# 使用微分方程对实际场景建模

> AP 微积分 AB · AP 微积分 AB CED 第7单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u7-modeling-situations-with-differential-equations/

本模块内容符合AP 微积分 AB CED第7单元的学习目标，涵盖：将变化率的情境描述转化为微分方程、按阶数分类微分方程、验证候选解。

**先修:** [导数作为瞬时变化率的含义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-definition-derivative/); 指数函数与复合函数的求导法则; 方程的基本代数变形

## 学习目标

- 将文字/情境中的变化率描述转化为微分方程
- 按阶数对微分方程分类
- 验证微分方程的候选解
- 将建模技能应用于常见实际场景

## 什么是微分方程建模？

微分方程是指包含未知函数的一个或多个导数的方程。微分方程建模的核心过程是：将关于某一量及其变化率之间关系的文字、情境或图形描述转化为正式的数学方程。这几乎是AP考试中所有微分方程问题的第一步：如果不能根据给定描述正确写出微分方程，就无法求解它。

根据AP 微积分 AB CED，第7单元（微分方程）占考试总分的6-12%，本专题是学习该单元所有其他微分方程技能（包括斜率场、分离变量法、指数增长/衰减）的基础。它会同时出现在选择题和自由作答题中，几乎总是作为较长FRQ的第一问，之后才会要求求解微分方程或解释其解。

> **info**
>
> 在AP考试的表述中，这项技能也被称为"建立微分方程"或"将变化率描述转化为微分方程"。

## 转化情境中的变化率描述

这项技能的核心思想是：任何关于量如何变化的描述都可以直接转化为该量的导数。最常见的情况是变化率与量本身成正比，但也会遇到变化率与该量和某个常数的差成正比、与量的幂成正比，或是等于多个项的组合的情况。

1. 明确识别因变量（发生变化的量）和自变量（在AP题目中几乎总是时间$t$）。
2. 将"[因变量]的变化率"这句话直接转化为因变量对自变量的导数。
3. "与X成正比"总是意味着"等于$k$乘以X"，按照惯例，$k>0$是比例常数。
4. 添加正确的符号：如果量在减小，即使$k>0$，导数也要带负号。

**例题:** 封闭种群中感染病毒的人数$N$的增长速率与已感染人数和总人口（5000）减去已感染人数的差的乘积成正比。写出描述该场景的微分方程。

1. 1. 识别变量：因变量是$N$（时刻$t$的感染人数），自变量是时间$t$。
2. 2. 转化描述："$N$的变化率"即为：
3. $$\frac{dN}{dt}$$
4. 速率与$N$和$(5000 - N)$的乘积成正比，因此得到$k \cdot N(5000 - N)$。
5. 3. 确认符号：题目说明$N$在增长，因此导数为正。当$0 < N < 5000$、$k>0$时，所有项都是正的，因此不需要负号。
6. 4. 最终微分方程：
7. $$\frac{dN}{dt} = kN(5000 - N) \quad \text{for } k>0$$

> **考试提示:** 务必逐字逐句翻译题目，不要添加额外假设。如果题目说"$y$与100的差"，就写$(y - 100)$，除非题目明确说明变化方向，否则不要调换为$(100 - y)$。

## 按阶数分类微分方程

微分方程的阶数定义为方程中出现的最高阶导数的阶数。例如，一阶微分方程只包含未知函数的一阶导数，二阶微分方程包含二阶导数。AP 微积分 AB几乎只处理一阶微分方程，但要求你能正确识别任意微分方程的阶数，这是选择题中常见的考点陷阱。

> **warning**
>
> 学生常见的混淆是把导数的阶数和导数的幂次搞混。例如，$\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 + 2y = 0$仍然是一阶微分方程，因为最高阶导数是一阶导数，只是它被取了四次幂。幂次不会改变微分方程的阶数。

阶数很重要，因为微分方程通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数，因此一阶微分方程需要一个初始条件来求特解，这是AP考试的典型问题。

**例题:** 微分方程$\frac{d^2y}{dt^2} - 4t\left(\frac{dy}{dt}\right)^3 + 7y = \cos t$的阶数是多少？证明你的结论。

1. 1. 回忆：阶数由方程中所有导数的最高阶数决定，和导数的幂次无关。
2. 2. 列出所有出现的导数及其阶数：$\frac{dy}{dt}$是一阶，$\frac{d^2y}{dt^2}$是二阶。
3. 3. 注意$\frac{dy}{dt}$虽然取了三次幂，但这不会改变它作为一阶导数的阶数。
4. 4. 方程中出现的最高阶导数是二阶，因此该微分方程是二阶的。

> **考试提示:** 当题目要求确定阶数时，把微分方程中的每个导数圈出来，在旁边写出它的阶数，然后选最大的那个数。这样可以避免把阶数和幂次混淆的常见错误。

## 验证微分方程的解

要确认给定的候选函数是微分方程的解，你需要将该函数及其所有要求的导数代入微分方程，检查方程两边在定义域内所有自变量取值下都相等。这是选择题和自由作答题都常考的技能，通常出现在建立微分方程之后，作为题目的第二部分。

1. 计算候选函数在微分方程中出现的所有导数（对于一阶微分方程，只需要一阶导数）。
2. 将候选函数$y$及其导数代入微分方程的左边和右边。
3. 化简两边。如果两边恒等，那么该候选函数就是解；否则不是。

> **tip**
>
> 这种方法适用于通解（带有任意常数$C$）和特解（由初始条件得到$C$的固定值）。验证解时绝对不要浪费时间从头求解微分方程：候选解已经给你了。

**例题:** 验证$y = 3e^{2x} + 4x + 1$是微分方程$\frac{dy}{dx} = 2y - 8x - 6$的解。

1. 1. 计算候选解的一阶导数：
2. $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(3e^{2x} + 4x + 1\right) = 6e^{2x} + 4$$
3. 2. 将$y$代入微分方程的右边并化简：
4. $$2y - 8x - 6 = 2\left(3e^{2x} + 4x + 1\right) - 8x - 6 = 6e^{2x} + 8x + 2 - 8x - 6 = 6e^{2x} - 4$$
5. 3. 比较左边（$\frac{dy}{dx} = 6e^{2x} + 4$）和化简后的右边。两边不相等。
6. 4. 结论：由于对所有$x$都有$\text{LHS} \neq \text{RHS}$，因此$y = 3e^{2x} + 4x + 1$不是该微分方程的解。

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 以下哪个微分方程正确描述了该命题：*沿$x$轴运动的质点的加速度与质点到原点的位移$x$成正比，当$x$为正时加速度为负*。设位移$x$是时间$t$的函数，$k>0$为常数。

   - $\frac{dx}{dt} = -kx$
   - $\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$
   - $\frac{d^2x}{dt^2} = kx$
   - $\frac{dx}{dt} = kx$

   *答案:* $\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

   *解析:* 正确：加速度是位移对时间的二阶导数，负号在$k>0$的情况下给出了题目要求的正确关系。

> **考试提示:** 验证解时要反复检查求导和计算：小小的符号错误就会导致你错误地拒绝有效解或接受无效解。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于体积减小的泄漏水箱，写出$\frac{dV}{dt} = k\sqrt{V}$，遗漏了负号。
  - 原因: 学生记住了"成正比"，但忘记考虑题目中描述的变化方向。
  - 正确做法: 写出比例关系后，明确问自己：这个量是增加还是减少？如果是减少，给导数加上负号，按照惯例保持$k>0$。
- **错误做法:** 将$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \frac{dy}{dx} = 0$分类为三阶，因为最高阶导数做了三次方。
  - 原因: 学生混淆了导数的阶数（求导的次数）和导数的幂次。
  - 正确做法: 把微分方程中的每个导数圈出来，写下每个导数的阶数，然后选最大的数，忽略导数的幂次和系数。
- **错误做法:** 验证解时，只把$y$代入微分方程，忘记代入导数。
  - 原因: 学生做题太快，忘记微分方程需要代入导数。
  - 正确做法: 遵循明确的两步验证规则：1) 先计算候选解所有需要的导数，2) 再把$y$和所有导数都代入微分方程，之后检查等式是否成立。
- **错误做法:** 题目说"$y$的变化率与$y$和100的差成正比"，却写出$\frac{dy}{dt} = k(100 - y)$。
  - 原因: 学生假设$y$总是趋近于100，所以调换了顺序，但题目明确说明了差的顺序。
  - 正确做法: 逐字逐句翻译："A和B的差" = $A - B$，除非题目明确说明是绝对值差。
- **错误做法:** 题目说"人口$P$的变化率与$P$成正比"，却写出$\frac{dP}{dt} = P$，遗漏了比例常数$k$。
  - 原因: 学生知道成正比意味着相乘，但忘记成正比需要比例常数，而不是变量本身。
  - 正确做法: 当题目说"成正比"时，一定要引入比例常数（通常是$k$），除非题目已经明确给出了常数。

## 速查表

| 类别 | 规则/公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| $y$的变化率与$y$成正比 | $\frac{dy}{dt} = ky$ | $k>0$对应增长，$-k$对应衰减；按照惯例取$k>0$ |
| 变化率与$y$和$C$的差成正比 | $\frac{dy}{dt} = k(y - C)$ | 逐字逐句翻译"A和B的差" |
| 微分方程的阶数 | 等于方程中最高阶导数的阶数 | 忽略导数的幂次，只统计求导次数 |
| 加速度的导数形式 | $a(t) = \frac{d^2x}{dt^2}$ | 加速度 = 位移$x(t)$的二阶导数 |
| 速度的导数形式 | $v(t) = \frac{dx}{dt}$ | 速度 = 位移$x(t)$的一阶导数 |
| 验证解 | 将$y$和所有导数代入微分方程 | 确认左边等于右边；不要从头求解微分方程 |
| 逻辑斯蒂增长速率 | $\frac{dN}{dt} = kN(a - N)$ | $a$ = 环境容纳量，$k>0$ = 增长常数 |

## 下一步

微分方程建模是第7单元所有其他专题的基础前提：如果你不能首先根据题目描述正确写出微分方程，就无法绘制斜率场、用分离变量法求解微分方程，或是根据初始条件求特解。本专题还建立在你之前单元学到的导数含义技能之上，直接关联到指数增长和衰减模型，而这些都是AP自由作答题的常考话题。如果不掌握本模块的技能，你会在几乎所有微分方程FRQ的第一问丢掉送分题，即使你会分离变量法，也很难解决剩下的问题。

- [微分方程解的验证](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u7-verifying-solutions-for-differential-equations/)
- [绘制斜率场](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u7-sketching-slope-fields/)
- [斜率场推理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u7-reasoning-using-slope-fields/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u7-modeling-situations-with-differential-equations/