次数
加速度的导数形式	$a (t) = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$	加速度 = 位移 $x (t)$ 的二阶导数
速度的导数形式	$v (t) = \frac{d x}{d t}$	速度 = 位移 $x (t)$ 的一阶导数
验证解	将 $y$ 和所有导数代入微分方程	确认左边等于右边；不要从头求解微分方程
逻辑斯蒂增长速率	$\frac{d N}{d t} = k N (a - N)$	$a$ = 环境容纳量， $k > 0$ = 增长常数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
确定给定微分方程的阶数
2022 · FRQ
根据情境建立微分方程

下一步

微分方程建模是第7单元所有其他专题的基础前提：如果你不能首先根据题目描述正确写出微分方程，就无法绘制斜率场、用分离变量法求解微分方程，或是根据初始条件求特解。本专题还建立在你之前单元学到的导数含义技能之上，直接关联到指数增长和衰减模型，而这些都是AP自由作答题的常考话题。如果不掌握本模块的技能，你会在几乎所有微分方程FRQ的第一问丢掉送分题，即使你会分离变量法，也很难解决剩下的问题。